1、学业水平训练1下列说法正确的是( )A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值解析：选 D由极值与最值的区别知选 D2函数 yx(1x 2)在0,1 上的最大值为 ( )A. B293 292C D492 38解析：选 A.y13x 20，x .当 0 x 时，y 0；33 33当 x 1 时， y0.33所以当 x 时， y 极大值 ；当 x0 时，y0；当 x1
2、 时，y0.所以当 x 时，33 293 33ymax .2933函数 f(x)2xcos x 在( ，) 上( )A无最值 B有极值C有最大值 D有最小值解析：选 A.f(x)2sin x0 恒成立，所以 f(x)在(，) 上单调递增，无极值，也无最值4函数 f(x) x (x1,3)的值域为( )1x 1A(，1) (1，) B.32， )C D(32，134) 32，134解析：选 Df(x) 1 ，1x 12 x2 2xx 12所以在1,3上 f( x)0 恒成立，即 f(x)在1,3 上单调递增所以 f(x)的最大值是 f(3)，最小值是 f(1) .故选 D134 325若函数 y
3、x 3 x2m 在2,1 上的最大值为 ，则 m 等于( )32 92A0 B1C2 D52解析：选 Cy 3x 23x3x(x1)(x3 32x2 m)由 y0，得 x0 或 x 1.f(0)m，f(1)m ，12又f(1)m ，f (2)8 6mm2，52f(1)m 最大52m .m2.52 926函数 f(x)xln x 的最小值为_解析：f(x)(xln x )ln x1.令 f(x )0，解得：x ，1e又 x 时 f(x)0,0x 时 f(x) 0，1e 1ef(x)xln x 在 x 处取得极小值即为最小值1ef( )e 1 .1e答案：e 17已知函数 yx 22x 3 在区间
4、 a,2上的最大值为 ，则 a_.154解析：y2x 2，令 y 0，得 x1，函数在(，1)上单调递增，在(1，) 上单调递减若 a1，则最大值为 f(a) a22a3 ，154解之得 a (a 舍去)；12 32若 a1，则最大值为 f(1)1234 .154综上知，a .12答案：128函数 f(x)3 xsin x 在 x0，上的最小值为_ 解析：f(x) 3 xln 3cos x.x0 ，时，3 xln 31，1cos x1，f(x )0，f(x )递增，f(x) minf(0)1.答案：19已知函数 f(x) ln x，求 f(x)在 上的最大值和最小值1 xx 12，2解：f(x
5、) . x 1 xx2 1x x 1x2由 f(x )0，得 x1.当 x 在 上变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：12，2x12( ，1)121 (1,2) 2f(x ) 0 f(x) 1ln 2 单调递 减 极小值 0 单调递 增 ln 212由上表可知，f(x )的最小值为 f(1)0.因为 f 1 ln 2，f(2) ln 2，f f(2) 2ln 2 (ln e3ln 16)(12) 12 (12) 32 12又因为 e316，所以 f f(2)0，因此 f(x)在 上的最大值为 f 1ln 2.(12) 12，2 (12)10已知函数 f(x)x 3ax 2 2，且 f
6、(x)的导函数 f( x)的图象关于直线 x1 对称(1)求导函数 f( x)及实数 a 的值；(2)求函数 yf(x )在1,2上的最大值和最小值解：(1)由 f(x) x3ax 22，得f(x)3x 22ax .f(x )的图象关于直线 x1 对称， 1.a3a3，f(x )3x 26x .(2)由(1)知 f(x)x 33x 22，f(x)3x 26x .令 f(x )0，得 x10，x 2 2.当 x 在1,2上变化时，f(x) ，f (x)的变化情况如下表：x 1 (1,0) 0 (0,2) 2f(x ) 0 0f(x) 2 2 2由上表可知，当 x1 或 x2 时，函数有最小值2，
7、当 x0 时，函数有最大值 2.高考水平训练1函数 f(x)x 33ax a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围为( )A0a1 B0a1C1a1 D0a12解析：选 B.f(x )3x 23 a，令 f(x)0，可得 ax 2，又x(0,1)，0a1，故选 B.2已知函数 f(x)x 3 ax2 b(a，b 为实数，且 a1)在区间 1,1上的最大值为 1，32最小值为1，则 a_，b_.解析：f(x)3x 23ax 3 x(xa) ，令 f(x )0，解得：x 10，x 2a.a1，当 x 变化时，f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x 1 (1,0) 0 (0,1) 1f(x
8、 ) 0 f(x)1 a32b 极大值b1a32b由题意得 b1.f(1) ， f(1)2 ，f(1)f(1)，3a2 3a2 1，a .3a2 23答案： 1233求证：ln x (x1) 21 (1x) 3.1x 12 23证明：设 f(x)ln x (x1) 2 (x1) 31(x0)，则 f(x) (x1)1x 12 23 1x 1x22(x 1)2 (x1)2( x1) 2(x1) 3 .x 1x2 2x 1x2令 f(x )0，解得 x1，当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，)f(x ) 0 f(x) 极小值 由上表可知，当 x1 时，
9、f( x)有极小值，这里也是最小值当 x0 时，f( x)f(1) 0.ln x (x1) 21 (1x) 3.1x 12 234设函数 f(x)tx 22t 2xt1(xR，t0)(1)求 f(x)的最小值 h(t)；(2)若 h(t)2tm 对 t(0,2)恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)f(x) t(xt) 2t 3t1(xR，t 0)，当 xt 时， f(x)取最小值 f(t)t 3t 1，即 h(t)t 3t1.(2)令 g(t)h(t)( 2tm) t33t1m ，由 g(t) 3 t230，得 t1( t1 不合题意，舍去)当 t 变化时，g(t)、g( t)的变化情况如下表：t (0,1) 1 (1,2)g( t) 0 g(t) 递增 1m 递减对 t(0,2)，当 t1 时，g( t)max1m ，h(t)2tm 对 t(0,2)恒成立，也就是 g(t)0 ，对 t(0,2)恒成立，只需 g(t)max1m0，m1.
