1、福建省莆田一中 2015 届高三上学期期中试数学理试卷命题人： 审核人：高三备课组第卷（选择题 共 50 分）一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合 A=x|-20”的是 ( )A.f(x)= B.f(x)=x C.f(x)=x3 D.f(x)=ex1x4.设函数 f(x)= x-lnx(x0),则 y=f(x) ( )13A 在区间( ,1),(1,e)内均有零点；1eB 在区间 ( ,1),(1,e)内均无零点；1eC 在区间 ( ,1)内有零点,在区间(1,e )内无零点；1eD 在区间( ,1)内无
2、零点,在区间 (1,e)内有零点.1e5.给出下列结论,其中错误的是 ( )A.若命题 p：x 0R, x0+x0+1x2；C.“若 ambm,则 ab”是假命题；D.“a1,b1”是“ab1”的充分条件.6.若函数 f(x)与函数 g(x)=2x 互为反函数,且 f(a)+f(b)=4,则 + 的最小值为 ( )1a1bA.1 B. C. D.12 13 147.给出如下性质：最小正周期为 ； 图象关于直线 x= 对称；在(- , )上是增函数.则同3 63时具有上述性质的一个函数是 ( )A.y=sin( + ) B.y=cos( - ) C. y=sin(2x- ) D.y=cos(2x
3、+ )x26 x26 6 38.已知 x,y 满足 ,且 x+y的最小值为 8,则正实数 a 的取值范围是 ( )x+y-40x+2y-70ax-y-20)A.(0,5 B.2,5 C.3,+) D.(0,29.已知 a 是实数,则函数 f(x)= -2 的图象不可能是 ( )1|a2x+1|A B C D10.一次研究性课常上,老师给出了函数 f(x)= (xR),三位同学甲、乙、丙在研究此函数时x1+|x|分别给出命题：函数 f(x)的值域为(-1,1)；若 x1x2,则一定有 f(x1)f(x2)若规定 f1(x)= f(x), fn(x)=f(fn-1(x),则 fn(x)= 对任意的
4、 nN*恒成立.x1+n|x|你认为上述三个命题中正确的个数是 ( )A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.曲线 y=x3-x+3 在点(1,1)处的切线方程为 .12.计算定积分 = 1-1(x+sinx)dx13.已知ABC 得三边长成公比为 的等比数列,则其最大角的余弦值为 .214.设 ABC 的三边长分别为 a,b,c,ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= ,类比这个结2Sa+b+c论可知：四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1, S2, S3, S4,
5、内切球半径为 r,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 r= 15.已知数列a n的通项公式为 an=sin +ncos ,其前 n 项的和为 Sn,则 S3n= .2n3 2n3三、解答题：(本大题共 6 个小题,共 80 分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤. 请按照题目顺序在第卷各个题目的答题区域内作答.)16.(本小题满分 13 分)已知在等差数列a n中,a 1=2,a4=11,在等比数列b n中,b 1= ,b4=a11,a32()求等比数列 bn的通项公式 bn；()求证数列 bn+1不可能是等比数列 .17.(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=Error!(其中
6、|0,使得 f(x1)=f(x2)=0,求证：x 1+x20.1a21.本题设有(1)、(2) 、(3)三个选考题,每题 7 分,请任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分 7 分)选修 4-2：矩阵与变换二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1) 与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与点(0,-2),()求矩阵 M；()设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:x-2y=4,求直线 l 的方程.(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 和圆的极坐标方程 =2 sin(+ ).x=ty
7、=1+2t) 2 4()将直线 l 的参数方程化为普通方程 ,圆 C的极坐标方程为直角坐标方程；()判断直线 l 和圆 C 的位置关系.(3)(本小题满分 7 分)选修 4-5：不等式选讲已知不等式 x-5ax+b0 的解集为 x|x4 或 x0,有 g(x)= g(2)= , 12 分xx+1 43a的取值范围为(-, 13 分43法二：上同,a 对区间 x(2,+)恒成立, .8 分xx+1令 t=x+1, x(2,+), 则 x=t-1,t3 = =t+ -2 ,t3xx+1(t-1)t 1tg(t) =t+ -2, 在 t(3,+)上是单调递增函数1tg(t)g(3)= 12 分43a
8、的取值范围为(-, 13 分43法三： f(x)在区间 (2,)上单调递增,f (x)=2x2-2ax-2a0 在区间(2,+) 上恒成立, 8 分记 =(2a)-8(-2a)=4a+16a,则0 或 ,0a22f (2)=8-4a-2a0)即-4a0 或 ,a0a4a43 )解得 a .12 分43 的取值范围为(-, .13 分4320.(本小题满分 14 分)解：( )f(x)的定义域为(- ,+).1a其导数 f (x)= -a=- .1 分1x+1a axax+1当 a0,函数在(- ,+)上是增函数; 2 分1a当 a0 时, 在区间( - ,0)上, f (x)0; 在区间(0,
9、+) 上, f (x)ae-1=a(e- ),不合题意.1a 1a 1a 1a当 a0 时, 令 h(x)=ax-f(x),则 h(x)=2ax-ln(x+ ) .6 分1a问题化为求 h(x)0 恒成立时 a 的取值范围.由于 h(x)=2a- = 7 分1x+1a2a(x+f(1,2a)x+1a在区间(- ,- )上, h( x)0.1a 12a 12ah(x)的最小值为 h(- ),12a所以只需 h(- )0,即 2a(- )-ln (- + )012a 12a 12a1aln 9 分12a e2()由于当 a0构造函数 g(x)=f(-x)-f(x)( - g(0)=0,1a于是 f
10、(-x1)-f(x1)0-f(x),又 f(x1)=0, f(-x1)0=f(x2),由 f(x)在(0+)上为减函数可知 x2-x1.即 x1+x20.14 分21.本题设有(1)、(2) 、(3)三个选考题,每题 7 分,请任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做的前两题计分.(1)(本小题满分 7 分)选修 4-2：矩阵与变换解：( )设矩阵 M= ,则：(abcd)= ， = ，(abcd)( 1-1) (-1-1) (abcd)(-21 ) ( 0-2)即 ，解得a-b= -1c-d= -1-2a+b=0-2c+d= -2) a=1b=2c=3d=4)M= ， 3 分(1
11、234)()设(x,y) 经 M 的变换作用后变为(x ,y)则：x=x+2yy=3x+4y)又 x-2y=4(x+2y)-2(3x +4y)=4 即 l：5x+6y +4=0.7 分(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4：坐标系与参数方程解：( )直线 l 的普通方程为 y=2x+1,.2 分=2 sin(+ )可化为 =2sin+2cos24x+y=2 y+2x即圆 C 直角坐标方程为(x-1)+( y-1)=2 .4 分()圆心(1,1)到直线 2x-y+1=0 的距离为d= = 0, 0,1x 41-x + =( + )x+(1-x)( + )=91x 41-x 1x 41-x 1x x 21-x 1-x当且仅当 = 即 x= 时,等号成立。1xx21-x1-x 13f(x)的最小值为 97 分
