1、福建省厦门双十中学 2015 届高三上学期期中考试数学（文）2014.11.13一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ，集合 ，则 等于12,AxxZ420，BBAA B C D4,040， 4210，2 如图在复平面内，复数 对应的向量分别是 ，则复数 的值是21,zO,zA i1 B i C i21 D i3若向量 ，则下列结论正确的是,0,abA B. C D|aba)(ba/4. 在等差数列 n中，已知 48+=16，则该数列前 11 项和 1=SA58 B88 C143 D1765.已知双曲线 1(a 0)的离心率为 2，则 ax2a2 y23A2 B. C. D
2、162 526. 已知函数 1,().xfa若 (0)f=4 ，则实数 =（ ）A. 12 B. 45 C. 2 D. 97设抛物线 28yx上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是A4 B.6 C.8 D.128 “ ”是“一元二次方程 20xa有一个正根和一个负根”的1aA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件9当 x1 时，不等式 x+ a 恒成立，则实数 a 的取值范围是1xA( ,2 B2,+) C3,+ ) D(,3 10. 已知函数 ，则函数 满足 xf 2cos3fxA )(xf的最小正周期是 ； B来源若 ，则 ；
3、12ffx12xC )(xf的图象关于直线 43x对称； D当 3,6x时， )(xf的值域为.43,11若 x,y 满足 仅在点（1，0）处取得最小值，则实数 的取yaxzyx2,21,且 a值范围是A B C D。0,4a,(4,2)a12.已知函数 ，若 中，角 C 是钝角，那么3fxAA BsincosfsincosffBC Dif i二.填空题（每题 4 分，共 16 分）13 函数 的定义域为_xy3214. 已知 为钝角，且 ,则 = ；53)cos(2sin15.圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴所得弦的长为 ，20yCyCx23则圆 的标准方程为 。C16.
4、给出下列四个命题中： 命题： ； ,sinco3xRx,023xx 对 ，则 .1e,41yy24xy其中所有真命题的序号是 . 三.解答题17 （本小题满分 12 分）已知ABC 中，A（2，-1） ，B（4，3） ，C（3，-2） ，求：（1）BC 边上的高所在直线方程的一般式；（2）求 .的 面 积ABC18 (本小题满分 13 分)在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 , a = 3, . sin3iAcB2cos3() 求 b 的值; () 求 的值. sin2319 （本小题满分 12 分）已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 25a，
5、9S.（）求 na 及 nS；（）若数列 241n的前 项和 nT，试求 n并证明不等式12nT成立.20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 E 的方程： ( )，它的两个焦点为21xyab0，P 为椭圆的一点(点 在第三象限上), 且 的周长为1253,0,FP12PF，2（）求椭圆 E 的方程；（）若以点 P 为圆心的圆过椭圆的左顶点 M 与点 ， MP 交圆 P 与另一点 N,若点2,0CA 在椭圆 E 上，使得 ，求点 A 的坐标.32AN F2F1CNMOyxPA21 （本小题满分 12 分）经过多年的运作， “双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴. 为迎接
6、2014 年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 P 万件与促销费用 x 万元满足 (其中 ，a 为正常数)已知生产该批产品 P 万件还需投入123xPx0成本 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为 元件，假定厂家0 )204(的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22 （本小题满分 14 分）已知函数 ，()ln1fx()1lngxax=-（）求 f(x)的最小值；（）讨论函数 的单调性；g（）是否存在常数 K
7、，使 恒成立，若存在，求出 K 的最大值，若exff不存在，说明理由.厦门双十中学 2015 届高三数学（文）期中考试卷2014.11.13第 20 题图11. C【解析 】画出区域图，可知当 时， ，即 ，符合题意；0ayz2z1当 时， ，斜率 ，即 时符合题意；0azxy2110a当 时， ，斜率 ，即 时符合题意； 综上，4(4,2)12【 解析 】因为 ，所以 ，3fx231fxx故函数 在区间 上是减函数，又 A、B 都是锐角，且1, 2AB所以 ，所以 ，故02ABsinicos2选 Asincosff二、 13. 14. 15. 16. ,0,2325422()(1)4xy16
8、. 【解析】 故错；画 ， 图可知sincosinxx3xy错；设 ， ，可知 在 减，在 递增，1xfe1xfefx,0,； 正确 为原点到 的距离的平方，为 4，所以 min0fxf2xy4310xy正确. 三.解答题 17. （1） kBC=5 BC 边上的高 AD 所在直线斜率 k= -51-2 分 AD 所在直线方程 y+1= (x-2) -5 分 即：x+5y+3=0 -651分（2）求得 BC 直线方程为：5x-y-17=0-7 分点 A 到直线 BC 距离为 -10 分26-11 分 -12 分BC3ABCS18 解：()因为 ，据正弦定理可得 -sin3ibcBabc1 分因
9、为 a = 3 ，得 -13 分所以 -522 2cos963ba分得 -66 分() ，且 -70,B25cossin33B分所以 -913sin2ico2siin2cosBB分-122353453sincocos12198B 分19 （ 1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ， na1d,2Sa,得19592， ， -4 分536d2d13a-6 分na（） -9 分2411nbnn121123nnTb n -11 分又因为 ，所以1102nn112nTT所以 -12 分2nT20解：（ ）依题意得： 121203,FPFa又1 分则有 -20+13ac2 分， ,5b4 分椭圆 E 的方程
10、： 210xy5 分（）解法一：由（ 1 ）得 , 10M2,C6 分设点 ，则有 ,Pmn0(2)又： , ，即 2105 4n6,4P8 分P 为 MN 的中点，可得 2,N9 分设 ， ， ,Axy10,2,8MxyAxy2810N10 分， 22643xy11 分得 时， -,y,A12 分21 (1)由题意知， ，-3 分)210()24(pxp将 代入化简得： （ ）. - 6 分231pxy46xa(2) 222 213141xxy 当 时, a时 ， 所以函数 在 上单调递增0,1xy416yx0,1时 ，所以函数 在 上单调递减aa促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大 ;
11、-9 分当 时, 因为函数 在 上单调递增461yx0,在 上单调递增,46yx0a所以 时,函数有最大值即促销费用投入 万元时，厂家的利润最大 .a综上, 当 时 , 促销费用投入 1 万元，厂家的利润最大 ;1a当 时, 促销费用投入 万元，厂家的利润最大 -12 分（注：当 时，也可： ，13)(4217)4(7 xxy当且仅当 时，上式取等号）1,14x即22【 解析 】 （）f(x )的定义域为 f(x)的导数 . -0(， +)()1lnfx-1 分令 ，解得 ；令 ，解得 .()0f1ex()f0e从而 f(x)在 单调递减，在 单调递增. -， ， +-3 分所以，当 时，f(
12、x) 取得最小值 1 . -1ee-4 分（） ， ()ln,()(0,)gaf的 定 义 域 为 1()axfx当 是单调递减函数；-00,fx时 ， 在-5 分当 0 时，令 的变化情况如下表：a1()(0,)()f fxa ， 、 随x (0， ) 1a1(,)a+f(x) - 0 +f(x) 极小值 从上表可以看出：当 0 时，f(x) 在区间上 是单调增函数 -a1(,)a+-7 分在上(0， )是单调递减函数 -8 分() 所以 , 10fxe1lnexfexKexff恒成立即 恒成立-91lnKxfx分由（）可知，当 ， 在区间 上是减函数， 在区间ae1lngxx10,e上是增函数1(,)e+故当 时， 的最小值为 -1xe1lngxex1ge-11 分又由（）可知，当 时，f(x) 取得最小值 1 0 -efe-12 分故函数 当 时，取得最小值1lnyexfx1ee-13K分即 K 的最大值为 -14 分1e
