1、2017 届重庆市第八中学高三（上）适应性考试（一）数学（理）试题一、选择题1设集合 |sin,xR,|lgAyBxy，则 AB（ ）A 0, B 10 C 1,0 D ,1【答案】B【解析】试题分析：由题意得 |,|Ayx，所以 |10x，故选 B【考点】集合的运算2已知向量 ,3,2amb，且 /ab，则 m（ ）A 3 B C-8 D8【答案】A【解析】试题分析：由题意得， 4,2ab，又 /ab，所以 423m，解得 23m，故选 A【考点】向量的坐标运算3设命题 2:,lnpxRx，则 p为（ ）A 200,l B 2,lnRxC xx D 【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据
2、全称命题与存在性命题的关系，可得命题 2:,lnpxRx，则 p为“ 200,lnxRx”，故选 C【考点】全称命题的否定4已知等差数列 na的前 项为 nS，且 1594,27aS，则使得 nS取最小值时的 为（ ）A1 B6 C7 D6 或 7【答案】B【解析】试题分析：由等差数列 na的性质，可得 15332147aa，又 199()27aS1563，所以 53d，所以数列 n的通项公式为3()nad7213n，令 02130na，解得 132n，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得 nS取最小值时的 为 6，故选 B【考点】等差数列的性质5已知实数 lnln,l,2ab
3、c，则 ,abc的大小关系为（ ）A bc B aC D【答案】A【解析】试题分析：由 ln(1,2)，且 ln，又函数 lnyx为单调递增函数，所以 ln，根据指数函数的性质，可得 l2c，所以 abc，故选A【考点】指数函数与对数函数的性质6若 4si3cos0，则 21cosin的值为（ ）A 251 B1 C 548 D 2564【答案】D【解析】试题分析：由 sin3cos0，则 3tan，所以2221icosic423()1tan51464，故选 D【考点】三角函数的化简求值7 ABC中，角 ,的对边分别是 ,abc，已知 2,1sinbcC，则（ ）A 34 B 3 C 4 D
4、6【答案】C【解析】试题分析：由 2,1sinabc，由余弦定理得222cosa221sinibC，即 tan1C，所以 4，故选 C【考点】余弦定理8已知数列 na的前 项和为 nS，且满足 1nna，若 12，则 na的前2017 项的积为（ ）A1 B2 C-6 D-586【答案】B【解析】试题分析：由 1a， 1nna，则23456,2,3,2a，由此可得此时数列是以 4四项为周期的周期数列，且 13a，所以 na的前 017项的积为 1232017a，故选 B【考点】数列的性质9记 x表示不超过 x的最大整数，如 1.3,.2设函数 fx，若方程 1logaf有且仅有 3 个实数根，
5、则正实数 a的取值范围为（ ）A 3,4 B ,4 C 2, D ,3【答案】B【解析】试题分析：由题意得，方程 1fxx，所以方程1logafx有且仅有 3个实数根，即 loga有且仅有 3个实数根，即函数 yx和函数 logayx的图象有三个不同的交点分别作出两函数的图象，如图所示，要使得函数 1和函数 layx的图象有三个不同的交点，则 log31a且 l4a，解得 34，故选 B【考点】方程的根的个数的判断与函数 x的应用【方法点晴】本题主要考查了方程的根的个数以及 的应用，其中解答中涉及到取整函数 x的性质和对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了数形结合思想和学生的分析问
6、题和解答问题的能力，其中解答中把方程有且仅有 3个实数根，转化为函数 1yx和函数 logayx的图象有三个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题10如图 1，圆 O的半径为 1， A是圆上的定点， P是圆上的动点，角 x的始边为射线 A，终边为射线 P，过点 作直线 O的垂线，垂足为 M，将点 到直线P的距离与 到 M的距离之和表示成 x的函数 f，则 yf在 0,上的图象大致是（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：在直角三角形 OMP中， 1,Ox，则 cosMx，所以点 M到直线 P的距离与 到 的距离之和表示成 的函数为sincosincosfxOxxx1i2
7、，当 2时， ()0f；当 时， 01f，且最小正周期为 ，故选 B【考点】函数的实际应用11设函数 32ln1fxx且 23ln1af，则实数a的取值范围为（ ）A 3, B 3,C D 0,【答案】C【解析】试题分析：由函数 32ln1fxx，令 1x，则31()ln(21)l()f，所以 23lnaf，即 23laf，即23(1)ff，又函数32ln1fxx为单调递增函数，所以 231a，解得 3a，故选 C【考点】函数的单调性与奇偶性的应用【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数的单调性及其应用、函数的奇偶性及其应用、不等式的求解和函数值的计算，着重考查了分析
8、问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中，把ln(21)转化为 1f是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题12设函数 xxfea（其中 e为自然对数的底数）恰有两个极值点122,x，则下列说法不正确的是（ ）A 0a B 10xC 102fx D 2ff【答案】D【解析】试题分析：由题意得 112xxxxfeaeaeae，由于函数 fx的两个极值点为 122,，即 122,是方程0f的两个不等实数根，即方程 0xe且 ，所以 xea，设12(),xyaye，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，要使得两个函数有 个不同的交点，应满足102a，解得 12a，且
9、 10x，令0x，得 00fe，所以 102fx，故选 D【考点】利用导数函数的单调性与极值的应用【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值的应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质以及一次函数的图象与性质的应用、不等式组的求解等知识点的综合应用，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中把问题转化为方程 0fx的两个不等实数根，利用函数1(0)2xya和 2xye的图象有两个交点是解答的关键，属于中档试题二、填空题13已知 na为等比数列，且 1324,a成等比数列，则 573a的值为_【答案】 4【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的
10、公比为 q，因为 1324,a成等比数列，则 2231211()4()4aaqa，解得 2，所以573q【考点】等比数列14已知 ,mn为单位向量，其夹角为 60，则 2mn_【答案】 3【解析】试题分析：由题意得 22044cos613nnn，所以 2n3【考点】向量的运算15设点 P为函数 312fxx图象上任一点，且 fx在点 P处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围为_【答案】 ,3【解析】试题分析：由题意得， 2211(3)3fxxx，即tan3，又 0,)，所以 【考点】利用导数研究函数在某点处的切线【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线的方程，其中解答中涉及到函数
11、的导数的运算、直线的斜率与倾斜角，以及倾斜角的范围和基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答的能力，本题的解答中利用导数，转化为 tan3是解答的关键，属于中档试题16已知函数 si0,463fxff，且 fx在 ,2上单调递减，则 _【答案】 1【解析】试题分析：因为 ,2x，所以 1(,)424x，因为fx在 ,2上单调递减，所以周期 Tw，解得 ，因为sin()4f的减区间满足 322,4kxkZ，取 0k，解得 152w，又因为 63ff，即 时，函数取得最值，即sin()14fx，所以 w【考点】三角函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性
12、质，其中解答中涉及到三角函数的周期、三角函数的单调区间、三角函数的最值等知识点综合考查，着重考查了三角函数的图象单调性和最值，以及学生的分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把 fx在 ,2上单调递减，解得 1524w，再根据 4x时，函数取得最值，即可求解 w的值，属于中档试题三、解答题17已知数列 na的前 项和为 nS，且23n（1）求数列 n的通项公式；（2）若数列 nb满足 12nnnaaA，且数列 nb的前 项和为 nT，求证：51nT【答案】 （1） na；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据数列的通项 na和 S的关系，即可求解数列 na的通项公式；（2）由 123nb
13、，即可利用裂项相消求解数列的和，得以证明试题解析：（1）当 2时， 2211331nnnaS n，又 n时， 1aS适合 ， 1na（2）证明：由（1）知 113233nbnn， 12312451nnTb 【考点】数列的通项公式；数列的求和18如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是直角梯形，,/,22,ABDP底面 CD， E是 P上的点（1）求证： BD平面 PC；（2）设 1，若 E是 的中点，且直线 PD与平面 EB所成角的正弦值为 23，求二面角 的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） 63【解析】试题分析：（1）由 PB平面 ,DAC平面 ABC，得出 DPB，再根据勾股定理
14、，证得 D，再利用线面垂直的判定定理，即可证明 平面 PBC；（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，设 ,nxyz为平面 E的法向量，由 0nEA，求得平面的一个法向量，再利用向量的运算，即可得二面角 为锐角余弦值试题解析：（1）证明： PB平面 ,DAC平面 ABC， BDP，由题意知 1,2AD， 2C， 2B， B，又 P， D平面（2）解：以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 0,1,0,BDC，设 0,Pa，则 1,1,a22aEBED，设 ,nxyz为平面 的法向量，则 0nBEA，即 0a，取 ,2xayz，则 ,2a设直线 PD与平面 EB所成角为 ，依题意， 2sinc
15、o, 3PDnaA，则 2a或 1（舍） ，由（1）知 ,BCB， 平面 PD， 1,0为平面 PBD的法向量，当 2a时， 6,2,cos,3CnnA，易得二面角 PBE为锐角，所以其余弦值为【考点】直线与平面垂直的判定与证明；二面角的求解19某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为 50 元，然后以每个100 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理现需决策此蛋糕店每天应该制作几个生日蛋糕，为此搜集并整理了 100 天生日蛋糕的日需求量（单位：个） ，得到如图所示的柱状图，以 100 天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率（1）若蛋糕店一天制作 17 个生日
16、蛋糕，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：个， nN）的函数解析式；在当天的利润不低于 750 元的条件下，求当天需求量不低于 18 个的概率（2）若蛋糕店计划一天制作 16 个或 17 个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决定依据，判断应该制作 16 个是 17 个？【答案】 （1） 085167nynN； 1935；（2）一天应该制作 7个生日蛋糕【解析】试题分析：（1）由题意得，当 时， 80y；当 16n时，085yn，即可求解函数的解析式；根据当天的利润不低于 750 元为事件 A，设当天需求量不低于 18 个为事件 B，利用条件概率的计算公式，即可求解概率；
17、（2）分别求出一天制作 16和 7个，列出相应的分布列，求解数学期望，即可作出选择试题解析：（1）当 n时， 1058y；当 6n时， 5017yn得 86Nn设当天的利润不低于 750 元为事件 A，设当天需求量不低于 18 个为事件 B，由得“利润不低于 750元”等价于“需求量不低于 16 个” ，则 0.7PA，.13.19| 5PAB（2）蛋糕店一天应制作 17 个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作 17 个， X表示当天的利润（单位：元） ， X的分布列为X550 650 750 850P01 02 016 0545.6.75.1680.5476E若蛋糕店一天制作 16 个， Y
18、表示当天的利润（单位：元） ， Y的分布列为Y600 700 80001 02 0760.170.28.760EY，由以上的计算结果可以看出， EXY，即一天制作 17 个的利润大于制作 16 个的利润，所以蛋糕店一天应该制作 17 个生日蛋糕【考点】条件概率的计算；离散型随机变量的分布列及期望20设椭圆 E的方程为 21xya， O为坐标原点，直线 l与椭圆 E交于点,ABM为线段 的中点（1）若 ,分别为 的左顶点和上顶点，且 M的斜率为 12，求 的标准方程；（2）若 a，且 1O，求 AB面积的最大值【答案】 （1）24xy；（2） 的面积取得最大值 1【解析】试题分析：（1）设 01
19、2,Mxyxy，代入椭圆的方程，利用点差法，求解斜率，即可求解 a的值，得到椭圆的方程；（2）设直线 :lxmyn，代入椭圆的方程，利用根与系数的关系，得出点 的坐标，根据1212AOBSDyny得出三角形的面积，利用不等式即可求解最值试题解析：（1）设 012,MxABxy，则212xya，两式相减，得 121212120ya，即 0122yaxA，又 012,2yxx，代入化简，得 ，故 E的标准方程为 14y（2）设直线 12:,lxmynAxB，由方程组 22440ymn 2121122 28,nyyxm1212224,xynmM，2216On，设直线 l与 x轴的交点为 ,0Dn，则
20、 1212AOBSyy，令 21224846mn，设 2tmt，则 2228484848 111622tSttA，当 t时，即 ,6mn时， AOB的面积取得最大值 1【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、基本不等式求最值、三角形的面积等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题21设函数 2ln1,1
21、xfxgaRA（1）若函数 hf在定义域内单调递减，求 a的取值范围；（2）设 *nN，证明：142221nen（ 为自然对数的底数） 【答案】 （1） ,2；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）求解函数的导数，判定函数的单调性，转化为 0hx对,x恒成立，利用分类参数，即可求解实数 a的取值范围；（2）取 12a，由第（1）问可知 hx在 0,为单调递减函数，从而 hx，得出2ln1x对 ,均成立，进而可证明相应的结论试题解析：（1）解：函数 hx的定义域为 1,，且 2ln1xhxfga，则22211xaxa ，由于 hx在 ,内单调递减，则 0hx对 ,恒成立，即 210axA对 1
22、,恒成立，从而 2max，则 max12，故 a的取值范围为 1,（2）证明：取 2，由第（1）问可知 hx在 0,为单调递减函数，从而 0hx；则2ln1x对 0,，均成立，令 2,kxn ，有22 222111lnkkknnA；从而 222l11n ，222222211llln 1nnn 213344n，故3222nen【考点】利用导数研究函数的单调性；不等关系的证明【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值及不等式的证明，其中解答中涉及到到导数的运算、恒成立问题的求解、不等关系的转化等知识点的综合考查，着重考查了恒成立的分类参数法的应用，转化与化归思想的应
23、用，以及学生的推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，平时注意总结和积累22选修 4-1：几何证明选讲如图，在 ABC中， 09，以 AB为直径的圆交 AC于点 E，过点 作圆O的切线交 于点 F（1）求证： 2BCEF；（2）若 3OA，求 的大小【答案】 （1）证明见解析；（2） 06B【解析】试题分析：（1）由题意可知， ,FE均为圆 O的切线，所以 FBE，连接 ,BE，利用角度关系，得出 C，即可证明结论；（2）不妨设 1OA，则 32CA，利用三角形的射影定理 1A，进而得出 sinC，根据三角函数的定义，即可求解试题解析：（1）证明：由题意可知， ,FBE均为圆 O的切线，所
24、以 FBE，连接 ,O，易知 09A，所以 0CAC，又 09O，所以 FEB，所以 EF，所以 2（2）解：不妨设 1A，则 3,CAB，在 RtC中，由射影定理可知， 2C， 23AE，所以 E， 4，所以 1sin，所以 03AB，由（1）可知， 03FE， 06FB【考点】与圆有关的比例线段；三角形的射影定理23选修 4-4：坐标系与参数方程将圆 2xy上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C（1）写出曲线 C的参数方程；（2）以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴坐标建立极坐标系，已知直线 l的极坐标方程为 sin24，若 ,PQ分别为曲线 C和直线 l上的一点，
25、求 ,PQ的最近距离【答案】 （1） cosinxy（ 为参数） ；（2） 102【解析】试题分析：（1）设 1,xy为圆上一点，在已知变换下 C上的点 ,xy，得出椭圆的标准方程，进而得出椭圆的参数方程；（2）得出直线的方程，设 cos,inP，利用点到直线的距离公式，求得 d，利用三角函数的性质，即可求解最小值试题解析：（1）设 1,xy为圆上一点，在已知变换下 C上的点 ,xy，依题意12xy，由 21x得21xy，即214xy，故 C的参数方程为 cosin（ 为参数） （2）将 l的极坐标方程化为直角坐标方程： sin244yx，设 cos,inP，设点 P到 l的距离为 d，245
26、sin51022d，其中 5sin,cos，取等时 【考点】参数方程与直角方程的互化；极坐标方程的应用24选修 4-5：不等式选讲设函数 12fxxa（1）当 a时，求不等式 1f的解集；（2）若不等式 0fx，在 ,3上恒成立，求 a的取值范围【答案】 （1） 2,3；（2） 5,2【解析】试题分析：（1）代入 1a，得出绝对值不等式，去掉绝对值号，即可求解每个不等式的解集，得出不等式的解集；（2）把 0fx在 2,3上恒成立，转化为 10xa在 2,3x上恒成立，再根据绝对值的意义，即可求解 a的取值范围试题解析：（1） 1,12fx，12 2x xx或 或 22133或，解集为 2,（2） 0fx在 ,3上恒成立 120xa在 2,3x上恒成立112a3x在 2,3x上恒成立，mamin1524 a的范围为 ,2【考点】绝对值不等式；不等式恒成立
