1、2015-2016 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数 （i 是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设集合 M=x|2x1|3，N=xZ|12 x8，则 MN=（ ）A （0，2 B （0，2） C1，2 D0，1，23 “m=1”是“直线 mxy=0 和直线 x+m2y=0 互相垂直” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4设 x，y 满足 ，则 z=x+y（ ）A有最小值 2，最大值
2、3 B有最小值 2，无最大值C有最大值 3，无最小值 D既无最小值，也无最大值5设 n= 3x2dx，则（x ） n 的展开式中的常数项为（ ）A B C 70 D706函数 f（x）= cosx， （ x ）的图象大致是（ ）A B C D7一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为 2 的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（ ）A6+ B C6+ 4 D8将函数 f（x）=2sin（2x ）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的一个单调递减区间是（ ）A ，0 B ， 0C0， D ， 9已知函数 f（x）=2 x+x，g（x）=log 2x+x
3、，h（x）=log 2x2 的零点依次为 a，b，c，则（ ）Aabc Bc ba Cc ab Dbac10已知抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 =1（a0， b0）相交于 A、B 两点，双曲线的一条渐近线方程是 y= x，点 F 是抛物线的焦点，且FAB 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（ ）A =1 B =1 C =1 D =1二、填空题：本大题共 5 题，每小题 5 分，共 25 分.11执行如图所示的程序框图，设当箭头 a 指向 处时，输出的 S 的值为 m，当箭头 a 指向处时，输出的 S 的值为 n，则 m+n= 12若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这
4、个数为“伞数” ，现从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有 个13设函数 f（x）= ，f（x）为 f（x）的导函数，定义 f1（x）=f （x） ，f 2（x）=f1（x） ，f n+1（x）=f n（x） （nN *） ，经计算 f1（x）= ，f 2（x）= ，f 3（x）= ，根据以上事实，由归纳可得：当 nN*时，f n（x）= 14在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=4，AD=3，DAB= ，点 E，F 分别在边AD，BC 上，且 =3 ， =2 ，则 的值为 15对于函数 f（x） ，若存在常数 a0，使得 x 取
5、定义域内的每一个值，都有 f（x）=f（2ax） ，则称 f（x）为“ 准奇函数 ”给定下列函数：f（x）= ，f （x）=（x+1） 2； f（x）=x 3；f（x）=sin（x+1） ，其中的“ 准奇函数”是 （写出所有“准奇函数” 的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，且 a，b，c 成等比数列，sinB= ，（）求 + 的值；（）若 =12，求 a+c 的值17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：P
6、B平面 AEC；（）已知 AP=AB=1，AD= ，求二面角 DAEC 的余弦值18经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以 30 天计） ，第 t 天（1t30，tN *）的旅游人数 f（t） （单位：万人）近似地满足 f（t）=4 + ，而人均日消费俄 g（t） （单位：元）近似地满足 g（t ）= （）试求所有游客在该城市旅游的日消费总额 W（t ） （单位：万元）与时间t（1t30，tN *）的函数表达式；（）求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值19设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=3，S 6=36（）求数列a n的通项公式；（）令 bn= ，求数列a n的前
7、n 项和 Tn20设函数 f（x）=lnx ax22x，其中 a0（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x+b，求 a2b 的值；（）讨论函数 f（x）的单调性；（）设函数 g（x）=x 23x+3，如果对于任意的 x，t （0，1，都有 f（x）g（t）恒成立，求实数 a 的取值范围21在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ab0）的左右焦点分别为F1，F 2，离心率为 ，以原点为圆心，以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy+ =0相切，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 =3 ，求直线
8、 l 的方程；（3）求F 1MN 面积的最大值2015-2016 学年山东省滨州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数 （i 是虚数单位）在复平面所对应的点位于的象限（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出【解答】解：复数 = = =i+1 在复平面所对应的点（1，1）位于第一象限故选：A2设集合 M=x|2x1|3，N=xZ|12 x8，则 MN=（ ）A （0，2 B （0，2） C1，2 D0
9、，1，2【考点】交集及其运算【分析】求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N，找出两集合的交集即可【解答】解：由 M 中不等式变形得：32x 13，解得：1x 2，即 M=1，2，由 N 中不等式变形得：2 0=12 x8=2 3，即 0x3，xZ，N=1 ，2，则 MN=1，2，故选：C3 “m=1”是“直线 mxy=0 和直线 x+m2y=0 互相垂直” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可【解答】解：若 m=1，则两直线方程为
10、xy=0 和 x+y=0，满足垂直，当 m=0 时，两直线方程为 y=0 和 x=0，满足垂直，但 m=1 不成立，即“m=1” 是“直线 mxy=0 和直线 x+m2y=0 互相垂直” 的充分不必要条件，故选：A4设 x，y 满足 ，则 z=x+y（ ）A有最小值 2，最大值 3 B有最小值 2，无最大值C有最大值 3，无最小值 D既无最小值，也无最大值【考点】简单线性规划【分析】本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数 z=x+y 及直线 2x+y=4 的斜率的关系，即可得到结论【解答】解析：如图作出不等式组表示 的可行域，如下图所示：
11、由于 z=x+y 的斜率大于 2x+y=4 的斜率，因此当 z=x+y 过点（2，0）时，z 有最小值，但 z 没有最大值故选 B5设 n= 3x2dx，则（x ） n 的展开式中的常数项为（ ）A B C 70 D70【考点】定积分；二项式系数的性质【分析】利用定积分求出 n，再求出展开式通项，令 x 的指数为 0，即可求出展开式中的常数项【解答】解：n= 3x2dx=x3| =8，（x ） n 展开式的通项公式为 Tk+1=Cnkxnk（1） k（2x） k=（ ） kCnkxn2k，当 n2k=0 时，即 82k=0 时，k=4 时，展开式为常数项，T 5=（ ） 4C84= 故选：B6
12、函数 f（x）= cosx， （ x ）的图象大致是（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项【解答】解： x 时， y=cosx 是偶函数，并且 y=cosx（0，1，函数 f（x）= cosx， （ x ）是偶函数，cosx（0，1时，f （x）0四个选项，只有 C 满足题意故选：C7一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为 2 的正三角形及其内切圆，则侧视图的面积为（ ）A6+ B C6+ 4 D【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是三棱柱与球的组合体，判断三棱柱的高及底面三角形的边长，计算球的半径，根据侧视图是矩形上边加
13、一个圆，分别计算矩形与圆的面积再相加【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱与球的组合体，其中三棱柱的高为 2，底面三角形的边长为 2 ，根据俯视图是一个圆内切于一个正三角形，球的半径 R= =1，几何体的侧视图是矩形上边加一个圆，矩形的长、宽分别为 2，3，圆的半径为 1，侧视图的面积 S=23+12=6+故选：A8将函数 f（x）=2sin（2x ）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的一个单调递减区间是（ ）A ，0 B ， 0C0， D ， 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的
14、解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论【解答】解：将函数 f（x）=2sin（2x ）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）=2sin2（x+ ） =2sin（2x+ ）的图象，令 2k+ 2x+ 2k+ ，求得 k+ xk+ ，则函数 g（x）的一个单调递减区间为k+ ，k+ ，kZ，结合所给的选项，故选：D9已知函数 f（x）=2 x+x，g（x）=log 2x+x，h（x）=log 2x2 的零点依次为 a，b，c，则（ ）Aabc Bc ba Cc ab Dbac【考点】函数的零点【分析】分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果【解答】解：令函数 f（x）=2 x+x=
15、0，可知 x0，即 a0；令 g（x）=log 2x+x=0，则0x1，即 0b1；令 h（x）=log 2x2=0，可知 x=4，即 c=4显然 abc故选 A10已知抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 =1（a0， b0）相交于 A、B 两点，双曲线的一条渐近线方程是 y= x，点 F 是抛物线的焦点，且FAB 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是（ ）A =1 B =1 C =1 D =1【考点】双曲线的标准方程【分析】由题意已知抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 =1 相交于 A，B 两点，点 F 是抛物线的焦点，且FAB 是等边三角形，由圆锥曲线的对称性和等边三角形的性质可求得A，B
16、 的坐标分别为（ 2， ） ，将此点代入双曲线方程，得 a，b 的一个方程，再由渐近线方程，又得 a，b 的一个方程，联立即可求得 a，b 的值，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意可得抛物线 y2=8x 的准线为 x=2，焦点坐标是（ 2，0） ，又抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 =1 相交于 A，B 两点，又FAB 是等边三角形，则有 A，B 两点关于 x 轴对称，横坐标是2，纵坐标是 4tan30与4tan30，将坐标（2， ）代入双曲线方程得 =1，又双曲线的一条渐近线方程是 y= x，得 = ，由解得 a= ，b=4 所以双曲线的方程是 =1故选 D二、填空题：本大题共 5
17、 题，每小题 5 分，共 25 分.11执行如图所示的程序框图，设当箭头 a 指向 处时，输出的 S 的值为 m，当箭头 a 指向处时，输出的 S 的值为 n，则 m+n= 14 【考点】程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出当箭头指向时，计算 S 和 i 的值，求出 m；当箭头指向时，计算 S 和 i 的值，求出 n 的值，计算 m+n【解答】解：当箭头指向时，计算 S 和 i 如下：i=1，S=0，S=1；i=2，S=0，S=2；i=3，S=0，S=3；i=4，S=0，S=4；i=5，结束S=m=4当箭头指向时，计算 S 和 i 如下：i=1，S=0，S=1；i=2，S=3；i=3，
18、S=6；i=4，S=10；i=5，结束S=n=10m+n=14，故答案为：1412若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数” ，现从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任取 3 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有 20 个【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，因十位上的数最大，则其只能为 3、4、5，进而分 3 种情形处理，即当十位数字分别为 3、4、5 时，计算每种情况下百位、个位的数字的情况数目，由分类计数原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，十位上的数最大，只能为 3、4、5，分 3 种情形处理，当十位数字为 3 时，百位、个位的数字为
19、 1、2，有 A22 种选法，当十位数字为 4 时，百位、个位的数字为 1、2、3，有 A32 种选法，当十位数字为 5 时，百位、个位的数字为 1、2、3、4，有 A42 种选法，则伞数的个数为 A22+A32+A42=20；故答案为：2013设函数 f（x）= ，f（x）为 f（x）的导函数，定义 f1（x）=f （x） ，f 2（x）=f1（x） ，f n+1（x）=f n（x） （nN *） ，经计算 f1（x）= ，f 2（x）= ，f 3（x）= ，根据以上事实，由归纳可得：当 nN*时，f n（x）= f （x）= 【考点】导数的运算【分析】由已知中 f（x）= ，记 f1（x）
20、=f（x） ，f 2（x）=f 1（x） ，f n+1（x）=f n（x）（nN *） ，分析出 fn（x）解析式随 n 变化的规律，可得答案【解答】解：f（x）= ，f1（x）= ，f 2（x）= ，f 3（x）= ，由此归纳可得：f n（x）= ，故答案为：f（x）= 14在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=4，AD=3，DAB= ，点 E，F 分别在边AD，BC 上，且 =3 ， =2 ，则 的值为 18 【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用数量积的定义可得 =6，再由向量的加减运算，可得 = + ，再由数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得所求值【解答】解： =| | |c
21、os =43 =6，= = + = + = + ，即有 = （ + ）= 2+ =16+ 6=18故答案为：1815对于函数 f（x） ，若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f（x）=f（2ax） ，则称 f（x）为“ 准奇函数 ”给定下列函数：f（x）= ，f （x）=（x+1） 2； f（x）=x 3；f（x）=sin（x+1） ，其中的“ 准奇函数”是 （写出所有“准奇函数” 的序号）【考点】函数的值【分析】判断对于函数 f（x）为准奇函数的主要标准是：若存在常数 a0，函数 f（x）的图象关于（a，0）对称，则称 f（x）为准奇函数【解答】解：对于函数 f（x） ，
22、若存在常数 a0，使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f（x）= f（2a x）知，函数 f（x）的图象关于（a，0）对称，对于：f（x）= ，函数 f（x）的图象关于（1，0）对称，对于：f（x）=（x+1） 2，函数无对称中心，对于：f（x）=x 3，函数 f（x）关于（0，0）对称，对于：f（x）=cosx，函数 f（x）的图象关于（k，0）对称，故答案为：三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，且 a，b，c 成等比数列，sinB= ，（）求 + 的值；（）若 =12，求 a
23、+c 的值【考点】平面向量数量积的运算；等比数列的通项公式【分析】 （）运用等比数列的中项的性质，结合正弦定理，可得 sin2B=sinAsinC，再由三角函数的恒等变换公式化简可得；（）运用向量的数量积的定义和余弦定理，同角的平方关系，计算即可得到所求值【解答】解：（）由 a，b，c 成等比数列，可得 b2=ac，由正弦定理可得，sin 2B=sinAsinC，则 + = + = = = = = ；（） =12，即有 cacosB=12，可得 cosB0，由 sinB= ，可得 cosB= = ，即有 ac=13，b 2=13，由余弦定理可得，cosB= = = ，解得 a+c=3 17如图
24、，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点（）证明：PB平面 AEC；（）已知 AP=AB=1，AD= ，求二面角 DAEC 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】 （）连结 AC、BD，交于点 O，连结 OE，则 OEPB ，由此能证明 PB平面AEC（）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 DAEC 的余弦值【解答】证明：（）连结 AC、BD，交于点 O，连结 OE，底面 ABCD 为矩形，O 是 BD 中点，E 为 PD 的中点，OEP
25、B，PB平面 AEC，OE平面 AEC，PB 平面 AEC（）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，AP=AB=1， AD= ，A（0，0，0） ，C（1， ，0） ，P（0，0，1） ，D（0， ，0） ，E（0， ， ） ，=（1， ，0） ， =（0， ， ） ，设平面 AEC 的法向量 =（x，y，z） ，则 ，取 x=3，得 =（3， ，3） ，又平面 DEA 的法向理 =（1，0，0） ，设二面角 DAEC 的平面角为 ，则 cos= = = 二面角 DAEC 的余弦值为 18经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以 30 天计
26、） ，第 t 天（1t30，tN *）的旅游人数 f（t） （单位：万人）近似地满足 f（t）=4 + ，而人均日消费俄 g（t） （单位：元）近似地满足 g（t ）= （）试求所有游客在该城市旅游的日消费总额 W（t ） （单位：万元）与时间t（1t30，tN *）的函数表达式；（）求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值【考点】函数模型的选择与应用【分析】 （1）利用日消费总额=日旅游人数人均消费的钱数，化简即得结论；（2）通过（1）可知当 t1，20时利用基本不等式可知当且仅当 t=5 时取最小值 441，当t（20，30时利用函数的单调性可知当 t=30 时 W（t）有最小值 443
27、+ ，进而比较即得结论【解答】解：（1）由题意，根据该城市的旅游日消费总额=日旅游人数人均消费的钱数，可得：W（t） =f（t）g（t）= ；（2）由（1）可知：当 t1，20时，401+4t+ 401+2 =441，当且仅当 4t= 即 t=5 时取等号；当 t（20，30时，因为 W（t ）=559+ 4t 递减，所以 t=30 时， W（t）有最小值 W（30）=443+ ，443+ 441，t1，30时，W（t）的最小值为 441 万元19设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a2=3，S 6=36（）求数列a n的通项公式；（）令 bn= ，求数列a n的前 n 项和 Tn【考
28、点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】 （I）利用等差数列通项公式及其前 n 项和公式即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（I）设等差数列 an的公差为 d，a 2=3，S 6=36 ，解得 a1=1，d=2a n=1+2（n 1）=2n1（II）b n= = = （ ） ，数列a n的前 n 项和 Tn= + += 20设函数 f（x）=lnx ax22x，其中 a0（）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=2x+b，求 a2b 的值；（）讨论函数 f（x）的单调性；（）设函数 g（x）=x 23x+3，如果对于任意的 x，t （0，1，都有 f
29、（x）g（t）恒成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 （）求出 f（x）的导数，得到 f（1）=2，解得 a 的值，将 a 的值代入求出 f（1） ，将（1，f（1） ）代入方程 y=2x+b 求出 b 的值，从而求出 a2b 的值即可；（）二次函数根的讨论问题，分 a0，a0 情况进行讨论 ；（）问题转化为 f（x） maxg（t ） min，分别求出其最大值和最小值即可得到关于 a 的不等式，解出即可【解答】解：（）函数 f（ x）的定义域是（0，+） ，f（x）= ax2，f（1）= 1a=2，解得：a=3，f（1）= a2
30、= ，将（1， ）代入 y=2x+b，得：b= ，a2b=3+5=2；（）f （x） = ax2= ，设 （x）= ax22x+1（x0，a0） ，当 a=0 时，（x）= 2x+1，令 （ x）0，解得：0x ，令 （x）0，解得：x ，f（x）在（0， ）递增，在（ ，+）递减；当 a0 时， （x）对称轴为 x= 0，过点（0，1）开口向上，i）若 a1，f （x）0，则 f（x）在（0，+）上是增函数ii）若 1a0，当 x（0， ）时，f（x）0；当 x（ ，）时，f（x）0；当 x（ ，+）时，f（x）0；f（x）在（0， ）上是增函数，在（ ， ）上是减函数，在（ ，+）上是增函
31、数（）若任意的 x，t（0，1，都有 f（x）g（t）恒成立，则只需 f（x） maxg（t） min，函数 g（x）=x 23x+3 在（0，1的最小值是 g（1）=1，由（）得：a=0 时，f（x） =lnx2x 在（0， ）递增，在（ ，1递减，f（x） max=f（ ）=1 ln21，成立，1 a0 时， 1，f （x）在（0，1递增，f（x） max=f（1）= a21，解得：a 6，a1 时，f （x）在（0，1上是增函数，f（x） max=f（1）= a21，解得：a 6，综上，a6，021在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ab0）的左右焦点分别为F1，F 2，
32、离心率为 ，以原点为圆心，以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy+ =0相切，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 =3 ，求直线 l 的方程；（3）求F 1MN 面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）运用离心率公式和直线与相切的条件：d=r，结合 a，b，c 的关系，解得 a，进而得到椭圆方程；（2）求得右焦点，设出 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，设直线 l：x=my+ ，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得 m，进而得到直线的方程；（3）运用弦长公式和换元法，运用三角形的面积公式
33、可得 S= 2c|y1y2|，化简整理运用基本不等式，即可得到最大值【解答】解：（1）由题意可得 e= = ，由直线 xy+ =0 与圆 x2+y2=b2 相切，可得=b=1，又 a2c2=1，解得 a=2，c= ，即有椭圆的方程为 +y2=1；（2）F 2（ ，0） ，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，设直线 l：x=my+ ，代入椭圆方程可得，（4+m 2）y 2+2 my1=0，y1+y2= ，y 1y2= ，由 =3 ，可得 y1=3y2，解方程可得 m= ，即有直线 l 的方程为 x= y+ ；（3）F 1MN 面积为 S= 2c|y1y2|= = = ，令 1+m2=t（t 1） ，则 S=4 4 =2，当 t=3，即 m= 时，S 取得最大值，且为 22016 年 7 月 31 日
