1、1第一章 多项式知识点考点精要一、一元多项式的概念与运算1、定义形式表达式 ( 1 )110().nnfxaxa称为数域 上的一元多项式，其中 全属于数域 ， 为非负整数。P,.0 Pn数域 上的一元多项式的全体称为数域 上的一元多项式环，记为 。PX2、多项式的次数在( 1 )式中，如果 ，那么 称为多项式（1）的首项， 称为多项式（1）的次数，记0nanxan为 。fx称为零次多项式。),(,cP称为零多项式，它是唯一不定义次数的多项式。0f3、一元多项式的运算及性质1）加（减）法：设， 是数域 上的两个110()nnfxaxax 110()mgbxbx P一元多项式。则。1110()()
2、()()nnfgaa2）乘法：设， 是数域 上的两个110()nnfxaxx 110(mgbxbx一元多项式。则。11 1010()()nmnmfgbaaa 2）性质（1）加法交换律： )()fxgxf（2）加法结合律： ()(hgxh（3）乘法交换律： ()()ff（4）乘法结合律 ()xgx（5）乘法对加法的分配律： ()()()fhfgxfhx（6）乘法消去律：如果 且 ，那么f()02。 ()gxh4、多项式的次数定理 设 0,fx（1）当 时，则gxmax,;fgfgx（2） ;f（3） ,0.kxfkP二、多项式的整除性1、带余除法（Euclid 除法）设 则存在唯一的 使得,0,
3、fxgXgx,qxrPXrf这里 或 ，称上式中 为 除 的商， 为0rrgfxrx除 的余式。gxf2、整除的定义设 如果存在 使得,fxPX,hxPXfgq称为 整除 记为 。否则称 不能整除 。g,f)( fx3、整除的性质（1） ，则 ；,hxgxfhxf（2）若 ，则 ；h()()gx（3）若 ，则 为非零常数。,fxxf,fxcP（4）若 则12,i m， 2mhfgfgfxg其中 为任意多项式。,igxPi4、余数定理用一次多项式 去除 所得的余式是一个常数 即 gxc,fx,r3()(),fxcqxrP则 ，且 。()rfc0ff三、最大公因式1、最大公因式定义 设 如果 ，满
4、足：,fxgPXdxPX1） )()(d2）若 与 的任一公因式f ()则 称为 与 的最大公因式。 与 的首项系数为 1 的最大公因式记为)(x)(xgxf)(g。fd,2、辗转相除法设 如果,0,fxPXx,xrqgf则。,fx3、设 则存在 使得,fxgPX()dfgx,uxvPX。uv4、互素1）定义 设 若 则称 互素。,fxg(),1,fxg)(xgf与2）充要条件 存在 。()1()1uvfxuv3）互素的性质（1） ()(),()()fxghfxgfh（2） ,1, ()xgx（3） (),()1(),1fff（4） 。, ),()(,)(1xgxgffxg四、因式分解及唯一性
5、定理1、 可约与不可约数域 上的次数 的多项式 如果能表示成数域 上两个次数较低的多项式的乘积，那P1()fxP4么 就称为数域 上的可约多项式，否则就称为不可约多项式。()fxP一次多项式在任何数域上都是不可约多项式。2、不可约多项式的基本性质1) 不可约, 为 中的任意多项式()px()fxX()(),1.pxfpxf或2) 不可约, 或 。()gpxfg3、唯一分解定理数域 上每一个次数 的多项式都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积。所P1P谓唯一性是说，如果有两个分解式 )()()()( 2121 xqxqpxpxf ss 那么必有 并且适当调换因式的次序后有,sticii
6、 ,)()(这里 是一些数域 中的非零常数。),21(icP4、标准分解式数域 上每一个次数 的多项式 都有唯一标准分解式，P1()fx12()trrfxcp其中 是 的首项系数， 是互不相同的首项系数为 1 的不可约多项式，而c()fx )(,t是正整数。tr,215、重因式1) 定义 设 是不可约多项式，如果 而 不能整除 ，那么()pxPX(),kpxf1()kpx()fx称 是 的 重因式。()pxfk2）如果不可约多项式 是 的 重因式，那么它是 的 重因式。()fxk)(f3） 是 的重因式 是 与 的公因式。()fxp()fxf4）多项式 没有重因式 与 互素。5）设多项式 的标
7、准分解式为：()f 12()()()trrfcp则。12()()(), sfxxx六、多项式函数51、定义 是数域 上的多项式，对于每一个 都011)( axxaxfnn PPc有 与之对应，这就确定了数域 上的一个函数关系，称为多项式函数。()fcPP2、多项式的根如果对于数域 中的 那么把 称为 的根。数域 上的 次多(),fxX,0)(,f ()fxn项式 ，在数域 上至多有 个根（重根按重数计算） 。 n3、代数基本定理每个次数 的复系数多项式在复数域内有一个根。14、 次复系数多项式 恰有 个复根；如果 是实系数多项式 的复根，则 的共轭n()fxn()fx数 也是实系数多项式 的根
8、，因此奇数次实系数多项式 一定有实根。 ()f5、有理多项式1) 如果一个非零的整系数多项式 的系数互素，则称 是一个本原多项式。()fx()fx2）任何一个非零的有理系数多项式 都可以表示成一个有理数 和一个本原多项式 得r()gx乘积，即()frg这种表示法除了相差一个正负号是唯一的。3）引理（高斯定理）：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式.4）定理：如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。5）整系数多项式有理根的求法设 是一个整系数多项式， 是它的一个有理根，其中110().nnfxaxars互素，则必
9、有 ，特别的，当 ， 的有理根都是整数，且是 的因子。,rs0,nsrn()fx0a6）整系数多项式可约性的判断（Eisenstein 是判别法）设 是一个整系数多项式，如果存在素数 ，使110().nnfxaxap（1） 不能整除 ；p（2） ；120,.,n（3） 不能整除 .2a则 在有理数域上不可约。()fx6、不同数域上的多项式多项式环 可约性 多项式的根6CX上不可约多项式只能是一次多项式上 次多项式在 中有Cn个根R上不可约多项式有一次及含共R轭复根的二次多项式实系数多项式非实复根成对出现QX上有任意次的不可约多项式（艾森斯坦判别法）有理系数多项式在有理数域中未必有根（整系数多项
10、式有理根的求法）典型题真题精解例 1 证明: 等价于 。1|ndxnd|证明：充分性设 ，存在 ，使得 ，则n|Nkk= = = 1xd1)(dx)(d 1)(21kdkdx所以|nd必要性 若 不能整除 ，设 ， ,则dnrkd0= = =1xd 1rdxx 1)(rdkrx由充分性的证明可知， ，从而，由 不能整除 ，得出|k n，而 ，于是必有 。1|drx0rn|注：将 拆成两部分之和，其中一部分能被 整除，另一部分不能被 整除，必n 1dx1dx得 不能整除 ，这是证明不整除的方法之一。d1x例 2 试证： |89x 189证明：设 = ， = ，则)(f 1 )(xg189x981
11、)()x )(g= ( 000 x由例 1 可知 ， 1|010i 9,2i因为 7)(110xgx故 )(g|10则，)(x|0i 9,2i所以 ，g)1|0i ,i所以 (|xf例 3 设 是素数，证明：pkp101pkCkx证明：设 = ，则)(xf10pk)(xf|p由= (1)11pkCkx)1(p)1(!2px)1(px (xf因 是素数，故 | ， ，由例 10，px|kpC,p由(1)知得 |)(f11pkCkx例 4 已知2()()(2)0xhfgx1kx证明： ， 。|12x)(f|2)(g证明：由已知得(2)2(1)(2)(1)(xfxgxhxk(2)是关于 , 的方程组
12、，得)(xfg21)()(1)6()xhxxg所以 ，但 ，所以 。2()6,628类似的可以证明 。|12x)(f例 5 设 是大于 1 的正整数，证明： 可推出 。k )(|xfk)(|xf证法一 带余除法设 , 其中 为常数，于是cxqf)(= = )(fkkcxq)kcxq)(1因为 ，由整除性判别法，得 =0，从而 =0，故 。)(|fxk k )(|f证法二：因 是不可约分多项式，按不可约分多项式性质，由 ，得 。|xk)(|xf例 6 若 | ，证明： ， 。10nix20ni)(1nixf1x)(|fi 1,2n证明：因整除关系不因属于扩大而改变，故在复述域 C上仍有| 10n
13、i20ni)(1nif于是 的 个根都是 的根。10nix2ix)(1if设 是 的 个不等于 1 的 次单位根，故 1， ，,12, 1n0innni1,2ni且 也是 的根，则 2ix)(1if211211211211()()()0()()()nnnnnnnnffffff 即 212121121()()0()()()nnnffffff 又系数矩阵的行列式0 （范德蒙行列式）21212121nnn 9故 0)1()(12nfff所以， 。x)(|fi ,例 7 设 ， ，且 ，),(PgfPdcba, bca证明： 。)(,xgfxcfba证明：令 ， （3）)()(1xf 2f因为 ，由（
14、3）得0d= )(f )()(21xfbcadxfbcad= （4）xgff令 ，)(),(xf)()(,121xf由（3）得， ，且 ，从而|1fd|fd)(|1d由（4）得， ， ，故 ， 为首项系数为 1 的多项式，)(x)(1g)(1)(,x则 ，即 。)(1x )(, gfxcfbaf 注：由本题可得以下结论：1) ，则 ；,01,abcd)(,)(),( xff2) ，则 。ggxx例 8 设 是整系数多项式，证明：若 是奇数，则 在 上)(xf cba23 bca)(xfQ不可约， 是有理数域。Q证明：若 是 上可约多项式，于是 在整数环 上可约，设)(f )(xfZ= )(xf
15、 ,由= （ 5）1fcba= （6）)(因 = 是奇数，故 都为奇数，由（5）知 是奇数，因 ， 为奇数bca)(, )1(fc知 也为奇数，故 是偶数，由（6）知 是偶数矛盾，故 在 上不可约。1)1(f xQ例 9 设 ，证明：若对任意的 ，都有 ，则)(xPfPba, )()(bfafbf10，这里 。kxf)(P证明：若 = ，有 ，结论成立，若 ，取 ，则)(f0xf0)( 0)(xfb)(faf所以 ，即 0 是 的一个根，故可设 ，其中 ；取 ，而)(f)(xf )(q)(0a，则 ，即ab2a2)(ff故 ，得q2q由 的任意性，得 ，所以 。kx)(kxf注：按已知的条件，
16、取一些特殊的值以发现 的性质是解决这类问题的常用方法。)(f第二章 行列式知识点考点精要一、排列1、基本概念定义 1：由 组成的一个有序数组称为一个 级排列。,2n n定义 2：排列中，若一对数前后位置与大小顺序相反，则称为一个逆序，一个排列中逆序总数称为该排列的逆序数。定义 3：逆序数为偶（奇）数的排列称为偶（奇）排列。2、性质性质 1 对换改变排列的奇偶性。11性质 2 任一 级排列与排列 都可经过一系列对换而互变，并且所作对换个数与该排n1,2n列有相同奇偶性。性质 3 级排列共有 个，其中奇排列、偶排列的个数各有 个。! !2n二、 级行列式n1、定义 1212121212()()12
17、 nnnnjjjjjjnnaaa 这里 是对所有的 级排列 求和。12()nj 12njj要点：（1） 级行列式是 项的代数和；!（2）每一项是取自不同行、不同列的 个元素的乘积；（3）在行下表按自然顺序排列的前提下，每项的符号由列指标排列的逆序数的奇偶性确定；（4）行列式的值是一个数。2、行列式的性质性质 1 行列式的行列互换，行列式的值不变；性质 2 数 乘行列式某行（列）等于数 乘此行列式；kk性质 3 如果行列式中某行(列) 是两组数的和，那么行列式等于两个行列式的和；性质 4 如果行列式中有两行（列）相同，行列式等于零；性质 5 如果行列式中有两行（列）对应分量成比例，行列式等于零；
18、性质 6 把一行（列）的倍数加到另一行（列） ，行列是不变；性质 7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。3、行列式按行（列）展开设 121212nnnaad 则下列公式成立：12； 。10nikjdijaA当当 10nskldklaA当当4、 级行列式的计算1） 、基本途径（1）依据定义（2）运用性质（3）按行（列）展开（推广为拉普拉斯定理）2） 、常用方法和技巧(1）化为三角形行列式，对角形行列式，范德蒙行列式等已知结果的行列式(2）递推法（降级法）(3）分拆法(4） “加边 ”法（“ 升级” 法）(5）其他方法5、几类常见特殊行列式的值1）奇级数反对称行列式的值为零，即（ 为奇数）
19、12121200nna n2）上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即 12120nnaa 210nna 120na 12na3）次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即.11,2210nna 12,1,1nnnna 131(1)2, 2,1100nnnnaaa 4）分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即1111*0mnnab 11110*mnnab 111mnnab 1111*0mnn ab 11110*mnnab 111()mmnnab 5) 范德蒙德（Vandermonde）行列式 122112()nijjinnnaaa三、行列式的一个应用-克拉默法则1、
20、适用条件 个未知数 个方程的线性方程组14121212nnnaxaxb 即 bAX其中121212nnnaaA 12nx12nb当 时，该方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为0d12,.nDDxx其中 是把矩阵 中第 列换成方程组的常数项 所成的矩阵的行列式， 即iDAi nb,21( )12 12121212iininniniaaab ni,克莱姆（Cramer）法则包含下面三个结论：（1）方程组有解；（2）解是唯一的；（3）解由公式 给出。12,.nDDxx这三个结论是联系的。2、 个未知数 个方程的齐次线性方程组 ，当 ，该方程组只有零解。换句n 0AX0d话说，若该方程组有
21、非零解，则 0典型题真题精解15例1 计算 级行列式n00xyDxyy解：在 中2 个元素不为零，且处于不同行不同列。故 中不为零的项为n D12()(3)0nj 由于 ，位于第1行第2列，故 。又 ，位于第2行第3列，故 。1jay12jjay23j同理 从而34,nnjj.12()(3)1n 而行列式的其余各项中都至少有一个元素为零，所以其余各项均为零，故(3) (231)12 231,nnn nDaa 1(xy )nn例2 计算 级行列式.11212212nnnnxyxyD解：当 时， ；1n1xy当 时， ；222()当 时，把第一行的 倍分别加到第 行， 行列式的值不变，得3i2,3
22、,n1121221110nnnxyxyD综上可得161212()()03xynD例3 一个 级行列式，假设它的元素满足nijjia,ijn试证明：当 为奇数时，此行列式为零证明：由题意可知，即iia0,12,ian则此行列式为1213123 31230nnnnnaDaa由性质1,2有1213123 312300nnnnnaaD11122323 3123000nnnaaaa11223213 31230()0nn nnnaaa()D17当 为奇数时，得 因而 。n,nD0n例4 计算 级行列式 nxbbbx解：这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3， ， 列加到第1列上， n行列
23、式不变，得 (1)(1)xnbbxDxnbx()1bxxb00() bxxnxb1()nxbx例5 计算 级行列式n121123nnxaaDxax 解： 将其他各列全部加到第一列， 18121121123ni nini nnixaaDxaxa 112123()nniaaxxax 121121321000() nni naxxaxa 1()()niixx例6 计算 级行列式n.1213naaDaan 解: 加边得1910120naaDaan 100211n 将 的第二列乘1，第三列乘2，第 列乘 并都加到第一列，可得nDn=100210knaaDn ()12!na20例7 计算 级行列式n.12
24、345162131n nDn 解：观察行列式的每行之和为定值（1+2+ ），因此将各列加到第一列后，则 12345162()131n nDn 24011()0nn 由于相邻两行元素比较接近，逐行相减。即第二行减第一行，第 行减第 行n1得 11()2n nDn(1)21(2nn 21(1)22()2nn(1)12nn例8 计算 级行列式n.cos10.020cos. .0.2cs1onD证明：由于 1 22cos;1cos1s.D3cs0co10s2scos012co cos(4)3所以当 时，结论成立。 猜想：1,23ncs.nD以下用数学归纳法证明当 时已成立。,假设 时的行列式猜想成立，
25、即1nk。1cos(),coskkD下证明 时行列式结论也成立。现将按最后一行展开，得k112skk由归纳假设， 1coscos()kD222coscossinin(1)kk所以对一切自然数 结论成立。n综上所述 cos.nD例9 计算 级行列式n.1231.nnayyxDayxx 解：由行列式性质，按最后一列展开得 1231.00nnnayyxDayxx 1231.nayyxaxy 1231.00nyaxaxy 123 11.00.()0.0nnaxyxaxyayDxx 231()()nniiayDay行列式转置，同理有 n1()()niix若 ，解得：xy122()()nni jii ji
26、Dayay若 ，解得：11()()nnni ii ixxy例10 计算 级行列式.nxaabDx解：将 第一行元素拆为nnxaabDxaabxx0.bxax（1）11()()nnaxbaD再将 第一列元素拆为nD().0nxbaDx24.0.xbabxbaxb（2）.11()()nnxDa联立上述（1），（2）两递推公式 .11()()nn nbxDxa当 时ab()()nnnbabD当 时ab.1()nnxax例11 计算 级行列式n12011nDn 解: 将第 列的 （ ）倍加到第一列得ii2inD11020nn 1()!2n2ni例12 计算 级行列式n2512100nnxyDxyy 解
27、：将 按第一列展开得n231100nnxDyx 1210()nnyxy 1122()nnx 例13 计算 级行列式n0012012nD 解：将 按第一行展开得n1210012()021nD 12n变形为 12321nnnDDD而 = =121因此 121()nnn()例14 计算 级行列式26.122211nnnnxxDxx 解：注意到 与范德蒙行列式十分接近，构造 级范德蒙行列式n 112221112()nnnnxxfxx .11()()()ijjix将 按第 列展开得 =()fx1nfx1,2, , ,1nnnAxA其中 的系数为 .1 (1),1nD根据范德蒙德行列式的结果求得 的系数为
28、nx,121()()nijjiAxx故有 121()()nnijjiDx例15 计算 级行列式n0101n解： 的每行元素之和均为 ，将各列之和加到第 列得nD1n27110011nnDn 0110()12()nn()例 16 计算元素满足 的 级行列式 。ijanD解： 根据题意写出 级行列式n0121322043110n nD 这是相邻两行（列）元素差 1 的行列式，用前一行减去后一行的方法，得1111230nDn 再把第一列加到其它各列得 012021341nDnn 2812()()n例 17 计算 级行列式n22113243421nnnaaDaa 解：此行列式相邻两行（列）相差倍数 的
29、行列式，采用前行减去后行 倍的方法，化a简得 2311001000nnnn naaDa 1()n例 18 计算 阶行列式n111 D的展开式中正项的项数。解：易知 . 因 的展开式的每一项或为 1，或为 -1，设正项数为 ，负项数为12n s，则t12nts又因为!t解得 29!21ns即 得展开式中正项的项数为 。D!2n30第三章 线性方程组知识点考点精要一、 维向量及其运算n1、 维向量的定义 数域 上的有序 维数组 ，称为PnPaain,21）（ 上的 维向量。P2、 维向量的相等n如果 维向量 的对应分量都相等，12,.,na12,.nb即 ，称这两个向量是相等的，记 。,iab 3、 维向量的运算及性质n1）加（减）法如果 ，则12,.,na12,.nb12,nabab2）数量乘法如果 则12,.,n12,.,.nkak3）性质（1） （2） )()(（3） 0（4） 0)(（5） kk(（6） ll)（7） (k（8） 1二、向量组的线性关系1、基本概念
