1、31 数系的扩充和复数的概念31.1 数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解数系的扩充过程2理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件(重点、难点)3了解复数的代数表示法(重点)学法指导 可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.1复数的有关概念(1)复数定义：形如 abi(a，bR )的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i21，a叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 zabi(a，bR) 这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集表示：C2复数的分
2、类(1)复数 za bi(a，bR)Error!(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：3复数相等的充要条件设 a、b、c、d 都是实数，则 abi cdi ac 且 bd ，abi0ab0.1判断：(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)若 mni23i ，则 m2，且 n3.( )(2)复数 z13i，z 22i，则 z1z 2.( )(3)复数 zbi 是纯虚数( )答案：(1) (2) (3) 2下列复数中，是实数的是( )A1i Bi 2Ci Dm i答案：B3以 3i 的虚部为实部，以3 i 的实部为虚部的复数是( )2 2A33i B3iC i D i2 2 2 2答案
3、：A4若(x 2y)i 2x 13i，则实数 x，y 的值分别为_答案： ，12 74复数的概念给出下列三个命题：(1)若 zC，则 z20；(2)2i 1 的虚部是 2i；(3)2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D3解析 对(1)，当 zR 时，z 20 成立，否则不成立，如 zi，z 210，所以(1)为假命题；对(2)，2i112i，其虚部为 2，不是 2i，(2)为假命题；对(3)，2i02i，其实部是 0，(3) 为真命题答案 B方法归纳(1)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上(2)
4、对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为 abi 的形式，更要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部1下列命题中：两个虚数能比较大小；若 aR ，则( a1)i 是纯虚数； 若 abi 0( a，bR)，则 ab0，其中正确命题的个数为( )A0 B1C2 D3解析：选 B.错；对，当 a1 时，不正确；正确复数的分类当实数 m 为何值时，复数 z ( m22m)i 为m2 m 6m(1)实数；(2)虚数；(3) 纯虚数(链接教材 P103 例 1)解 (1)当Error!即 m2 时，复数 z 是实数；(2)当 m22m0，即 m0 且 m2 时，复数 z 是虚数；(3)当Er
5、ror!即 m3 时，复数 z 是纯虚数方法归纳复数的分类问题的解决方法(1)对于复数 z abi( a，bR )的分类问题，要理清其分类的充要条件：复数 z 是实数b0；复数 z 为虚数b0；复数 z 为纯虚数a0，且 b0.(2)利用复数代数形式进行分类时，主要依据虚部和实部满足的条件，求参数时可由此列出方程( 组) ，但必须要全面考虑所有条件，不能遗漏2当实数 m 为何值时，复数 z (m 25m 6)i 分别是：m2 m 6m 3(1)实数；(2)虚数；(3) 纯虚数解：复数 z (m 25m 6)i 的实部为 ，虚部为 m25m6.m2 m 6m 3 m2 m 6m 3(1)复数 z
6、 是实数的充要条件是：Error!解得 m2，所以当 m2 时，复数 z 是实数(2)复数 z 是虚数的充要条件是：Error!即 m2 且 m3，所以当 m2 且 m3 时，复数 z 是虚数(3)复数 z 是纯虚数的充要条件是：Error!即Error!解得 m3，所以当 m3 时，复数 z 是纯虚数复数相等的充要条件分别求满足下列条件的实数 x，y 的值(1)2x1(y1)ixy (xy )i；(2) (x 22x3)i0.x2 x 6x 1解 (1)x，y R，由复数相等的定义得Error!解得Error!(2)xR，由复数相等的定义得Error!即Error!x3.方法归纳一般根据复数
7、相等的充要条件，可由一个复数等式得到实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数，本题就是利用这一重要思想，化复数问题为实数问题得以解决3已知 A1,2，a 23a1 ( a25a6)i，B1,3，AB3 ，求实数 a 的值解：由题意知，a 23a1(a 25a6)i3( aR) ，Error!即Error!a1.易错警示 因对复数的大小比较理解不透彻致误求满足条件2a(ba)i5(a2b6)i 的实数 a，b 的取值范围解 由2a( ba)i5(a2b6)i 知，不等号左右两边均为实数，所以Error!解得 ab2.错因与防范 1.解答本题误认为大的复数所对应的实部和虚部都大，错误的由已知得出Error!2当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小4已知复数 zk 23k (k 25k6)i( kR)，且 z0，求 k 的值解：z0，zR.故复数的虚部 k25k 60，(k2)(k3)0，k2 或 k3.但 k3 时，z 0，不合题意，舍去，故 k2.
