1、概率论与数理统计,主讲：柯大观电话：86689930（办） 手机：13806884706 短号：674706 Email: 办公地点：温州医学院茶山校区4A417 公共邮箱：，公共邮箱密码：09shenggong,随机变量及其分布 Random variables and distributions,在前面的学习中,我们用字母A、B、C.表示事件，并视之为样本空间的子集；针对等可能概型，主要研究了用排列组合手段计算事件的概率。对事件的关注可以说是从静态的观点出发进行研究。本章，将用随机变量表示随机事件，可以说是从动态的观点出发进行研究。变量的概念是高等数学区别于初等数学的基础概念。随机变量是
2、概率论从计算孤立事件发展为完善的理论体系的基础概念。,随机变量 Random variable,基本思想,将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果,有些随机试验的结果可直接用数值来表示.,例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示,例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的,可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”,有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化,例 设箱中有10个球，其中有2个红球， 8个白球；从中任意抽取2个,观察抽球结果。,取球结果为: 两个白球;两个红球;一红一白,特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关
3、系,如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 此时， “两只红球”= “X取到值2”, 可记为 X=2 “一红一白”记为 X=1,“两只白球”记为 X=0,试验结果的数量化,随机变量的定义,1) 它是一个变量2) 它的取值随试验结果而改变3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件,随机变量,随机变量的两个特征:,设随机试验的样本空间为，如果对于每一 个样本点 ，变量 X 均有唯一的实数 与之对应，称变量 为样本空间 上的随机变量。,某个灯泡的使用寿命X。某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.在0，1区间上随机取点，该点的坐标X.,X 的可能取值为 0,+),Y 的可能取值为 0
4、，1，2，3，.,X 的可能取值为 0，1上的全体实数。,例,随机变量的实例,用随机变量表示事件,若X是随机试验E的一个随机变量，SR，那么XS可表示E中的事件,如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则“出现偶数点”可表示为： X=2 X=4 X=6“出现的点数小于”可表示为：X 4或X3,E中的事件通常都可以用X的不同取值来表示.,随机变量的类型,离散型 discrete,非离散型 non-discrete,随机变量的所有取值是有限个或可列个,随机变量的取值有无穷多个，且不可列,其中连续型(continuous)随机变量是一种重要类型,离散随机变量的概率分布,称此式为X的分布律（列）或概率函
5、数（Probability function),设离散型随机变量 的所有可能取值是，而取值 的概率为,即,例 设X的分布律为,求 P(0X2),P(0X2)=P（X=1）+P（X=2）=1/2+1/6=2/3,分布律确定概率,解,=P(抽得的两件全为次品),求分布律举例,例1 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：X的可能取值为 0，1，2,=P(抽得的两件全为正品),PX=1,PX=2,=P(只有一件为次品),PX=0,故 X的分布律为,而“至少抽得一件次品”=X1,= X=1X=2,PX1
6、= PX=1+PX=2,注意：X=1与X=2是互不相容的！,实际上，这仍是古典概型的计算题，只是表达事件的方式变了,故,从一批次品率为p的产品中，有放回抽样直 到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取的次 数X的分布律。,解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3, 则 Ai , i=1,2,3, 是相互独立的！ 且,X的所有可能取值为 1，2，3， ,k,P(X=k)=,(1-p)k-1p ,k=1,2,( X=k )对应着事件,例,几种常见的离散型分布,0-1分布(二点分布 ) 伯努利分布 Bernoulli distribution,则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布, 记为
7、 XBer( p),背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。,如：上抛一枚硬币。,定义： 若随机变量X的分布律为:,将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.,设随机试验E只有两种可能的结果:A及 ,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重伯努利试验，简称伯努利试验(Bernoulli trials).,伯努利试验,Bernoulli trials,相互独立的试验,伯努利试验,例 一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个， 连取 4 次求 4 次中恰 有 2 次取到次品的概率,设
8、 恰好有 2 次取到次品, 取到次品，,则 取到正品,分析,n = 4 的 Bernoulli 试验,i=第i次抽样抽到次品,因为1，2，3，4 相互独立，所以,四次抽样中恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有,其中0 p 1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布(也称Bernoulli 分布）,记为,XB( n, p),二项分布,Binomial distribution,在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数,则X可能的取值为0,1,2,3,n.,随机变量X的分布律,从一批由9件正品、3件次品组成的产品中 ,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两 次次品的概率.,有放回地抽
9、取5件,可视为5重Bernoulli实验,记X为共抽到的次品数，则,A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5 p=1/4,例,解,例,一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。,解,XB（10, 0.9）,(1) P(X=8)=,P(X=8)+P(X=9)+P(X=10),随机变量 X 的分布律其中n, M, N 都是正整数，且nN, MN. 则称X服从超几何分布，记为,XH( n, M, N),超几何分布,hypergeometric distribution,从一批由9件正品、3件次品组成的产品中 ,不放回
10、地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两 次次品的概率.,样品中的次品数X H(n,M,N) 由题意知：,记X为共抽到的次品数，则,n=5 M=3 N=9+3=12,例,解,泊松分布 Poisson distribution,若随机变量 X 的分布律为:,其中 0, 则称X服从参数为的泊松分布,XP(),定义,注：教材中表示为 X p(l),服务台在某时间段内接待的服务次数X； 交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y; 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目,体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观
11、测值的平均值求出。,实际问题中若干稠密性问题是服从或近似服从Poisson分布的,例,解,泊松定理,实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式,二项分布的泊松近似,The Poisson Approximation to the Binomial Distribution,若某人做某事的成功率为1%，他重复努力 400次，则至少成功一次的概率为,成功次数服从二项概率,有百分之一的希望，就要做百分之百的努力,随机变量的分布函数,设X为一随机变量,则对任意实数x，(Xx)是一个随机事件，称,为随机变量X的分布函数,F(x)是一个普通的函数！,Distributio
12、n Function,分布函数的定义,引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。,分布函数表示事件的概率,P（Xb）=F(b),P（aX b）=F(b) F(a),P（Xb）=1 P（X b）=1 - F(b),P(aX b)=P(X b)-P(X a)= F(b)- F(a),例,已知 X 的分布律为,求X的分布函数， 并画出它的图形。,分布函数的性质,F(x)是单调不减函数,0 F(x) 1, 且,F(x)处处右连续,分布函数 F(x)的图形,F(x)是单调不减函数,问一问,是不是某一随机变量的分布函数？,不是,因为,作业,P70 习题 1，2，3，4，5,C U next time！,
