1、通信原理,第2章 确知信号,第2章 确知信号,2.1 确知信号的类型 按照周期性区分： 周期信号：T0信号的周期， T0 0 非周期信号 按照能量区分： 能量信号：能量有限， 功率信号： 归一化功率： 平均功率P为有限正值： 能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于,第2章 确知信号,2.2 确知信号的频域性质 2.2.1 功率信号的频谱 周期性功率信号频谱（函数）的定义式中，f0 1/T0，n为整数，- n +。 双边谱，复振幅 (2.2 4)|Cn| 振幅， n相位,第2章 确知信号,周期性功率信号频谱的性质 对于物理可实现的实信号，由式(2.21)有正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关
2、系，即 Cn的模偶对称Cn的相位奇对称,第2章 确知信号,将式(2.25)代入式(2.22)，得到 式中 式(2.28)表明：1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐波(n = 1, 2, 3, )。2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。,第2章 确知信号,若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为而所以Cn为实函数。,第2章 确知信号,【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。由式(2.2-1)：,第2章 确知信号,【例2.2】试求图2-3所
3、示周期性方波的频谱。由式(2.2-1) ：因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。,第2章 确知信号,【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。由式(2.2-1)： 由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。,第2章 确知信号,2.2.2 能量信号的频谱密度 频谱密度的定义：能量信号s(t) 的傅里叶变换： S(f)的逆傅里叶变换为原信号： S(f)和Cn的主要区别： S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。 注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭，因,【例2.4】试求一个矩形
4、脉冲的频谱密度。设它的傅里叶变换为矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/) Hz。,第2章 确知信号, 单位门函数,第2章 确知信号,【例2.5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。 函数的定义： 函数的频谱密度：函数的物理意义：一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。,第2章 确知信号,函数的性质1： 函数可以用抽样函数的极限表示：因为，可以证明式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。（见左图）和下式比较：(2.2-26)可见 (2.2-28)即抽样函数的极限就是函数。,第2章 确知信号,函数的性质2：单位冲激函数(t)的频谱密
5、度,第2章 确知信号,函数的性质3：(2.2-30)【证】因为物理意义：可以看作是用函数在 t = t0时刻对f(t)抽样。由于单位冲激函数是偶函数，即有(t) = (-t)，所以式(2.2-30)可以改写成：(2.2-31),函数的性质4： 函数也可以看作是单位阶跃函数 的导数。单位阶跃函数的定义：即 u(t) = (t)用函数可以表示功率信号的频谱密度，见下例。,第2章 确知信号,第2章 确知信号,【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2f0t，则其频谱密度S(f)按式(2.2-21)计算，可以写为参照式(2.2-28)，上式可以改写为引用了冲激函
6、数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。,第2章 确知信号,2.2.3 能量信号的能量谱密度 定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理(2.2-37)将|S(f)|2定义为能量谱密度。式(2.2-37)可以改写为(2.2-38)式中 G(f) = |S(f)|2 能量谱密度 由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数, 因此上式可以改写成(2.2-40),第2章 确知信号,【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2.4中，已经求出其频谱密度：故由式(2.2-39)得出,第2章 确知信号,2.2.4 功率信号的功率谱密度 定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T
7、/2 t T/2sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密度 |ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有(2.2-41) 将定义为信号的功率谱密度P(f) ，即,第2章 确知信号,周期信号的功率谱密度： 令T 等于信号的周期T0 ，于是有(2.2-45) 由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理:(2.2-46) 式中 |Cn|2 第n次谐波的功率 利用函数可将上式表示为(2.2-47) 式中上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P(f)，即 (2.2-48),第2章 确知信号,【例2.8】试求例2.1中周期性信号的功率谱密度。该例中信号的频谱已经求出，它等于式(2.2-14)：所以
8、由式(2.2-48)：得出(2.2-50),第2章 确知信号,2.3 确知信号的时域性质 2.3.1 能量信号的自相关函数 定义：(2.3-1) 性质： 自相关函数R()和时间t 无关，只和时间差 有关。 当 = 0时，R(0)等于信号的能量：(2.3-2) R()是 的偶函数 (2.3-3) 自相关函数R()和其能量谱密度|S(f)|2是一对傅里叶变换：,第2章 确知信号,2.3.2 功率信号的自相关函数 定义：(2.3-10) 性质： 当 = 0时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率：(2.3-11) 功率信号的自相关函数也是偶函数。 周期性功率信号： 自相关函数定义：(2.3-12)
9、R()和功率谱密度P(f)之间是傅里叶变换关系：,第2章 确知信号,【例2.9】试求周期性信号s(t) = Acos(t+)的自相关函数。 【解】先求功率谱密度，然后对功率谱密度作傅里叶变换，即可求出其自相关函数。 求功率谱密度：结果为求自相关函数：,第2章 确知信号,2.3.3 能量信号的互相关函数 定义： 性质： R12()和时间 t 无关，只和时间差 有关。 R12()和两个信号相乘的前后次序有关：【证】令x = t + ，则 互相关函数R12()和互能量谱密度S12(f)是一对傅里叶变换互能量谱密度的定义为：,(2.3-23),第2章 确知信号,2.3.4 功率信号的互相关函数 定义： 性质： R12()和时间t 无关，只和时间差 有关。 R12()和两个信号相乘的前后次序有关： R21() = R12(-) 若两个周期性功率信号的周期相同，则其互相关函数的定义可以写为 式中 T0 信号的周期 R12()和其互功率谱C12之间也有傅里叶变换关系：互功率谱定义：,第2章 确知信号,小结 能量信号、功率信号 确知信号再频域中的四种性质：频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱密度 确知信号在时域中的 特性：自相关函数、互相关函数,
