1、31 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算【学习目标】1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的集合表示和字母表示2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义3.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线（平行）向量、共线向量的意义4.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明三点共线与四点共面问题【学习重点】空间向量的加减运算及其运算律，空间向量数乘运算的定义和运算律【学习难点】向量减法的几何意义的理解，【学习过程】一 自主学习知识链接1.回忆平面向量的概念、表示及其加减、数乘运算，三角形法则和平行四边形法则2.共线向量与共线向量
2、基本定理新课探究一.空间向量的概念1.空间向量：2.向量的模：3.空间向量的表示方法：几何表示：代数表示： 4.零向量：5.单位向量：6.相反向量： 7.相等向量：二.空间向量的加减运算及运算律: 1.类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 ABCDM N2.空间向量加法运算的运算律交换律： ab结合律： ()c思考：(1)平面向量中，所有单位向量移到同一起点或终点轨迹是一个圆；在空间中，所有单位向量移到同意起点后，轨迹是什么图形？（2）向量能比较大小吗？4.与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个 ，称为 。a当 时， 与 方向 0a当 时， 与 方向 4.共线向量定理：空间任
3、意两个向量 、 （ 0） ， / 的充要条件是 bab理解：上述定理包含两个方面： 性质定理：若 （ 0） ，则有 ，其中 是唯一确定的实数ab判断定理：若存在唯一实数 ，使 （ 0） ，则有 （若用此结论判断 、 所在直baabab线平行，还需 （或 ）上有一点不在 （或 ）上）.5.共面向量的概念：6.向量与平面平行：7.共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，则向量 p 与向量 、 共面的充要条件是 abab。二 互动展示1. 量 ：， 并 标 出 化 简 结 果 的 向， 化 简 下 列 向 量 表 达 式已 知 平 行 六 面 体 DCBA（1） （2）；BA；A2.空间四边形 AB
4、CD 中, M、 G 分别是 BC、 CD 边的中点,化简： )(21 )(;(21 )( ACBBDCA3. 空间四边形 ABCD 中, M、 G 分别是 BC、 CD 边的中点,化简：)(21)(BDCA)(21 (ACB4. 已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O，Q 是 CD 的中点，求下列各式中的 x，y 的值；(1);(2)xCyAOQPD(3)若 ,求 x，y，z 的值。PQxBAyCzP三 总结拓展1.在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与 共线，并且向量可以 ，因而不能按照它们所在的直线的平
5、行性、共面关系来确定向量关系2.共线与共面不具有传递性3.用已知向量表示未知向量时，一定要结合图形特征，并充分利用空间向量 的平行四边形法则、 三角形法则4.用向量方法证明线面平行，就是要证明直线对应的向量与平面平行，因此只要证明该直线 与平面内的两个不共线向量 即可，从而利用共面向量定理及其推论便可证明四 检测反馈1.在平行六面体 中，与向量 模相等的向量有（ ）ABCDAA. 0 个 B. 3 个 C. 7 个 D. 9 个2.已知向量 、 是两个非零向量， 是与 、 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是ab0,ab（ ）A. B. 或 000C. D. 1aab3.化简 所得的结果是
6、（ ）PMNA. B. C. D. NPMN4.下列命题中正确的是（ ）A.若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 B.向量 、 、 共面即它们所在的直线共面abcacabcC.零向量没有确定的方向 D.若 ，则存在惟一的实数 ，使Aab5.对任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，并且 ,若四点 P、A、B、C 共面，OPxyBzO则 x+y+z= 。6.在空间四边形 ABCD 中，连接 AC、BD,D,F,G 分别是 BD，CD,DB 的中点，请化简，并标出化简结果的向量。(1)2ABCDGE五 自我评价 你完成本节学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差六 课下作业如图，已
7、知四边形 ABCD 是空间四边形，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且 求证：四边形 EFGH 是梯形。 2,.3CFG3.1.3 空间向量的数量积【学习目标】1.掌握空间向量的夹角与长度的概念2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法3.能用向量的数量积判断向量共线与垂直【学习重点】空间向量的夹角与长度，空间向量的数量积【学习难点】用向量的数量积判断向量共线与垂直【学习过程】一 自主学习知识链接1.平面向量的数量积及其几何意义2.平面向量数量积的性质和计算方法新课探究1.空间向量的夹角已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点 O,作 ，则
8、ab,OAaBb叫做向量 、 的夹角，记作 .如果 ，那么向量 、 ，记作 。,22.空间向量的数量积已知两个非零向量 、 ，则 叫做 、 的数量积，记作 ，即 = ababab零向量与任何向量的数量积为 0特别地， = 3.空间向量数量积的性质：（1） |cos,aeae （2） 0ab （3） 2|a4、空间向量数量积运算律：（1） ()()()b （2） a（交换律） （3） cc（分配律） 二 互动展示1已知空间四边形 ABCD中， ， ACBD，求证： ABC2如图，在空间四边形 OABC中， 8， 6AB， 4C， 5B， 45OAC，60OAB，求 与 的夹角的余弦值。3.已知向
9、量 ab，向量 c与 ,ab的夹角都是 60，且 |1,|2,|3abc，试求：（1） 2()；（2） 2()c；（3） ()(4.已知 2a， 3b，且 a与 b的夹角为 2， 3cab， dmab，求当 m 为何值时 cd5.已知 a和 b是非零向量，且 a= b= ，求 a与 b的夹角三 总结拓展1.用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。2. 0abA（用于判定垂直问题） 2a（用于求模运算问题） cos（用于求角运算问题）四 检测反馈1.已知 1e和 2是两个单位向量，夹角为 3，则（ 12e） 12(3)eA等于
10、（ ）BA.-8 B. 92 C. 52 D.82.已知 1e和 2是两个单位向量，夹角为 3，则下面向量中与 21e垂直的是（ ）A. B. 12e C. 1e D. 3.在 ABC中，设 a， BCb， Ac，若 0)(ba，则 ABC（ ）)(直角三角形 )(锐角三角形 )(钝角三角形 D无法判定4.下列命题：若 0b，则， 中至少一个为若 且 ac，则 b abc23294中正确有个数为（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个5.已知 ABC中，A，B，C 所对的边为 a,b,c，且 a=3,b=1,C=30,则 BCA= 。6.若 a， b， c满足 0abc，且
11、 ,14abc，则 abc= 。7.已知 2，且 与 的夹角为 3，则 在 上的投影为 。8.已知 1， ， 3，则。9.已知 a和 b是非零向量，且 ab与 75垂直， 4ab与 72垂直，求 a与 b的夹角。五 自我评价你完成本节学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差六 课下作业1.已知 O、 、是非零的单位向量，且 OA+ B+ C=0，求证： ABC为正三角形。2.已知 4a， 2b，且 a和 b不共线，求使 ab与 的夹角是锐角时 的取值范围3.1.4 空间向量运算的坐标表示【 学习目标】1理解空间向量与有序数组之间的 1-1 对应关系 2掌握投影定理、分向量及方向余弦
12、的坐标表示【学习重点】1投影定理 2分向量 3方向余弦的坐标表示【学习难点】1投影与投影定理 2分向量与向量的坐标 3模与方向余弦的坐标表示【学习过程】一 自主学习知识链接1.平面向量中投影的定义：2.平面向量中向量的坐标表示与坐标运算新课探究空间向量基本定理1.如果三个向量 a， b， c不共面，那么对于空间任一向量 ，存在有序实数组 ，使得 = p,xyzp。2.如果三个向量 ， ， 不共面，那么空间所有向量组成的集合就是。这个集合可以看做是由向量 a， b， c生成的，我们把,pxyzcxR叫做空间向量的 ， a， b， c叫做 。空间任何三个 a,bc的向量都可以构成空间的一个基底。3
13、.若 是有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为一组 ，若123,e以 的公共起点 O 为原点，分别以 为坐标的 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系123,eO-xyz，那么对于空间任一向量 ，依据空间向量基本定理 ，把 x，y，z 称为 p123pez，记为 。4.向量的直角坐标运算法则：设 a ， b ，则123(,)123(,) a b ； 123(,)b a b ； a ； 123(,)a(R ab b上述运算法则怎样证明呢？（将 a i j k 和 b i j k 代入即可）123a123b5.怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起
14、点的坐标 ）二 互动展示1.已知 a ， b ，求 a b， a b，8 a， ab(2,35)(,14)2.若向量 )2,36(),42(ba，则 (3)(2abA_。3.向量 ,cba是空间一个基底，一定可以与向量 baqp,构成空间的另一个基底的向量是 （ ） A aB bC cD ba或4.已知 a（ 2， 1， 3） ， b（ 1， 4， 2） ， c（ 7， 5， ） ，若 a、b、c 三向量共面，则实数 等于（ ） A） 67 （B） 67 （C） 6 （D） 6三 总结拓展四 检测反馈1.下列各组向量中不平行的是（ ）A )4,2(),(ba B )0,3(),01(dcC 0
15、32fe D 421652hg2.已知点 ,14，则点 A关于 x轴对称的点的坐标为（ ）A )( B ),1( C ),3( D ),(3.已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是 （ ）A OMB CBAM2C C312D 31314.直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 Aa，b， 1c， 则 1 （ ）（A） abc（B ） abc（C） c（D） aEMGDCBA5.已知空间四边形 OABC，点 ,MN分别为 ,OABC的中点，且 cCObBaA,，用 a，b， c表示 N，则 =_。6.在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，G 为ABC 的重心，E 是 BD 上一点，BE3ED，以， ， D为基底，则 E 五 自我评价你完成本节学案的情况为 A 很好 B 较好 C 一般 D 较差六 课下作业已知空间四边形 OABC 中，G、H 分别是 、 的重心，设 试用向ABCO,.AaOBbCc量 表示向量 。,abc,O
