1、数值分析第一章 绪论College of Chemistry and Chemical Engineering内容纲要 1.1 数 值 分 析 研 究 对 象 与 特 点 1.2 数值计算误差 1.3 误差的传播规律 1.4 数值运算的原则L01-2 用计算机解决科学计算问题的过程1.1 数值分析研究对象与特点L01-3实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算求出结果应 用 数 学 范 畴应用数学任务计算数学任务细 分 广 义数值分析的研究对象1.1 数值分析研究对象与特点 数值分析的特点 一、面向计算机 根据计算机的特点提供切实可行的有效算法 ，只能包括加 、减、乘、除运算和逻辑运算 二
2、、有可靠的理论分析 能任意逼近并达到精度要求 ，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性 ，需要对误差进行分析 三、有好的计算复杂性 时间复杂性指节省时间 空间复杂性指节省存储量 四、要有数值实验 通过数值实验证明该算法是有效的L01-4内容纲要 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数 值 计 算 误 差 1.3 误差的传播规律 1.4 数值运算的原则L01-51.2 数值计算的误差 1.2.1 误差来源与分类 模型误差 ：数学模型与实际问题之间的误差 观测误差 ：由观测产生的误差 ，如温度 、压力等 截断误差 （或方法误差 ）： 用数值方法求得的近似解与精确解之间的误差 舍入误差 ：由于计算机
3、字长有限而进行取舍时所产生的误差L01-6数值分析所研究的误差1.2 数值计算的误差 例1：截断误差 根据泰勒公式求 eL01-7.)(! )(.)(!2 )()()()( 00)(200000 += nn xxnxfxxxfxxxfxfxf令 x0=0， 则.! )0(.!2 )0()0()0()()(2 += nnxnfxfxffxf.!1.!211001 += neee取 n=8.71827877.2!81.!21118 =+= ee截 断 误 差 即 e8与 e的差值 ： ee 8 由于截断以获取近似解而产生的误差 ，亦即方法误差1.2 数值计算的误差 例2：舍入误差L01-8.718
4、27877.2!81.!21118 =+= ee为计算便捷 ，对 e8取四位有效数字 ：取五位有效数字 ：取六位有效数字 ：7183.28 e71828.28 e*88 718.2 ee =舍 入 误 差 为 e8*与 e8之间的差值 ： 8*8 ee 由于取有限字节进行舍入时所产生的误差 ，在随后的计算过程中又可能产生新的误差1.2 数值计算的误差 1.2.2 误差与有效数字 1. 绝对误差与绝对误差限L01-9设 x为准确值 ， x*为 x的一个近似值 ，称为 x*近似 x的 绝 对 误 差 ，简称误差xxe = *可正可负0，强近似= xxe则 3.141具有 3位有效数字 ，非有效数解
5、 3： 2001.0.00040734.0| *3*3 1.4 数值运算的原则 2. 尽量避免用绝对值很小的数作除数L01-28)0( = xxyz设 ，由2*)()()()(xxeyxyeze )0( * x可知 ：若 很小 ，则计算结果绝对误差的绝对值可能很大| x1.4 数值运算的原则 3. 尽量避免两个相近的数相减在数值计算中 ，两相近数相减有效数字会严重损失 。L01-29例：根据 4位有效数字的函数表 ，用不同方法计算并比较计算结果o2cos1解：（ 1） 41000000.60006.09994.012cos1 = o（ 2） 4221009187.69994.01 03490.02cos1 )2(sin2cos1 =+= ooo（ 3） 422 1009005.601745.02)1(sin22cos1 = oo与真实值 6.091729809 10-4进行比较 ，方法 （ 2）精度最高1.4 数值运算的原则在数值计算中 ，如正数 x充分大时 ，可利用如下方法变换公式L01-30xxxx +=+ 111在数值计算中 ，如| x|充分小时 ，可利用如下方法变换公式2221111xxx+=
