1、1.5.1 曲边梯形的面积【学情分析】：本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。学生对这个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透.【教学目标】：（1）知识与技能：定积分概念的引入（2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。 【教学重点】：了解定积分的基本思想方法以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。【教学难点】：“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号。【教学过程设计】：一、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角
2、形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。一个概念：如果函数 在某一区间 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()yfxI称为区间 上的连续函数 （不加说明，下面研究的都是连续函数）()yfxI二、新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 的()yfx一段，我们把由直线 和曲线 所围成的图,(),0xabyf形称为曲边梯形如何计算这个曲边梯形的面积？ 例 1：求图中阴影部分是
3、由抛物线 ，直线 以及 轴所围成的2x1平面图形的面积 S。思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积 S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段， “直边图形”的所有边都是直线段 “以直代曲”的思想的应用xxx1 x1 xy1 xy y把区间 分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代0,1取” ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近
4、似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积解：（1） 分割在区间 上等间隔地插入 个点，将区间 等分成 个小区间：0,11n0,1n， ， n2,记第 个区间为 ，其长度为： i,(,)ii 1ixn分别过上述 个分点作 轴的垂线，从而得到 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1xn， ， ，显然，S2nS1iiS（2）近似代替记 ，如图所示，当 很大，即 很小时，在区间fxx上，可以认为函数 的值变化很小，近似的等于一个1,in2fx常数，不妨认为它近似的等于左端点 处的函数值 ，从图形上1in1ifn看，就是用平行于 轴的直线段近似的代替
5、小曲边梯形的曲边（如图） 这x样，在区间 上，用小矩形的面积 近似的代替 ，即在局部范围内“以直代取” ，则有1,iniSiS21ii iSfxxnAA21(,)innA（3）求和由，上图中阴影部分的面积 为S2111nnnii iiSfxAA= =220A 2231n= =36n3n从而得到 的近似值 S112nS（4）取极限分别将区间 等分 8，16，20，等份（如图） ，可以看到，当 趋向于无穷大时，即 趋向于0, nx0 时， 趋向于 ，从而有1132nSnS 111limlilim323nn niSf nAini-1n1Oyxy=x2ini-1n1Oyxy=x21()ifn从数值上的
6、变化趋势：三、求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割将 分为 等份，每份区间长为,abnban第二步：近似代替， “以直代取”： ，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.iiS第三步：求和： 12n nS第四步：取极限： limnba说明：1归纳以上步骤，其流程图表示为： 分割 以直代曲 求和 逼近2最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值四、练习求 围成图形面积20,2xyxy解：1分割在区间 上等间隔地插入 个点，将区间 等分成 个小区间：0, 1n0,2n， ， ,4,1n记第 个区间为 ，其长度为：i21,(,2,)iin 21ixnn分别过上述 个分点作 轴的垂线，从而得到 个小
7、曲边梯形，他们的面积分别记作：x， ， ， 显然，1S2nS1niiS（2）近似代替 ，当 很大，即 很小时，在区间 上，可以认为函数2yxx2,(1,2,)iinn的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点 处的函数值2yx 21in，这样，在区间 上，用小矩形的面积 近似的代替 ，即21iin21,iiniSiS在局部范围内“以直代取” ，则有212iiiiSxnA21iinA（3）求和由，上图中阴影部分的面积 为nS21121nnii iiS nA= =14niAA2318ni i= 2280 1 = 386nn从而得到 的近似值 S231286nnS（4）取极限23184limlinn 练习设 S 表示由曲线 ，x=1，以及 x 轴所围成平面图形的面积。y五：课堂小结求曲边梯形的思想和步骤： 分割 以直代曲 求和 逼近 （“以直代曲”的思想）
