1、13.2 合情推理与演绎推理一、选择题1如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是 A.答案 A2推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；三角形不是矩形”中的小前提是( )A B C D和解析 由演绎推理三段论可知，是大前提；是小前提；是结论答案 B3设 f0(x)sin x， f1(x) f0( x)， f2(x) f1( x)， fn(x) fn1 ( x)，nN，则 f2 013(x)( ) Asin x Bsin x Ccos x Dcos
2、x解析 f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)cos x f1(x)，f6(x)(cos x)sin x f2(x)，fn4 (x) fn(x)，故可猜测 fn(x)以 4 为周期，有f4n1 (x) f1(x)cos x， f4n2 (x) f2(x)sin x，f4n3 (x) f3(x)cos x， f4n4 (x) f4(x)sin x，所以 f2 013(x) f50341 (x) f1(x)cos x，故选 C.答案 C 4为提高信息在传输中的抗干扰能力
3、，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为 a0a1a2， ai0,1( i0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中 h0 a0 a1， h1 h0 a2，运算 规则为：000，011,101,110.例如原信息为 111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A11010 B01100 C10111 D00011解析 对于选项 C，传输信息是 10111，对应的原信息是 011，由题目中运算规则知 h0011，而 h1 h0 a2110，故传输信息应是 10110.答案 C5观察下图： 12 3 43
4、4 5 6 74 5 6 7 8 9 10则第_行的各数之和等于 2 0112( )A2 010 B2 009 C1 006 D1 005解析 由题图知，第一行各数和为 1；第二行各数和为 93 2；第三行各数和为255 2；第四行各数和为 497 2；故第 n 行各数和为(2 n1) 2，令2n12 011，解得 n1 006.答案 C6观察下列各式：5 53 125,5615 625,5778 125，则 52 011的末四位数字为( )A3 125 B5 625 C0 625 D8 125解析 5 53 125,5615 625,5778 125,58390 625,591 953 12
5、5,5109 765 625，5 n(nZ，且 n5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为 4，记5n(nZ，且 n5)的末四位数字为 f(n)，则 f(2 011) f(50147) f(7) 5 2 011与 57的末四位数字相同，均为 8 125.故选 D.答案 D7古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A289 B1 024 C1 225 D1 378解析 观察三角形数：1,3,6
6、,10，记该数列为 an，则 a11，a2 a12，a3 a23，an an1 n. a1 a2 an( a1 a2 an1 )(123 n)an123 n ，n n 12观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为 bn，则 bn n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得 n 都为正整数的只有 1 225.答案 C二、填空题8对于命题：若 O 是 线段 AB 上一点，则有| | | | 0.OB OA OA OB 将它类比到平面的情形是：若 O 是 ABC 内一点，则有 S OBC S OCA S OAB 0.OA OB OC 将它类比到空间的情形应该是：若 O 是四面体 A
7、BCD 内一点，则有_解析 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积 答案 VO BCD VO ACD VO ABD VO ABC 0 OA OB OC OD 9在平面上，若两个正三角形的边长比为 12，则它们的面积比为 14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 12，则它们的体积比为_ 解析 两个正三角形是相似的三 角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为 18.答案 1810已知结论：“在正三角形 ABC 中，若 D 是边 BC 的中点， G 是三角形 ABC 的重心，则 2” 若
8、把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面AGGD体 ABCD 中，若 BCD 的中心 为 M，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等” ，则 _.AOOM解析 由题知， O 为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为 h，由等体积法可求内切球半径为 h，外接球半径为 h，所以 3.14 34 AOOM答案 311设 n 为正整数， f(n)1 ，计算得 f(2) ， f(4)2， f(8)12 13 1n 32， f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为_52解析 由前四个式子可得，第 n 个不等式的左边应当为 f(2n)，右边应当为 ，n 22即可得一般的结论为
9、f(2n) .n 22答案 f(2n) n 2212在 Rt ABC 中，若 C90， AC b， BC a，则 ABC 外接圆半径 r.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a2 b22a， b， c，则其外接球的半径 R_.解析 (构造法)通过类比可得 R .证明：作一个在同一个顶点处a2 b2 c22棱长分别为 a， b， c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是 ，a2 b2 c2故这个长方体的外接球的半径是 ，这也是所求的三棱锥的外接球a2 b2 c22的半径答案 a2 b2 c22【点评】 本题构造长方体.解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正
10、方体或长方体三、解答题 13平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积 S 底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三12边的 ；12请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论解析 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积 V 底面积高；13(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的 .1414(10 分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有 1
11、 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数(1)试给出 f(4)， f(5)的值，并求 f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明： .1f 1 1f 2 1f 3 1f n 43解析 (1) f(4)37， f(5)61.由于 f(2) f(1)716， f(3) f(2)19726，f(4) f(3)371936， f(5) f(4)613746，因此，当 n2 时，有 f(n) f(n1)6( n1)，所以 f(n) f(n) f(n1) f(n1) f(n2) f(2) f(1) f(1) 6(n1)( n2)2113
12、n23 n1.又 f(1)131 2311，所以 f(n)3 n23 n1.(2)证明：当 k2 时， . 1f k 13k2 3k 1 13k2 3k 13( 1k 1 1k)所以 1f 1 1f 2 1f 3 1f n1 1 1 .13(1 12) (12 13) ( 1n 1 1n) 13(1 1n) 13 4315定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和已知数列 an是等和数列，且 a12，公和为 5，(1)求 a18的值；(2)求该数列的前 n项和 Sn.解析 (1)由等和数列的定义，数列 an是等和
13、数列，且 a12，公和为 5，易知 a2n1 2， a2n3( n1,2，)，故 a183 .(2)当 n 为偶数时，Sn a1 a2 an( a1 a3 an1 )( a2 a4 an)22 33 n；2 n2个 2 3 n2个 3 52当 n 为奇数时， Sn Sn1 an (n1)2 n .52 52 12综上所述： SnError!16某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形(1)求出 f(5)的
14、值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想” ，归纳出 f(n1)与 f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出 f(n)的表达式；(3)求 的值1f 1 1f 2 1 1f 3 1 1f n 1解析 (1) f(5)41.(2)因为 f(2) f(1)441，f(3) f(2)842，f(4) f(3)1243，f(5) f(4)1644， 由上式规律，所以得出 f(n1) f(n)4 n.因为 f(n1) f(n)4 nf(n1) f(n)4 nf(n) f(n1)4( n1) f(n2)4( n1)4( n2) f(n3)4( n1)4( n2)4( n3) f(1)4( n1)4( n2)4( n3)42 n22 n1.(3)当 n2 时， .1f n 1 12n n 1 12( 1n 1 1n) 1 1f 1 1f 2 1 1f 3 1 1f n 1 12(1 12 12 13 13 14 1n 1 1n)1 .12(1 1n) 32 12n
