1、6 几个著名的不等式在不等式的证明中，掌握一些常用的不等式是必要的，下面我们对几个常用的著名不等式作一介绍。1 基本原理先介绍排序不等式，设 与 是两组实数，且na,21 nb,21， ，na21b我们将 称为这两组实数的顺序积和，将b称为这两组实数的倒序积和，设 是 的一个排1121ann nii,21 ,列，则称 为这两组实数的乱序积和。niii ba21对于这 3 类积和我们有如下结论：定理 1（排序不等式）设 ， ， 是na21 nbb21 nii,21的一个全排列，则有n,21121babnnniii21，等号全成立的充要条件是 或 .naa21 nbb21证 我们先用数学归纳法证明
2、.niiib21 na21（1）当 时，因为n)(12121baa，0)(所以 时， （1）式成立。n假设对于 时（1）式成立，即k，kiii baba21 kba21其中 是 1,2, 的一个排列，那么对于 ，设 是 1,2，ki,21 , 1n12,kii的一个全排列，则当 时，由归纳假设知，, 1ki121 kkiiii baba= 21 iii k，1k所以（1）式成立当 时，必存在 ， ，使得 ，则1ki ji1jik1111 kjjj iiiii bababa)()( 1111 kjkjj iiiiii 111 11jj k kiiiiji )()( 1111 ijiijiji b
3、abaaba kkjj 1)1111 kiijijiji kjkj 2)(，11kkbaba即 时（1）式成立。kn由归纳法原理知对于 ， （1）式成立.2n再证 .121n niii ba21事实上，因为 ，由（1）知，对于 1,2， 的一个排列bbn ，有nii,21)()()(21 niii aa，11bbnn .niiib21 12bann再证等号成立的条件，充分性是显然的.我们用反证法证明必要性.若结论不成立，即在= （2）nbaa21 1121nn的条件下， 不全相等， 也不全相等，则存在 ，n, , i，使得,2k， .1iia1kb不妨设 ，则有ki， ，1kii 1ki从而有
4、 ，ikii baba所以 nki 11 iki 1(3)121babann(3)与（2）矛盾.排序不等式表明对于两组实数，其顺序积和最大，倒序积和最小，乱序积和居中，顺序积和与倒序积和相等的充要条件是这两组实数中有一组全相等。推论 1 若对于 ，有 ，则 ，ni,20ixnxx1321等号成立的条件是 .nx21证 由对称性，不妨设 ，则 .有排序不等式，nx21 nx12有1321xxn.121 n等号成立的条件是 或 ，即 .nxx21 nx21 nx21推论 2 若对于 ， ，且 ，则 .等i, 0ia1a an21号成立的充要条件是 .21na证 令 则 ，这里 均为正实, 1321
5、 nxax 1xannx,21数，由推论 1 知，na2.nxx1321等号成立的充要条件是 ，即 .n2 121naa定理 2 设 是 个正数，令na,1（调和平均值） ，nH1)(21（几何平均值） ，naG)(（算术平均值） ，An21（平方平均值） ，aanQn221)(则有（ ）(调和平均几何平均不等式) ； )(GH（ ）(几何平均算术平均不等式) ；nA（ ） （算术平均平方平均不等式） . )(Q这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是 .naa21证 （ ） )(nGHnaa112 na21(1)nannn 21211,212112 nnnnaa由定理 1 的推论
6、2 知（1）式成立，故（ ）成立.等号成立的充要条件是，即 .nnnna 21212 naa21（ ）)(nAGnna21 an21(2)nannnn 212121,212121 nnnn aaa所以由定理 1 的推论 2 知（2）成立，故（ ）成立.显然等号成立的充要条件是.na21（ ） 令 ，再令 ， ，则aacn21 iicn,211212nnc .a （ ） =0 , 12n2 2221()()()naaccn .221nc等号成立的充要条件是 ，即 .2210n naa21定理 3 （切比雪夫不等式）设 与 是两组实数，且n, b,1， ，则naa21 nbb21iniiniii
7、ba 1111 )(（1）等号成立的充要条件是 或 .na21 n21证 由排序不等式，有，nn babba 2121，132121 bababann，24，112121 nnn bababa将上述 个式子相加，得n，211111()nnnnniiii iii ，)(111nininii bab即（1）式左边的不等式成立.由排序不等式等号成立的条件知当且仅当或 时等号成立.naa2 n21因为 ，由上面的证明可知，1bb，)()()( 1121 aannnn )(1)niini ba .iiini bb111)(等号成立的充要条件是 或 .naa2 nb2由切比雪夫不等式可知，对于两组实数，其
8、顺序积的算术平均值不小于这两组实数的算术平均值的积，倒序积和的算术平均值不大于这两组数的算术平均值的积。定理 4（柯西不等式）对任意实数 和 ，有n， 21 n， 21，22111)()nnniiiabb（ ）等号成立的条件是存在不全为零的实数 和 ，使得对于 有 ，即,2,1niiiba与 对应成比例.na， 21 nb， 21证 若 ，则 ，不等式成立.01i021naa当 时，作关于 x 的二次函数12ni.niinini bxaxxf 12112)()() ，且 ，所以)()212iiniif 0)(12niiixa01i2na，0)(4)(1212niinii baba .2211(
9、)()nniii从上面证明不难看出等号成立的条件.3 方法解读运用上述几个不等式解答竞赛试题，首先应对各个不等式的特点与功能有透彻的了解，然后根据试题的特点，合理的选择不等式和变形方法.在应用这些不等式解题时应注意约分、有理化、升幂与降幂、排序等方法的应用，下面我们通过实例来说明这些方法.例 1 已知 都是正数，求证：na,21（1）22121 )1)( naan方法 1 （用切比雪夫不等式）不妨设，120na则 ，n21由切比雪夫不等式，有)11()( 221 nnaaan12( )n，化简即得（1）.方法 2 （用柯西不等式） )11)(221 nnaaa.niini a1221)()(
10、21)(nainii例 2 设已知 是实数，满足edcba,2228,16e试确定 的最大值. e证 由算术平方平均不等式得：，4422 dcbadcba从而有 ，222 )()(，16)(8e解之得 .当 时， ，因此 的最大值为50516dcbaee.516例 3（第 26 届美国奥林匹克试题）证明对所有正数 有,cbacababc 11333 （1）证 由排序不等式知,23bccb，23a从而有abccbbca333 111 222)(1)(1)(1cbacbacba.)(例 4（2005 年日本数学奥林匹克）若正实数 满足 ，求证,cba1c.111333 cba证 ，02bacb由均
11、值不等式，得，313)(113 c .cacba同理可得,313.cbabc将上述 3 个不等式相加，得33111bacca .c1例 5 设非负实数 满足 ，na,2 2n ,111 123321 nnnn aaaf 求 的最小值.f证 由对称性，不妨设 ，021naa则 ,21na由不等式（9）知，.1122()ninii iiaf等号成立的充要条件是 即 时等号成立，所,21naa na21以 的最小值为 .f2n例 6（2004 年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数 均有,cb.2244 cbacba解 ,224cb,4224ba,224cbc上述 3 个式子相加，得，)(4)(2)(2 22244 cbacbaac 所以 .2244b习题 61.设 是正数，且 q 求证： .,cba,1cba 31acba2.设 都是正数，求证： .nx,21 )(12121 2)(nn xnxx 4.已知 求证： .,0abc 44444 cbacbacba
