1、专题研究 2 数列的求和第一次作业1数列12 n1 的前 n 项和为( )A12 n B22 nCn2 n1 Dn22 n答案 C2数列(1) n(2n1)的前 2 018 项和 S2 018 等于( )A2 016 B2 018C2 015 D2 015答案 B解析 S 2 0181357 (22 0171) (22 0181) 222,1 009 个 2 相加2 018.故选B.3在数列a n中，已知对任意 nN *，a 1a 2a 3a n3 n1，则 a12a 22a 32a n2 等于( )A(3 n1) 2 B. (9n1)12C9 n1 D. (3n 1)14答案 B解析 因为
2、a1a 2a n 3n1，所以 a1a 2a n1 3 n1 1(n2)则 n2 时，a n23 n1 .当 n1 时，a 1312，适合上式，所以 an23 n1 (nN *)则数列a n2是首项为 4，公比为 9 的等比数列，故选 B.4数列a n， bn满足 anbn 1，a nn 23n2，则b n的前 10 项之和为( )A. B.13 512C. D.12 712答案 B解析 b n ，1an 1（n 1）（n 2） 1n 1 1n 2S10b 1b 2b 3b 10 .12 13 13 14 14 15 111 112 12 112 5125在数列a n中，a n2 n1，则 (
3、 )1a2 a1 1a3 a2 1an 1 anA1 B12 n12nC1 D12 n12n答案 C6已知数列a n的通项公式是 an ，其前 n 项和 Sn ，则项数 n 等于( )2n 12n 32164A13 B10C9 D6答案 D解析 a n 1 ， Snn( )n1 .2n 12n 12n 12 122 12n 12n而 5 ，n1 5 .n6.32164 164 12n 1647已知等差数列a n的公差为 d，且 an0，d0，则 可化简为( )1a1a2 1a2a3 1anan 1A. B.nda1（a1 nd） na1（a1 nd）C. D.da1（a1 nd） n 1a1a
4、1 （n 1）d答案 B解析 ( )，原式 ( )1anan 1 1d1an 1an 1 1d1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an 1 ( ) ，选 B.1d1a1 1an 1 na1an 18(2017衡水中学调研卷)已知等差数列 an的前 n 项和 Sn 满足 S36，S 5 ，则数列 的前 n 项和为( )252 an2nA1 B2n 22n 1 n 42n 1C2 D2n 42n n 22n 1答案 B解析 设等差数列a n的公差为 d，则 Snna 1 d，因为 S36，S 5 ，所以 解得n（n 1）2 252 3a1 3d 6，5a1 10d 252，)所以 an n1
5、， ，设数列 的前 n 项和为 Tn，则a1 32，d 12，) 12 an2n n 22n 1 an2nTn ， Tn ，两项相减得322 423 524 n 12n n 22n 1 12 323 424 525 n 12n 1 n 22n 2Tn ( ) (1 ) ，所以 Tn2 .12 34 123 124 12n 1 n 22n 2 34 14 12n 1 n 22n 2 n 42n 19S n _122 1 142 1 1（2n）2 1答案 n2n 1解析 通项 an ( )， Sn (1 )1（2n）2 1 1（2n 1）（2n 1） 12 12n 1 12n 1 12 13 13
6、 15 12n 1 12n 1 (1 ) .12 12n 1 n2n 110已知数列a n的前 n 项和 Snn 26n，则|a n|的前 n 项和 Tn_答案 6n n2 （1 n 3），n2 6n 18 （n3） )解析 由 Snn 26n，得a n是等差数列，且首项为5，公差为 2.an5(n 1)22n7.n 3 时，a n3 时，a n0.Tn 6n n2 （1 n 3），n2 6n 18 （n3）. )11(2017衡水中学调研)已知数列 an满足 a11，a n1 an2 n(nN *)，则 S2 016_答案 32 1 0083解析 依题意，得 an1 an2 n，a n1 a
7、n2 2 n1 ，则 2，即 2，an 1an 2anan 1 an 2an所以数列 a1，a 3，a 5，a 2k1 ，是以 a11 为首项，2 为公比的等比数列；数列 a2，a 4，a 6，a 2k，是以 a22 为首项，2 为公比的等比数列，则S2 016(a 1a 3a 5a 2 015)(a 2a 4a 6a 2 016) 32 1 0083.1 21 0081 2 2（1 21 008）1 212(2018深圳调研二)数列a n是公差为 d(d0)的等差数列，S n 为其前 n 项和，a 1，a 2，a 5 成等比数列(1)证明：S 1，S 3，S 9 成等比数列；(2)设 a11
8、，b na 2n，求数列b n的前 n 项和 Tn.答案 (1)略 (2)2 n2 n4解析 (1)证明：由题意有 a22a 1a5，即(a 1 d)2a 1(a14d)，解得 d2a 1.又S 1a 1，S 33a 13d9a 1，S99a 136d81a 1，S32S 1S9.又S 1，S 3，S 9均不为零，S1， S3，S 9成等比数列(2)由 a11 得 d2a 12，则 an2n1，则Tna 2 a22a 23a 2n(221) (2 221)(22 31)(2 2n1)2(22 22 32 n)n2 n2 n413(2017课标全国，文)设数列 an满足 a13a 2(2n1)a
9、 n2n.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列 的前 n 项和an2n 1答案 (1)a n (2)22n 1 2n2n 1解析 (1)因为 a13a 2(2n1)a n2n，故当 n2 时，a13a 2(2n3)a n1 2(n1) 两式相减得(2n1)a n2，所以 an (n2)22n 1又由题设可得 a12，从而a n的通项公式为 an .22n 1(2)记 的前 n 项和为 Sn.由(1) 知 .an2n 1 an2n 1 2（2n 1）（2n 1） 12n 1 12n 1则 Sn .11 13 13 15 12n 1 12n 1 2n2n 114已知数列a n为等比数列， T
10、nna 1(n 1)a 2 an，且 T11，T 24.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列T n的通项公式答案 (1)a n2 n1 (2)T n2 n1 n2解析 (1)T 1a 11，T22a 1a 22a 24， a22.等比数列a n的公比 q 2.a2a1an 2n1 .(2)方法一：T nn(n1)2(n2)2 212 n1 ，2Tnn2(n 1)22(n2)2 312 n，得Tnn22 22 n1 2 nn2（1 2n）1 2n2 n1 22 n1 n2.方法二：设 Sna 1a 2a n，Sn 1 22 n1 2 n1.Tnna 1(n 1)a22a n1 a na 1
11、(a 1a 2)(a 1a 2a n)S 1S 2S n(21)(2 21)(2 n1)(22 22 n)n n2（1 2n）1 22 n1 n2.15(2018太原二模)已知数列 an的前 n 项和 Sn2 n1 2，数列b n满足 bna na n1 (nN *)(1)求数列b n的通项公式；(2)若 cnlog 2an(nN *)，求数列b ncn的前 n 项和 Tn.答案 (1)32 n (2)3(n 1) 2n1 6解析 (1)当 n1 时，a 1S 12，当 n2 时，a nS nS n1 2 n，又 a12 满足上式，an 2n(nN *)，bn ana n1 32 n.(2)由
12、(1)得 an 2n，b n32 n，cn log2ann，b ncn3n2 n，Tn3(1 222 232 3n2 n)，2 得 2Tn3(12 22 2332 4n2 n1 )， 得T n3(22 2 2 nn2 n1 )3(1n)2 n1 2 ， Tn3(n 1)2 n1 6.1(2016天津，文)已知a n是等比数列，前 n 项和为 Sn(nN *)，且 ，S 663.1a1 1a2 2a3(1)求a n的通项公式；(2)若对任意的 nN *，b n 是 log2an 和 log2an1 的等差中项，求数列 (1) nbn2的前 2n 项和答案 解析 (1)设数列a n的公比为 q.由
13、已知，有 ，解得 q2，或 q1.又由1a1 1a1q 2a1q2S6a 1 63，知 q 1，所以 a1 63，得 a11.所以 an2 n1 .1 q61 q 1 261 2(2)由题意，得 bn (log2anlog 2an1 ) (log22n1 log 22n)n ，即b n是首项为 ，公差为 1 的等差数12 12 12 12列设数列(1) nbn2的前 n 项和为 Tn，则T2n(b 12b 22)(b 32b 42)( b 2n1 2b 2n2)b 1b 2b 3b 4b 2n1 b 2n2n（b1 b2n）22n 2.第二次作业1数列 1，(12)，(1 22 2)，(122
14、 22 n1 )，的前 n 项之和为( )A2 n1 Bn2 nnC2 n1 n D2 n1 n2答案 D解析 记 an122 22 n1 2 n1， Sn n2 n1 2n.2（2n 1）2 12(2017宁夏银川一中模拟) 已知数列 2 008，2 009，1，2 008，2 009，.这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 018 项之和 S2 018 等于( )A2 008 B4 017C1 D0答案 B解析 由已知得 ana n1 a n1 (n2)，a n1 a na n1 .故数列的前 8 项依次为 2 008，2 009，1，2 008，2
15、 009，1，2 008，2 009.由此可知该数列为周期数列，周期为 6，且 S60.2 01863362，S 2 018 S22 0082 0094 017.3(2015江苏)数列a n满足 a11，且 an1 a nn1(nN *)，则数列 的前 10 项和为_1an答案 2011解析 由题意得：a n(a na n1 )(a n1 a n2 )(a 2a 1)a 1nn121 ，所以n（n 1）22( )，S n2(1 ) ，S 10 .1an 1n 1n 1 1n 1 2nn 1 20114(2018衡水中学调研卷)数列 an的通项公式 anncos 1，前 n 项和为 Sn，则 S
16、2 020_n2答案 3 030解析 a nncos 1，a 1a 2a 3a 46，a 5a 6a 7a 86，a 4k1 a 4k2 a 4k3 a 4k4 6，kN ， S2 n2020505(a 1a 2a 3a 4)50563 030.5(2018江苏苏州调研)已知数列 an满足 an1 a n(1a n1 )，a 11，数列b n满足 bna nan1 ，则数列b n的前 10 项的和 S10_答案 1011解析 由 an1 a n(1a n1 )得 1，因此数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以1an 1 1an 1an 1a1n，即 an ，b na nan1 ，所
17、以 S10b 1b 2b 10(1 )( )( )1an 1n 1n（n 1） 1n 1n 1 12 12 13 110 1111 .111 10116(2013湖南)设 Sn 为数列a n的前 n 项和，S n(1) nan (nN *)，则12n(1)a3_；(2)S1S 2 S100_答案 (1) (2) ( 1)116 13 12100解析 (1)因为 Sn(1) nan ，12n则 S3a 3 ，S 4a 4 ，解得 a3 .18 116 116(2)当 n 为偶数时，S na n ，当 n 为奇数时，S na n ，可得当 n 为奇数时 an ，12n 12n 12n 1又 S1S
18、 2S 100(a 1 )(a 2 )(a 99 )(a 100 )12 122 1299 12100a 1a 2a 99a 100( )12 122 1299 12100S 1002(a 1a 3a 99)(1 )12100S 101a 1012( )(1 )122 124 12100 12100 ( )2 (1 ) (1 ) ( 1)12102 121021221 （122）501 122 12100 13 12100 13 121007(2016北京，文)已知a n是等差数列，b n是等比数列，且 b23，b 39，a 1b 1，a 14b 4.(1)求a n的通项公式；(2)设 cna
19、 nb n，求数列c n的前 n 项和答案 (1)a n2n1(2)S nn 23n 12解析 (1)等比数列b n的公比 q 3，b3b2 93所以 b1 1，b 4b 3q27.b n3 n1 .b2q设等差数列a n的公差为 d.因为 a1b 11，a 14b 427，所以 113d27，即 d2.所以 an2n1(n1，2，3，) (2)由(1)知，a n2n1，b n3 n1 ，因此 cna nb n2n13 n1 .从而数列c n的前 n 项和Sn13(2n1)133 n1 n 2 .n（1 2n 1）2 1 3n1 3 3n 128(2018安徽江南十校联考) 已知 Sn 是数列
20、a n的前 n 项和，且满足 Sn2a nn4.(1)证明：S nn2为等比数列；(2)求数列S n的前 n 项和 Tn.答案 (1)略 (2)2n 3 n2 3n 82解析 (1)证明：当 n1 时，a 1S 1，S 12a 114，解得 a13.由 Sn2a nn4 可得 Sn2(S nS n1 )n4(n2) ，即 Sn2S n1 n4，所以 Snn22S n1 (n1) 2 因为 S1124，所以S nn2 是首项为 4，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 Sn n22 n1 ，所以 Sn2 n1 n2，于是 Tn(2 2 232 n1 )(12n)2n 2n .4（1 2n）1
21、2 n（n 1）2 2n 3 n2 3n 829(2017重庆抽测二)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，a 1 2，a n1 S n(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn(n 1)a n，求数列b n的前 n 项和 Tn.答案 (1) (2)(n2)2 n2(n N *)2， n 12n 1， n 2)解析 (1)a n1 S n(nN *)，Sn 1 SnS n， 2.Sn 1Sn又 S1a 12，数列 Sn是首项为 2，公比为 2 的等比数列，Sn 2n(nN *)当 n2 时，a nS nS n1 2 n1 (n2)，an 2， n 1，2n 1， n 2.)(2)
22、Tn 0a11a 22a 3(n 1)a n，当 n1 时，T 10.当 n2 时，Tn1222 232 3(n1) 2n1 ，2Tn12 222 332 4(n2)2 n1 (n1)2 n， ，得T n22 22 32 n1 (n1)2 n (n1)2 n2（1 2n 1）1 2(2n)2 n2.Tn(n 2)2 n 2(n2)又 T10 也满足上式，Tn(n 2)2 n 2(nN *)10(2015课标全国)S n 为数列 an的前 n 项和，已知 an0，a n22a n4S n3.(1)求a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和1anan 1答案 (1)a n2n
23、1 (2)T nn3（2n 3）解析 (1)由 an22a n4S n3，可知 an1 22a n1 4S n1 3.可得 an1 2a n22(a n1 a n)4a n1 ，即2(an1 an)a n1 2a n2(a n1 a n)(an1 a n)由于 an0，可得 an1 a n2.又 a122a 14a 13，解得 a11(舍去) 或 a13.所以a n是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(2)由 an2n1 可知bn ( )1anan 1 1（2n 1）（2n 3） 12 12n 1 12n 3设数列b n的前 n 项和为 Tn，则Tnb 1b 2b n
24、 ( )( )( )12 13 15 15 17 12n 1 12n 3 .n3（2n 3）11数列a n满足 a11，na n1 (n 1)a nn(n1)(nN *)(1)证明：数列 是等差数列；ann(2)设 bn3 n ，求数列b n的前 n 项和 Sn.an答案 (1)略 (2)S n（2n 1）3n 1 34解析 (1)证明：由题意，得 1，即 1，an 1n 1 ann an 1n 1 ann所以 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列ann a11(2)解：由(1)得 1(n 1)1n，所以 ann 2.ann所以 bnn3 n.Sn13 123 233 3n3 n，3Sn13
25、 223 3(n1)3 nn3 n1 .得2S n3 13 23 nn3 n1 n3 n1 .3（1 3n）1 3 （1 2n）3n 1 32所以 Sn .（2n 1）3n 1 341(2015安徽)已知数列a n是递增的等比数列，且 a1a 49，a 2a38.(1)求数列a n的通项公式；(2)设 Sn 为数列a n的前 n 项和，b n ，求数列b n的前 n 项和 Tn.an 1SnSn 1答案 (1)a n2 n1 (2)T n112n 1 1解析 (1)由题设知，a 1a4a 2a38，又 a1a 49，可解得 或 (舍去)a1 1，a4 8) a1 8，a4 1)由 a4a 1q
26、3得公比为 q2，故 ana 1qn1 2 n1 .(2)Sn 2 n1，又 bn ，a1（1 qn）1 q an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1所以 Tnb 1b 2b n( )( )( ) 1 .1S1 1S2 1S2 1S3 1Sn 1Sn 1 1S1 1Sn 1 12n 1 12(2016浙江，文)设数列a n的前 n 项和为 Sn.已知 S24，a n1 2S n1，nN *.(1)求通项公式 an；(2)求数列|a nn2|的前 n 项和答案 (1)a n3 n1 (2)2， n 1，3n n2 5n 112 ， n 2， n N*.)解析 (1)由题意知 则a1 a2 4，a2 2a1 1，) a1 1，a2 3.)又当 n2 时，由an1 a n(2S n1)(2S n1 1)2a n，得 an1 3a n.所以，数列a n的通项公式为 an3 n1 ，nN *.(2)设 bn|3 n1 n2|，nN *，b 12，b 21.当 n3 时，由于 3n1 n2，故 bn3 n1 n2，n3.设数列b n的前 n 项和为 Tn，则 T12，T 23.当 n3 时，Tn3 ，9（1 3n 2）1 3 （n 7）（n 2）2 3n n2 5n 112所以 Tn 2，n 1，3n n2 5n 112 ，n 2，nN*.)
