1、课题 4:不等式证明二（综合法）一、 综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。（也叫顺推证法或由因导果法）例 1、已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证： a (b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc分析：不等式左边含有“a 2+b2”的形式，我们可以运用基本不等式：a2+b22ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和” ，右边有三正数 a,b,c 的“积” ，我们可以运用重要
2、不等式：a 3+b3+c33abc. 证：b 2 + c2 2bc , a 0 , a(b 2 + c2) 2abc同理：b(c 2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abca(b 2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc当且仅当 b=c,c=a,a=b 时取等号，而 a, b, c 是不全相等的正数三式不同时取等号，三式相加得 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 本例证法可称为三合一法，当要证的不等式关于字母具有对称形式时，我们常可把其看成是由若干个结构相同但所含字母较少的不等式相加或相乘而得
3、，我们只要先把减了元的较简单的不等式证出，即可完成原不等式的证明。例 2、a , b, cR, 求证：1 9)1)(cba2 2)a3 3cb证：1、法一： aa, 311abc, 两式相乘即得。法二：左边 )()(cbbc 3 + 2 + 2 + 2 = 92、 )()(acacba 3)()(111 acbacba 两式相乘即得3、由上题： 29)( 11acbac，即： 23baccb例 3、已知 a， b，c 都是正数，且 a，b，c 成等比数列，求证： 22)(c证明：左右=2（ab+bc ac） ，a，b，c 成等比数列， 又a，b ，c 都是正数，所以 c0 ca2， b 0)(
4、)(2)(22bc 222)(ca说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点例 4、制造一个容积为 V（定值）的圆柱形容器，试分别就容器有盖及无盖两种情况，求：怎样选取底半径与高的比，使用料最省？分析：根据 1 题中不等式左右的结构特征，考虑运用“基本不等式”来证明.对于 2 题，抓住容积为定值，建立面积目标函数，求解最值，是本题的思路.解：设容器底半径为 r,高为 h,则 V=r 2h,h= 2rV.(1)当容器有盖时，所需用料的面积：S=2r 2+2rh=2r 2+ rV=2r 2+ r+ 3 3232Vr当且仅当 2r 2= ,即 r=3,
5、h= 2=2r,取“=”号.故 1h时用料最省.（2）当容器无盖时，所需用料面积：S=r 2+2rh=r 2+ r=r 2+ r+ 33V当且仅当 r 2= r,r=3V,h= 2r=r.即 r=h 时用料最省.作业补充题：1、设 a, b, c R，1求证： )(22baba2求证： )(222 cbac3若 a + b = 1, 求证： 1ba2、设 a0,b0,c0 且 a+b+c=1,求证：8abc(1-a)(1-b)(1-c).3、设 a,b, c 为一个不等边三角形的三边，求证：abc(b+c-a)(a+b-c)(c+a-b).4、已知 a, bR+，求证： 2)(33ba5、设 a0, b0，且 a + b = 1，求证： 25)1()(
