1、第 25 课时 对数的运算【学习目标】1.正确理解和掌握对数的运算性质；2.理解推导运算性质的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数学语言转换能力，学会寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力.【课前导学】复习回顾1对数的定义 log a Nb 其中 a（0，1）（1， ）与 N（0，）.2指数式与对数式的互化：abN log a Nb.3.重要公式：负数与零没有对数；log a 10，log a a1；对数恒等式 ；Nlog(4) log a abb.【课堂活动】一、建构数学：1.运算性质：若 a0，a1，M0 ，N0 ，则(1)loga(MN)log aMlog aN；(2)loga log
2、 aMlog aN；MN(3)logaMnnlog aM(nR)【思路分析】 现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.证明：(1)设 logaMp，log aNq由对数的定义得：Ma p，Na q MNa paqa p+q再由对数定义得 logaMN pq，即证得 logaMNlog aMlog aN(2)设 logaMp，log aNq 由对数的定义可以得：M ap，Na q， a pq ，MN apaq再由对数的定义得： loga p q，MN即证得 loga log aMlog aN.MN(3)
3、设 logaMp 由对数定义得 Ma p，M n（a p） na np 再由对数定义得logaMnnp. 即证得 logaMnnlog aM.【解后反思】上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.(要求：性质(2)、(3) 学生尝试证明，老师指导)说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”（简易表达以帮助记忆） ；（2）注意有时必须逆向运算：如 ；10251010logllog（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义.是不成立的，)()(
4、log)(log3522是不成立的；10102（4）当心记忆错误：，试举反例，NlMl)N(l aaa，试举反例.ogog（5 ）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.2. 对数换底公式 .（尝试证明）llma说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）： ；log1ab ；lmna .logbbxA换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则，所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算.师接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：二、应用数学：例 1 求下列各式的值：（1） ； （2） ；（3） ；352
5、log45log12lg21.（4） .884解：（1） 3535222lll；35og1（2） ；355lllog（3） ；24lg1.l1.2l.1（4） 2o843o83lg()().226lg点评: 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键.例 2 用 log a x， log a y，log a z 表示下列各式：（1）log a ； （ 2）log a .xyz解：（1）log a log a（xy） log azlog a xlog aylog az.xyz（2）log a log a （x 2 ）log a y 3zlog a x2 log a log a 2 log a
6、 x log ay log az.y 3z12 13例 3 计算：（1）lg142lg lg7lg18 ；（2） ；（3） .73 lg243lg9【说明】此例题可讲练结合.解：(1)解法一：lg142lg lg7lg1873lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(3 22)lg2lg72lg72lg3lg7 2lg3 lg20.解法二：lg142lg lg7lg18lg14 lg （ ） 2lg7lg1873 73lg lg10.【解后反思】此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.（2） .lg243lg9 lg35lg32 5lg32lg3 52（3） .32【解
7、后反思】此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.例 4 已知 .求 .518,9log8ba4log36思路分析一先将指数式 化成对数式 ，然后将所求式化为以 18 为底的对数式，利用已b bl18知代入即可.思路分析二将所有已知、未知的式子都化为常用对数来计算.思路分析三将已知的对数式 化成指数式，然后将所求式也化成指数式，逐步寻求转化关系.a9log18解法一，bb5l,l 1818.ab29log18l25918log)5(36l45log 11836解法二，l5l,l,5,9lo
8、g18 baab .aba218lgl29lg1829lg)(36l4l36解法三，babba 54,18,9log18有令 ，xxax18)3(645364536则即 ，baxbabax 918,22.【解后反思】本题的解题方法是将指数式 化成对数式 ，再把所求对数的abb5log18底通过换底公式换成和它们相同的底的对数，以便利用已知条件及对数的性质来求值，也可将对数式 改写成指数式 ，以便利用已知条件及指数运算法则来求解.b5log18 918a三、理解数学：1.求下列各式的值：（）log 2log 2 （）lglg（）log 5log 5 （）log 3log 31513解：（）log
9、 2log 2log 2 log 263（2）lglglg（）lg（3）log 5log 5 log 5 ( )log 513 13（4 ） log 3 log 315log 3 log 3 log 3515 132. 用 lg x，lg y ，lg z 表示下列各式：(1) lg （x y z ） （）lg （）lg （） lgxy2z解：(1) lg（xyz）lg xlg ylg ；(2) lg lg x y 2lg zlg xlg y 2lg zxy2zlg xlg ylg ；(3) lg lg x y 3lg lg xlg y 3 lgz12lg xlg y lg ；12(4) lg
10、lg lg y 2 z lg x（lg y2lg z）x12 lg x2lg ylg z .123 .已知 ，求 之间的关系.530abc,ab分析：由于 在幂的指数上，所以可考虑用对数式表示出 。, ,abc解： ，两边取以 10 为底的对数得： ，5321abc 5lg23l5 ， ，lg,lclg251 .53ab点评:本题要求关于 的代数式的值，必须对已知等式两边取对数，恰当的选取对数的底数,a是十分重要的，同时 是关键.lg251【课后提升】1.若 ，下列等式中： ；0,10xyRa且 xaalog2l； ； .不正xlog2lyxaaalogl)(l yyal)(确的是 .2.计算
11、 1 .5l23l33.若 ，则 的值为 .byaxg,l 2)0lg(yx21ba4.已知 ，那么 的大0)(loglo)(lo 55313212 zzyx,小顺序为 .z5.若 ，则 ，若 ，则 .)(lgx xy8lg266. .3)246o2 7 .计算：(1) log alog a （a，a） （）log 318log 312(3) lg lg25 (4)log 510log 50.2514（5）log 525log 264 (6) log 2（log 216）解：(1) log alog a log a（ ）log a；12 12（2）log 318log 3log 3 log 3
12、；182（3）lg lg25lg（ ）lg lg1 02 ；14 14 1100（4）log 510log 50.25log 5 log 50.25 2log 5 (1000.25)log 525；（5）log 525log 264log 5 log 226222；（6）log 2（log 216）log 2（log 2 ）log 2log 2 .48设 ，求 的值.lglg()abalogab分析：本题只需求出 的值，从条件式出发，设法变形为 的方程.ab解：当 时，原式可化为： ，即 ，0,202()2540ab， 或 （舍） ， .2()54ab4ab14log1思维点拔：本题在求 时，不是分别求出 的值，而是把 看成一个字母，这种方法称,abb为“整体”思想.w.w.w.st.c.o.m高-考试题库
