1、 数学（理）试题第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）*2|560AxNx|36BxABA B C D1,23453,4,451,2345,62.已知复数 ，则 的虚部为（ ）izzA B C 2 D3ii3.向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）13(,)2b1ababA B C1 D 34.在 中，三边 与面积 的关系式为 ，则角 等于（ ）C,abcS22()1bcaAA B C. D23465.将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的 3 倍的
2、概率为（ ）A B C. D1812136.执行如图所示的程序框图，如果输入 ，则输出的 （ ）6,2abSA 30 B 120 C. 360 D7207.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图是相似矩形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（ ） A B C. D1112128.设曲线 与过原点的直线相交于点 ，若直线 的倾斜角为 ，则线段 与曲线围成的封2xyMOOM闭图形的面积 的图象大致是（ ） ()S9.已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 相交于 两点，则弦2:4CyxF3C,PQ的长为（ ）PQA 3 B 4 C. 5 D 16310.设实数 满足约束条件 ，则当 取得
3、最小值 2 时，则 的,xy205xy(0,)zaxby1ab最小值是（ ）A B C. D252626111.一个三棱锥的底面是等比三角形，各侧棱长均为 ，那么该三棱锥的体积最大时，它的高为（ ）3A B C. 1 D33210212.曲线 上任意一点的切线为 ，曲线 上总有一条切线 与 平行，则 的()lnfx1l()xgea2l1a取值范围是（ ）A B C. D(2,)(,2)(2,),第卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知定义在 上的奇函数 ，当 时， ，若 ，则 (1,)()fx(0,1)2()1fx01()2fx0x14.函数 的最小值为 (
4、)cos2)sin()fx15.已知 ，则 5 234501(1)(1)()aaxax4a16.三角形 中， 且 ，则三角形 面积的最大值为 ABCACBABC三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知数列 满足 na *1231()nnaaN（1）求证：数列 是等比数列；（2）若 恒成立，求实数 的取值范围*()()ntNt18. （本小题满分 12 分）如图，四边形 是矩形， 平面 ， ， 为线段 上一点，且ABCDABE2ABCFE平面 ， 交 于点 FEG（1）证明： 平面 ；/AEBFD（2）求直线
5、 与平面 所成角的大小C19. （本小题满分 12 分）某商场每天以每件 100 元的价格购入 商品若干件，并以每件 200 元的价格出售，若所购进的 商品前 8A A小时没有售完，那么商场对没卖出的 商品以每件 60 元的低价当天处理完毕（假定 商品当天能够处理完） ，该商场统计了 100 天 商品在每天的前 8 小时的销售量，制成如下表格（1）某天该商品共购入 8 件 商品，在前 8 小时内售出 6 件，若这些产品被 8 位不同的顾客购买，现从A这 8 位顾客中随机选 4 人进行回访，求恰有三人是以每件 200 元的价格购买的概率；（2 ）将频率视为概率，如果商场每天最多购入 8 件 商品
6、，要使商场每天销售 商品所获得的平均利润AA最大，则每天应购进多少件 商品，并说明理由20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，点 到直线 的距离为 ，2:1(0)xyEab12,F30xy12若点 在椭圆 上， 的周长为 6P12FP（1）求椭圆 的方程；（2）若过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，求 的内切圆的半径的最大值1lE,MN2F21. （本小题满分 12 分）已知函数 21()ln)xfxae（1）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间；()fx（2）当 时， ，求 的取值范围a()0fx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
7、记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 ，已OxP(1,)知曲线 ，直线 过点 ，其参数方程为： （ 为参数） ，直线:2sin()04CalP23xmty与曲线 分别交于 l,MN（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程；l（2）若 ，求 的值|5Pa23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 均为正数,abc（1 ）若 ，求 的最小值；1ab4b（2）若 ，求证： cm32acm试卷答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1
8、2答案 B C A D A B D C D D C C1. 解析：集合 ，集合 ，所以 ，选 B,5|3xA3,452. 解析： ， 的虚部为 ，选 C5i1z32iz23. 解析：由定义，向量 a在向量 b上的投影为 1cos,2aba所以，选 A4. 解析：依题意得 ，所以 ，故角 为 ，选 D 13sin2cs2cAA 3tn65. 解析：一颗骰子掷两次，共有 种情况满足条件的情况有 ， ，共 种，所求的概率61,2,，选 A 3618P6. 解析:由框图知， ，选 B654120S7. 解析：设圆柱的底面半径为 ，高为 ，则 ，即 ，所以 ，rh2rh2r2=4Srh侧，则 ，选 D
9、224Sr全241Sr全侧8. 解析：当倾斜角 从 时，阴影部分的面积 从 ，而 从 时，阴影部分的面积0()S02从 ，选 C()S9. 解析：直线 的方程是 ，把 代入抛物线 消 得PQ31yx31yx24yx，设 （ ， ） ， （ ， ） ，则 ，2310xP2203所以 ，或者直接用公式 ，选 D 2xp036PQ216sinp10. 解析：画出可行域如图，可知 在 处取得最小值，故 ，z(1,)Hab， 的最小值是 2，选 D 11()( 22ababab111. 解析：如图，三棱锥 中，设底面边长为 ，则高 所以它PABCa22231()ha的体积 ，设 ，令 则22461319
10、34ABCVShaa649ya(0)2ta(0)， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所29yt28(6)ytt0, ,以当 时 最大， 也最大，此时 ，选 C631h12. 解析：设 ， 分别是曲线 上的点，所以过 的切线的斜率为1(,)Mxy2(,)Nxy(),fxg,MN， ，由已知可得 ，即 对 有解而 ，112k2kea12k21xea10122x所以 最小值 ，即 所以 ，选 C 2()xhmin()hxa二、填空题13. 解析：因为 是奇函数，由 时， ，当 时， ，所以()fx(0,1)x2()1fx(,0)x2()1fx时，所以 01()2fx0214. 解析：由
11、()cossinsi2insfxxx，得函数 的最小值ccocos()fx为 115. 解析： ，由二项式定理 51()1rrrTCx，故 4145()()axCx，所以551x145()aC来源:16. 解析：设 ， ， (,)xy，则由 得， ()()2211xyxy+=-+,0A1,B2AB=化简得25639xy-+=，所以 点轨迹为以 5,03为圆心，以 43为半径的圆，所以 最大值为C ABCSD142，所以三角形 AB面积的最大值为 4三、解答题17. （）证明：因为 ， 1231nnaaaN所以 ， 123na 故数列 是以 为首项，公比为 的等比数列 5 分1na212（）解：
12、由（）知 ，所以 ， nna2na令 ，()2nf则 ，111()2nnff所以当 时， ，n)(0ff故 为减函数；()yf而 , 12因为 恒成立, 所以 .nat12t所以实数 的取值范围为 12 分,18. 解：（）证明：连接 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 FGBACEACEBFCE又因为 ，所以 为 的中点，而矩形 中， 为 的中点，所以 ，EBCEDG/GA又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 5 分AD/BF（）因为 平面 ， ，所以 平面 ，所以 AB/CAEE又因为 平面 ， 平面 ，所以 BFEE而 ，所以 平面 ，所以 CB又因为 ，所以 以 为原点建立如图所示的空间直
13、角坐标系，由题意得 ，2A2AB (0,)A， ， ，所以 ，(2,0)E(,)D(0,)C(2,0)AE(,2)AC设平面 的一个法向量为 ，C,nxyz由 得 令 ，得 ，0,nA20,xyz1(,12)n又因为 ，设直线 与平面 所成的角为 ，(,)DEDEAC则 ，所以 ，21sinco, 248nDE 6故直线 与平面 所成的角为 12 分DEAC619. 解析：（）记“恰有三人是以每件 元的价格购买”为事件 ，20B则 5 分3162487CPB（）设商场销售 商品获得的平均利润为 （单位：元）AX依题意，将频率视为概率，要使每天购进 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进的件数
14、可能为A件或 件或 件 6 分67当购进 商品 件时， （元） 7 分A610EX当购进 商品 件时，（元） 9 分461074当购进 商品 件时，8（元） 11 分403525106217839EX所以商场每天购进 件 商品时所获得的平均利润最大 12 分7A20. 解：（）由题设知 213c又 26ac由、得 ， ，所以 ，所以椭圆 的方程是 4 分bE2143xy（）设 ， ， ， ，不妨设 ， ，设 的半径为 ，则 的周1(Mx)y2(Nx)y10y22FMNR2FMN长是 ， ，因此 最大， 就最大，而 48a2 22)FSFMNR2S， 7 分2FMNS112()yy由题设知直线
15、的斜率不为 ，可设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 消 得到l0l1xmy2143xyx，由韦达定理知 ， ，2(34)69my12634y1229所以 ，因此 ，令 ，则 ，122112()4y2FMNS2t1t2FMNS，设 ，因为 ，所以 在 上单调递增，所以3t3ftt()0ftt()ft1,，所以 ，当 ，即 时 ，所以 12 分()14f2FMNS1341tm43Rmax3421. 解: () 因为 21()exfxa，由已知得 ()02f，即: 10，所以 0a， 1 分所以 21()lnexfx，函数 ()fx的定义域为 (0,)， 21()exfx ， 2 分 由于 f 在 0
16、,)上为减函数，而 1)2f，所以当 0,时， ()0f； 当 1(,2x时， (fx，所以 (fx的单调递增区间为 1(,)2，单调递减区间为 1(,)25 分() 由于 a，所以 ln2)l1)a，所以 1)lnexfx， 6 分令 ()ln1)gxx（ ） ，则 24(gx，所以，当 02时， ()0gx，当0时， (0，所以 ()g在 ,0)增函数，在 (0,)上为减函数，所以 ()（ 时取“ ”） ，即: ln21x 8 分令 21()exh，则 21()e)xh，所以，当 12x时， ()0hx，当 12x时， ()0hx，所以在 ,)上为减函数，在 (,上为增函数，所以 （ 时取
17、“ ”） ，即：21ex10 分所以，对任意 12x， 21ln()e0x，因此，当 1a时，对任意 2ax， 21ln()e0x，所以x的取值范围为 (,a 12 分第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22解：() :2sin4Ca，得2cos2ina，因为2xyxy，即 2:xy，1,P的直角坐标为 1,0P所以 l： 3yx 5 分（）将直线 l的参数方程123xty代入22xyaxy，得 212+3tatt，即2(1)0at，所以由一元二次方程根与系数的关系得： 1231ta， 2ta，1235PMNta解得 3a，此时2(1)4()0aa，且 10 分23解： 1414()ab+=+5b=59b+=当且仅当 23b时，等号成立，即当且仅当 1a=， 时， 14ab+有最小值 9； 5 分（）证法一：证明：因为 、 b、 c为正实数，且 cm=，由柯西不等式得222()()()abab+，化简可得22accb即 mc，当且仅当 3mab=时取等号 10 分证法二：证明：因为 a、 b、 c为正实数，且 c+，所以22222()()()()aba+=+， 222abcbc，所以 ()a，当且仅当 3mbc=时取等号 10 分
