1、【素材】1.2.2 函数的表示法c 高考映射问题常见类型例析映射是近代数学的一个重要的基本概念，它是一种常用的数学思想，同时也是高中数学中函数的基础以及换元思想的理论依据 充分掌握和利用映射概念及思想， 对于解决某些 数学问题是必要的对映射概念的理解，要把握好以下几个特点：（1）对 于集合A中 任何一个元素，在集合B中必然 存在元素成为它的象；（2）集合A中任何一个元素在集合B中的象是唯 一的；（3）集合B中的元素不一定存在原象，即使存在也未必唯一映射的应用包括映射概念的应用和映射思想的应用两个方面.， 其关键在于深刻把握映射的定义与性质一、概念判断型例1 设 集合A=1， 2，3，4， 5，
2、B=1， 3， 7，15，31， 33，下面的 对应法则f是从来源:高$考试(题库集合A到 集 合B的映射 的是 （ ）来源:高$考试(题库 :_STA f： x x2-x+1 B f： x( x-1)2+x C f： x2 x-1-1 D f： x2 x-1解析：主 要验证“集合A中任何 一个元素在集合B中 必 须存在象以及象一定唯一”，经验 证 可 知 （ D） 为 正 确 答 案 .二 、 组 合 计 数 型 例 2 已知集合 A=a,b,c,B=x|1 x9 且 x N,若映射 f:A B,满足 f(a) f(b)f(c)且 f(a)+f(b)+f(c)=12，则这样的映射个数为（ ）
3、A.9 B.10 C.11 D.12解析：由映射定义知：（1）若集合 A 中的元素 a,b,c 对应集合 B 中相同的元素易知 f(a)=f(b)=f(c)=4 这样的映射有 1 个；来源:高考试题库（2）若集合 A 中的元素 a,b,c 对应集合 B 中两个元素。若 f(a)=f(b)f(c)知 f(a)只能取 2，3，这样的映射有 2 个；若 f(a)f(b)= f(c)知 f(a)只能取 2，这样的映射有1 个；满足条件的映射共有 3 个；（3）若集合 A 中的元素 a,b,c 对应集合 B 中不同的元素且 f(a)f(b)f(c)，从而知 f(a),f(b),f(c)只能分别取 1，2
4、，9；1，3，8；1，4，7；1，5，6；2，3，7；2，4，6；3，4，5这样的映射有 7 个故满足条件的映射共有 1+3+7=11 个故选 C三、知识转化型例 3 厂家为回收空瓶，规定 3 个空瓶可换一瓶啤酒，有人订购 10 瓶啤酒，问此人能喝（ ）瓶啤酒 来源:高考#试 题(库A10 B20 C15 D18分析：用常规方法，往往错认为是可喝 14 瓶，剩 2 个空瓶，其实应为 15 瓶，先到商家借 1 个空瓶，凑成 3 个空瓶，再喝完将空瓶还给商家也就是体现数学中“添 0 法”，即“011”解析：由题意，得 3 个空瓶对应一瓶啤酒(含瓶)，即 2 个空瓶对应一瓶量的啤酒(不含瓶)，如图故
5、 10 瓶啤酒10 瓶量的啤酒10 瓶空瓶10 瓶量的啤酒瓶量的啤酒15 瓶量的啤酒所以可喝 15 瓶啤酒故选 C四、创新运用型例 4 对 集合 A=1， 2， 3， ， 2006及每一个非 空子集， 定义一个唯一确定的“交替和”如下： 按照递减的次序重新排列该子集， 然后从最大的数开始， 交替的减或加后继的数所得的结果 例如， 集合1， 2， 4， 7， 10的“交替 和”为10-7+4-2+1=6， 集合7， 10的 “交替和”为10-7=3，5的 “交替和”为5，等等， 试求 A的所 有子集的“交替和”的总和来源:高考%试题#库 $ST解析：集合 A=1， 2， 3， ， 2006的 子
6、集中， 除了集合2006， 还有 22006-1 个非空子集将 其 分 为 两 类 ， 第 一 类 是 含2 006的 子 集 ， 第 二 类 是 不 含2 006的 子 集 ， 而 且 这 两 类 各 自 所含 子集的全体相互构成一一映射，从而这两类所含子集的个数相同。因为若 Ai是第二类的，则必有 Ai2006是第一类的集合；如果 Bi是第一类的集合，则 Bi中 除2 006 外 ，还 应 用 1， 2， 3， ， 2005中的 做其元素， 即 Bi中 除2 006外 是 非 空 的 ， 而 是 第 二 类 的 集 合； 令 Ai与 Ai2006对应， 则这种“成对的”的集合的“交替和”都为2006， 从而可得A的所有子集的“交替和”的总和为：1/2（2 20062）200620062 20052006.高考#试题.库
