1、1 将军饮马问题 唐朝诗人李 颀 的诗 古从军行 开头两句 说 :“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 . “ 诗中隐含着一个有趣的数学问题 . 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下 的 A点出发，走到河边饮马后再到 B点宿营 . 请问怎 样走才能使总的路程最短 ? 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦 .一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题 . 将军每天从军营 A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B地开会，应该怎样走才能使路程最短 ?从此，这个被称为 “将军饮马 “的问题广泛流传 . 将军饮马问题 =轴对称问题 =最
2、短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。 一六大模型 1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、 B， 在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、 B， 在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 3.如图，点 P 是 MON 内的一点，分别在 OM， ON 上作点 A， B。 使 PAB 的周长最小 . 4.如图，点 P
3、， Q 为 MON 内的两点，分别在 OM， ON 上作点 A， B。 使 四边形 PAQB 的周长最小。 5.如图，点 A 是 MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P， 使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 2 6. .如图，点 A 是 MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 常见问题 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点， 即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连 线的点。 1. 怎么对称，作谁的对称？ 。简单 说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说 只
4、有定点才可以去作对称的。 （不确定的点作对称式没有意义的） 那么作谁的对称点 ?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？ 一般而言都是动点所在直线。 2. 对称完以后和谁连接？ 一句话：和另外一个 定 点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3. 所求点怎么确定？ 首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。 下面我们来看看 将军饮马与二次函数结合 的 问题 ： 1.如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过 A（ 1， 0）、 B（ 4， 0）、 C（ 0， 3）三点 （
5、 1）求抛物线的解析式； （ 2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC的周长最小？若存在，求出四边形 PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由 【分析】 （ 1）设交点式为 y=a（ x 1）（ x 4），然后把 C点坐标代入求出 a= ，于是得到抛物线解析式为 y= x2 x+3； （ 2）先确定抛物线的对称轴为直线 x= ，连结 BC 交直线 x= 于点 P，如图，利用对称性得到 PA=PB，所以 PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到 PC+PA最短，于是可判断此时四边形 PAOC的周长最小，然后计算出 BC=5，再计算 OC+OA+BC 即可
6、3 【解答】 解：（ 1）设抛物线解析式为 y=a（ x 1）（ x 4）， 把 C（ 0， 3）代入得 a（ 1） （ 4） =3，解得 a= ， 所以抛物线解析式为 y= （ x 1）（ x 4），即 y= x2 x+3； （ 2）存在 因为 A（ 1， 0）、 B（ 4， 0）， 所以抛物线的对称轴为直线 x= ， 连结 BC 交直线 x= 于点 P，如图，则 PA=PB， PA+PC=PC+PB=BC，此时 PC+PA 最短， 所以此时四边形 PAOC的周长最小， 因为 BC= =5， 所以四边形 PAOC周长的最小值为 3+1+5=9 【点评】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式
7、：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了最短路径问题 2（ 2015上城区一模）设抛物线 y= （ x+1）（ x 2）与 x轴交于 A、 C两点（点 A在点 C的左边），与 y轴交于点 B （ 1）求 A、 B、 C三点的坐标； （ 2）已知点 D在坐标平面内， ABD 是顶角为 120 的等腰三角形，求点 D的坐标； （
8、3）若点 P、 Q位于抛物线的对称轴上，且 PQ= ，求四边形 ABQP周长的最小值 【考点】 二次函数综合题 菁优网版权所有 4 【分析】 （ 1）令 x=0，求出与 y轴的坐标；令 y=0，求出与 x轴的坐标； （ 2）分三种情况讨论： 当 AB为底时，若点 D在 AB 上方；若点 D在 AB 下方； 当 AB为腰时， A为顶点时， 当 AB 为腰时， A为顶点时；仔细解答即可 （ 3）当 AP+BQ最小时，四边形 ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答 【解答】 解：（ 1）当 x=0时， y= ； 当 y=0时， x= 1或 x=2； 则 A（ 1， 0）， B（ 0， ），
9、C（ 2， 0）； （ 2）如图， RtABO 中， OA=1， OB= ， AB=2 ， ABO=30 ， BAO=60 ， ABD 是顶角为 120 的等腰三角形 当 AB 为底时，若点 D在 AB上方，由 ABO=BAD=30 ， AB=2，得 D1（ 0， ）， 若点 D在 AB 下方，由 BAD=DBA=30 ， AB=2，得 D2（ 1， ）， 当 AB 为腰时， A为顶点时， DAB=120 ， OAB=60 ， AD=AB=2， 点 D在 y轴或 x轴上， 若 D在 y轴上，得 D3（ 0， ），若 D在 x轴上，得 D4（ 3， 0）； 当 AB 为腰时， A为顶点时， 若点
10、 D在第三象限， DBO=150 ， BD=2，得 D5（ 1， 2 ）； 若点 D在第四象限时， DBx 轴， BD=2，得 D6（ 2， ）， 符合要求的点 D的坐标为（ 0， ），（ 1， ），（ 0， ），（ 3， 0），（ 1，2 ），（ 2， ）； （ 3）当 AP+BQ最小时，四边形 ABQP的周长最小， 把点 B向上平移 个单位后得到 B1（ 0， ）， BB 1PQ ，且 BB1=PQ， 四边形 BB1PQ是平行四边形， BQ=B 1P， AP+BQ=AP+B 1P， 要在直线 x= 上找一点 P，使得 AP+B1P最小， 作点 B1关于直线 x= 的对称点，得 B2（ 1， ）， 则 AB2就是 AP+BQ的最小值， AB2= = ， AB=2， PQ= ， 四边形 ABQP的周长最小值是 +2 5 【点评】 本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数 与 x轴的交点、与 y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大
