1、第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,线性规划的对偶问题对偶问题的基本性质影子价格对偶单纯形法灵敏度分析,第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,1. 线性规划的对偶问题,1.1 对偶问题的提出,在第1章的例1中，我们讨论了如下的生产计划模型：,假定现有一公司想把该工厂的生产资源收购过来，那么它至少应付出多大的代价，才能使该工厂愿意放弃生产活动，出让自己的资源？,现在从另一个角度来讨论这个问题：,1.1 对偶问题的提出,设用 y1, y2, y3 分别表示煤、劳动力和仓库这三种资源的单位定价。因为用1个单位的煤和3个单位的劳动力可以生产一件产品A，从而获得40元利润。那么生产每件产品A的资源
2、出让所得应不低于生产一件产品A的利润，即 y1 + 3y2 40,同理，将可以生产每件产品B的资源出让的所得应不低于生产一件产品B的利润，即 2y1 + 2y2 + 2y3 50,要把所有的资源都收购需付出： W = 30y1 + 60y2 + 24y3当然收购公司希望用最小的代价把工厂的全部资源收买过来，故有：,1.1 对偶问题的提出,min W = 30y1 + 60y2 + 24y3 s.t. y1 + 3y2 40 2y1 + 2y2 + 2y3 50y1 , y2 , y3 0,对偶问题 (DUAL),例2.,问最低成本的原料混合方案是什么？,维生素,1.1 对偶问题的提出,维生素的
3、销售商,换个角度,1.2 线性规划原问题与对偶问题的表达形式,“对称型”,对偶问题,min w=bTy ATy cy0,A 矩阵 y,b 列向量 c 列向量,max z=cTx Ax bx0,A 矩阵 x,b 列向量 c 列向量,原问题,1.2 线性规划原问题与对偶问题的表达形式,原始问题 max z=cTx s.t. Ax bx 0,对偶问题 min w=bTy s.t. ATy cy 0,max,b,A,cT,m,n,c,AT,bT,min,m,n,1.2 线性规划原问题与对偶问题的表达形式,对偶问题的对偶就是原始问题！,“非对称型”,例.写出对偶规划：,min z= 4x1 +2x2 3
4、x3,-x1+2x2 6 2x1 +3x3 9x1 +5x2 2x3 = 4 x2 , x3 0,-y1+2y2 + y3 = 4 2y1 +5y3 23y2 -2y3 -3 y1 0 , y2 0 , y3自由,1.2 线性规划原问题与对偶问题的表达形式,max w= 6y1 +9y2 +4y3,min,max, , 0 0,第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,2. 对偶问题的基本性质,2.1 对偶问题解与原问题解的关系,则原问题单纯表的检验数行对应其对偶问题的一个可行解,设原问题： max z = cTx s.t. Ax+xs=bx, xs0,其对偶问题：min w = bTy s.t
5、. ATy-ys=cy, ys0,ys1 是对应原问题中基变量 XB 的剩余变量ys2 是对应原问题中基变量XN 的剩余变量,松弛变量,剩余变量,检验数,初始单纯形表：,当迭代后基变量为 XB 时：,当 B 为最优基时：, 0, 0,CB CBB-1B= 0,CB CBB-1B = 0 CN -CB B-1N 0,C - CB B-1A 0,-CB B-1 0,ATy Cy 0,令 yT = CBB-1,由此可见，y 是对偶问题的一个可行解。,将这个解代入对偶问题的目标函数，有,w = bTy = yTb = CBB-1b = CBXB = z,即当原问题为最优解时，这时对偶问题为可行解，且两
6、者具有相同的目标函数值。,产品A，B产量x1，x2，Z为利润,2.1 对偶问题解与原问题解的关系例题,X=(8,24)T Z =184,5 6 0 0XB b x1 x2 x3 x4 0 x3 48 3 1 1 0 0 x4 120 3 (4) 0 10 5 6 0 0 0 x3 18 (9/4) 0 1 -1/4 6 x2 30 3/4 1 0 1/4180 1/2 0 0 -3/2 5 x1 8 1 0 4/9 -1/9 6 x2 24 0 1 -1/3 1/3,184 0 0 -2/9 -13/9,B-1,B,对偶问题？,48 120 0 0 M MyB y1 y2 y3 y4 y5 y
7、6 M y5 5 3 3 -1 0 1 0 M y6 6 1 4 0 -1 0 1 11M 48-4M 120-7M M M 0 0 M y5 1/2 9/4 0 -1 3/4 1 -3/4 120 y2 3/2 1/4 1 0 -1/4 0 1/4180+1/2M 18-9/4M 0 M 30-3/4M 0 -30+7/4M 48 y1 2/9 1 0 -4/9 1/3 4/9 -1/3 120 y2 13/9 0 1 1/9 -1/3 -1/9 1/3,y=(2/9,13/9), Z=184,184 0 0 8 24 M-8 M-24,2.2 弱对偶性,证明：,2.2 弱对偶性,由弱对偶性
8、，可得出以下的推论：,原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无可行解；反之，对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其原问题无可行解。 （注意：逆命题不成立）若原问题有可行解而对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之，对偶问题有可行解而原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。,2.3 最优性,证明：,再由弱对偶性：,2.4 强对偶性（对偶定理）,若原问题与其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们的最优解的目标函数值相等。,证明：,由于两者均有可行解，根据弱对偶性推论，原问题的目标函数值具有上界，对偶问题的目标函数值具有下界。因此，两者均具有最优解。,由前面的讨论知，当原问
9、题为最优解，即 B 为最优基时，YT = CBB-1 是其对偶问题的可行解，且两者目标函数值相等。由最优性条件，得此 Y 即为最优解。,2.5 互补松弛性（松紧定理）,在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量为零。,原问题：,max z=cTxAx + xs =bx, xs 0,x =,x1xn,xs=,xs1xsm,2.5 互补松弛性（松紧定理）,证明：,2.6 互补松弛性的应用,例. 已知线性规划问题 Min z = 2x1+ 3x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5x1+ x2 +
10、2x3 + x4 +3x5 42x1- x2 + 3x3 + x4 + x5 3x1, x2 , x3 , x4 , x5 0其对偶问题的最优解为 y1=4/5, y2=3/5，试应用对偶理论求原问题的解。,将 y1=4/5, y2 =3/5的值代入，得知 为严格不等式，于是由互补松驰性，必有x2= x3 = x4=0,解：写出对偶问题： Max S = 4y1+ 3y2 y1+ 2y2 2 y1- y2 3 2y1+ 3y2 5 y1+ y2 2 3y1+ y2 3 y1, y2 0,又因 y1, y2 0，故原问题的两个约束条件必为紧约束，即有x1+ 3x5 =4 2x1+ x5 =3 解
11、得 x1=x5 =1 即 X*=(1,0,0,0,1)T, Z*=5,第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,3. 影子价格,3.1 对偶解的经济意义,z= CBB-1b + (CN - CBB-1 N)XN () z= z(b) b为资源数,对()求偏导：, z, b,=,CBB-1,=,YT,对偶解Y b 的单位改变量所引起的目标函数值的改变量。,bi ：第 i 种资源的数量； yi ：对偶解；,yi ：反映bi 的边际效益(边际成本),3.1 对偶解的经济意义,当 bi 增加 bi ,其它资源数量不变时,目标函数的增量,3.2 影子价格,由前面的经济解释可知，yi 的大小与系统内资源对目
12、标的贡献有关，是资源的一种估价，称为影子价格。,(Shadow Price),注：这种估价不是资源的市场价格。 市场价格是已知数，相对较稳定；而影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数。当企业的生产任务、产品结构等等发生变化时，资源的影子价格也会随之改变，它是一种动态价格。,3.3 影子价格的应用,即某资源对偶解0，该资源有利可图，可增加此种资源量；某资源对偶解为0，则不增加此种资源量。, 影子价格的大小客观地反映了资源在系统内的稀缺程度,根据互补松弛定理的条件，如果某一资源在系统内供大于求，其影子价格就为零。即增加该资源的供应不会引起系统目标的任何变化。如果某一资源是稀缺资源（即相应约束条件
13、的剩余变量为零），则影子价格必然大于零。影子价格越高，资源在系统中越稀缺。,即直接用影子价格与市场价格相比较，进行决策，是否买入该资源。,3.3 影子价格的应用, 影子价格实际上是一种机会成本,在完全市场经济条件下，当某种资源的市场价格低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大再生产；而当某种资源的市场价格高于影子价格时，企业应卖掉已有资源。随着资源的买进卖出，其影子价格也将发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡。,第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析,4. 对偶单纯形法,4.1 基本思路,单纯形法的基本思路：,找基 B，满足 B-1b 0，但 C - CBB-1 A（即
14、检验数）不全 0。,迭代,保持 B-1b 0，使 C -CBB-1 A 0，即 CBB-1 A C,对偶单纯形法的基本思路：,迭代,保持 C -CBB-1 A 0，使 B-1b 0,找基 B，满足 C - CBB-1 A 0，但 B-1b 不全 0。,对偶问题的可行基,4.2 计算步骤,(1) 作初始表，要求全部 cj - zj 0,(2) 判定：B-1 b 全 0，停。否则，取,其对应变量 xr 为换出基的变量。,(3) 确定换入变量, 若第 r 行的 arj 全 0 ，停，原问题无可行解。, 若第 r 行的 arj 有 arj 0 , 则求,其对应变量 xs 为换入基的变量,4.2 计算步
15、骤,(3) 确定换入变量,(4) 以 ars 为主元，换基迭代，得到新的单纯形表,重复1-4的步骤，直到找到最优解,4.2 计算步骤 步骤(3)的两个注释,关于的解释：第 r 个方程,即,0,0,某 xj 从 0，xr不能变 0,0,4.2 计算步骤 步骤(3)的两个注释,关于的解释：下一个表中的检验数为,为保持可行，必须,(a) 对 arj 0, 因 cj zj 0,(b) 对 arj 0, 由 的选取知,例：,-2 -3 - 4 0 0 XB b X1 X2 X3 X4 X5 0 X4 -3 -1 -2 -1 1 0 0 X5 -4 -2 1 -3 0 10 -2 -3 -4 0 0 0
16、X4 -1 0 -5/2 1/2 1 -1/2 -2 X1 2 1 -1/2 3/2 0 -1/2-4 0 -2 -1 0 -1 -3 X2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5 -2 X1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5,-28/5 0 0 -9/5 -8/5 - 1/5,（1）初始解可以是非可行解，当检验数都是负数时，就可以进行基变换，这样避免了增加人工变量，使运算简便。 （2）对变量较少时，而约束条件很多的线性规划问题，可先将其变为对偶问题，再用对偶单纯形求解，简化计算。 （3）用于后面的灵敏度分析。,4.2 对偶单纯形的优点与用途：,第二章 线性规划的对偶理论与灵敏
17、度分析,5. 灵敏度分析,灵敏度分析，是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 资源向量的灵敏度分析 Range of feasibility for right-hand-side coefficients (bi) 价值向量的灵敏度分析 Range of optimality for objective function coefficients (cj) 技术系数的灵敏度分析 Range of optimality for matrix coefficients (aij),5.1 灵敏度分析简介,5.1 灵敏度分析简介,当这些参数( bi , cj , aij )中的
18、一个或几个发生变化时，问题的最优解会有什么变化；或这些参数在一个多大的范围内变化时，问题的最优解不变。,灵敏度分析不需要用单纯形法从头再算。只需把发生变化的个别系数，经过一定计算后直接填入最终单纯形表中，并进行检查和分析。 如最优解改变，可用单纯形法或对偶单纯形法继续迭代计算，直到找到新的最优解。,cj , jN 的变化 cj , jB 的变化 bi 的变化 aij 的变化,5.2 分析 cj 的变化,参数 cj 的变化仅仅影响到检验数 (cj zj) 的变化，所以反映到最终单纯形表上，只可能出现两种情况：,检验数仍然全部0，则最优解不变；出现检验数0，需用单纯形法继续迭代求解。,1.5,2,
19、1/8,-9/4,1+,5.2 分析 cj 的变化,-1/4+/4,-1/2-3/2,为使表中的解仍为最优解，应有,C2在什么范围变化的时候，最优解不变？,5.3 分析 bi 的变化,右端项 bi 的变化在实际问题中为可用资源数量的变化。 bi 的变化反映到最终单纯形表上将引起 b 列数字的变化，可能有下面两种情况：,问题的最优基不变，变化后的 b 列值为最优解；（即生产产品的品种不变，但数量及最优值会变化） 原问题不可行但对偶问题可行，用对偶单纯形继续迭代求最优解。,35/2 11/2 -1/2,初始表,最终表,32,B-1b,B-1,35/2 11/2 -1/2,对偶单纯形,初始表,5+,
20、最终表,B-1,B-1b,若最优基不变，那么b3的变化范围是多少？,5.4 分析增加一个变量 xj 的变化,增加一个变量 xj 在实际问题中反映为增加一种新的产品。,技术系数矩阵多增加一列 Pj,检验数多增加一个 j,最终单纯形表中它们的值如何得到？,原最优解不变,按单纯形法继续迭代计算找出最优解,美佳公司又计划推出新型号的家电III，生产一件所需设备A、B及调试工序的时间分别为3h、4h、2h，该产品的预期盈利为3元/件。,该产品是否值得投产；如投产，该公司的最优生产计划有何变化？,B-1,-CBB-1,用单纯形法继续迭代,初始表,最终表,5.5 分析 aij 的变化,技术系数 aij 的变
21、化使线性规划的约束系数矩阵 A 发生变化。,若变量 xj 在最终单纯形表中为非基变量，则 aij 的变化不会使对应的 B 和 B-1 发生变化，而只影响 Pj 列，对检验数有影响，所以灵敏度分析方法同前面讨论的新增变量的情形； 若变量 xj 在最终单纯形表中为基变量，则 aij 的变化将使对应的 B 和 B-1 随之发生变化，因此可能出现原问题和对偶问题均为非可行解的情形。此时可通过引入人工变量的方法。,B-1,-CBB-1,初始表,最终表,923,3 x2,-923,-M x6,0 0 -M -4M -5+24M,5.6 分析增加一个约束条件 的变化,增加一个约束条件在实际问题中相当于增添一
22、道工序。 先将原问题最优解的变量值代入新增的约束条件：,如满足，说明新增约束未起作用，最优解不变； 如不满足，则需将新增的约束直接反映到最终单纯形表中再进一步分析。,仍以美佳公司为例，设家电I，II 经调试后，还需经过一道环境试验工序。家电I每件须环境试验3h，家电II需每件2h，环境试验工序每天生产能力为12h。试分析增加该工序后的美佳公司最优生产计划。,3 2 0 0 0,0 x6 12,对偶单纯形,练习： 已知某企业计划生产3种产品A、B、C，其资源消耗与利润如表所示。,问：如何安排产品产量，可获最大利润？,max Z = 5x1 +8x2 +6x3x1 +x2 +x3 12 x1 +2
23、x2 +2x3 20 x1 , x2 , x3 0,初始表,最终表,max Z = 5x1 +8x2 +6x3x1 +x2 +x3+x4=12 x1 +2x2 +2x3+x5=20 x1 , x2 , x3, x4, x50,(1) C3在什么范围内变化，最优解不变？ (2) 若C1变为10（即产品A的利润变为10），最优生产方案是什么？ (3) b1在什么范围变化不影响最优生产方案？ (4) 若开发新产品D，该单位产品消耗甲3个单位，乙2个单位，可得利润10。问投产该产品D是否有利？ (5) 假设现电力供应紧张，最多为13个单位，而生产产品A，B，C每单位分别需要2，1，3个单位。问该公司的生产方案是否需要改变？ (6) 若生产产品A的工艺发生改变，生产产品A对甲，乙原材料的需求分别为2，2，单位产品的利润不变。问最优生产方案如何变化？,
