1、高考计数原理考点分析计数原理与实际生活联系紧密，思考方法和解题方法与其它内容有很大不同，具有“四强”特点，即概念性强、抽象性强、实用性强、灵活性强，在每年高考中是必考内容本文归纳总结了高考常见考查方式，以供参考考点 1 考查两个原理的直接应用问题例 1 将 3 种作物种植在如下图所示的 5 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_种 （以数字作答）解析：分别用 a，b，c 代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设种 a，再安排第二块田种 b 或 c 有 2 种方法，不妨设种 b，第三块田也有 2 种方法种 a 或 c（1）若第三块田种 c
2、： ac则第四、五块田分别有 2 种方法，共有 22 种方法（2）若第三块田种 a： ab第四块田仍有 2 种方法若第四块田种 c： abc第五块田仍有 2 种方法若第四块田种 b： ab则第五块田只能种 c，共有 3 种方法综上，共有 种方法32()42评注：两个原理是解决排列、组合应用题的基础，应用两个原理时，关键是根据自己对问题的分析，先分类再分步考点 2 考查特殊元素或特殊位置的优先考虑问题例 2 从 1，3，5，7 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被 5 整除的四位数共有_个解析：符合条件的四位数的个位必须是 0，5，但
3、不能排在首位，故 0 是其中的特殊元素，应优先安排，按照 0 排在个位，0 排在十、百位和不含 0 为标准分为三类：0 排在个位能被 5 整除的四位数有 个；1234()1AC0 排在十、百位，但 5 必须排在个位有 个；221348A不含 0，但 5 必须排在个位有 个13408由分类加法计数原理得所求四位数共有 300 个评注：若排列中有特殊元素或特殊位置时，一般既可先处理特殊元素，也可先处理特殊位置，依据具体情况而定，在本题中 0，5 是特殊元素，首位和末位是特殊位置考点 3 考查相邻排列计算问题例 3 有 件不同的产品排成一排，若其中 两件不同的产品排在一起的排()nNAB，法有 48
4、 种，则 _解析：将 两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有 种排法；对于上述的AB， 1n每种排法， 两件产品之间又有 种排法，由分步乘法计数原理得满足条件的不同排2A法有 种，故 1248n5n评注：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个元素，与其他元素一起进行全排列，然后再对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”法考点 4 考查互不相邻排列计算问题例 4 有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 个人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）234 346 350 36
5、3解析：前排中间 3 个座位不能坐，实际可坐的位置前排 8 个，后排 12 个（1）两人一个前排，一个后排方法数为 1289CA（2）两人均在后排，安排 2 人的座位插入 10 个座位之间的空隙及两边，共有种排法101A（3）两人均在前排，又分两类：两人一左一右，有 种排法；1243CA两人同左或同右时，有 种排法3综上，不同排法的种数为 故选答案121284346CA评注：对于含有某几个元素互不相邻的排列问题，可先将其他元素排成一排，然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最为奏效的“插空”法考点 5 考查排列、组合混合计算问题例 5 某校高二年级共有六
6、个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为（ ）234 346 350 363解析：把新转来的 4 名学生平均分两组，每组 2 人，分法有 种，把这两组人241CA安排到 6 个班中的某 2 个中去，有 种方法，故不同的安排种数为 ，故选答案26A3642评注：对于排列组合混合问题，可运用先分组后排列的策略求解无次序分组问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型计数时常有下面结论：对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非均匀分组”列式后，再除以均匀组数的全排列数考点 6 考查排列、组合有关的几何计算问题例
7、6 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）56 52 48 40解法一：从正方体的 8 个顶点中任取 3 个顶点可构成 个三角形，其中非直角三角形38C的有两类：上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成 1 个正三角形，上底面的 4 个顶点共构成 4 个非直角三角形；下底面的 4 个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的对角线构成 4 个非直角三角形故所求直角三角形共有 个故选答案384C解法二：正方体的 6 个表面及 6 个对角面都是矩形，而每个矩形可构成 个直角三角34C形，故共有直角三角形 个故选答案34()8评注：求解几何图形问题时，一要
8、熟悉几何图形的性质及点、线、面的位置关系；二要按同一标准分类，避免重漏；三若直接求解困难或头绪繁多时，可从其反面去考虑，将其转化为简单的问题去解决考点 7 考查二项式定理指定项的求法问题例 7 若 的展开式中存在常数项，则 n 的值可以是（ ）3nx8 9 10 12解析： 的展开式中的第 项是 32nx1r335612()rnrrnrrrTCxCx若存在常数项，则 ，即 ，当 时， ，所以 可以是 10，故506r35n06选答案评注：求二项式定理的指定项，关键是抓住展开式中的通项公式，就可由题设确定通项公式中的指数或项数，进而求出 r，从而求出其指定项考点 8 考查与二项式系数和有关问题例
9、 8 若 的展开式中各项系数的和是 256，则展开式中 的系数是 (31)nxN2x解析：令 ，得展开式各项系数之和为 4256n解得 ，所以 的系数是 4n2x243C评注：转换视角，把展开式看作一个代数恒等式，通过令变量取不同的值得到所需结果，是解决这一类问题的通法考点 9 考查应用二项式定理进行估值或对不等式进行放缩问题例 9 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成2003 年某地区农民人均收入为3150 元（其中工资性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元） ，预计该地区自 2004 年起的 5年内，农民的工资性收入将以每年 6的年增长率增长，其它收入每年增加 160 元，根据以上数据，2008 年该地区农民人均收入介于（ ）4200 元4400 元 4400 元4600 元4600 元4800 元 4800 元5000 元解析：2008 年农民工资性人均收入为51255180(.6)80(.06.)C元3.24又 2008 年农民其它人均收入为 元，故 2008 年农民人均总收入为3150元，故选答案2405145评注：应用二项式定理进行估计或对不等式进行放缩在近年高考题中屡见不鲜，其中的难点在于不知舍去多少项就满足要求，这需要根据所给数据大小来仔细确定
