1、复数与平行四边形家族菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径在求解复数问题时，若能善于观察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快的解决方法下面列举几例，以供参考一、复数式与矩形的转化例 1 已知复数 12z， 满足 17z， 271z，且 24z，求 12z与12z的值解析：设复数 12z， 在复平面上对应的点为 12Z， ，由于 22(71)()4，故 21z，故以 1O， 2为邻边的平行四边形是矩形，从而 12OZ，则 27473i； 12124zz二、复数式与正方形的转化例 2 已知复数 12z， 满足 12z，且
2、 12z，求证： 12z证明：设复数 ， 在复平面上对应的点为 Z， ，由条件知1212zz，以 1O， 2为邻边的平行四边形为正方形，而 12z在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以 12z点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加、减法的几何意义的运用是本题考查的重点三、复数式与菱形的转化例 3 已知 12zC， ， 12z， 123z，求 12z解析：设复数 ， ， 在复平面上对应的点为 Z， ， ，由 12z知，以 1OZ， 2为邻边的平行四边形是菱形，在 1O 中，由余弦定理，得2211coszz， 10Z， 1260Z，因此， 12Z 是正三角形， 21z点评：
3、本题通过复数模的几何意义的应用来判断四边形的形状，并且应用到了余弦定理，使得问题解决的很巧妙例 4 求使2za（ 0）为纯虚数的充要条件解析：2z是纯虚数，可设2(R0)zai，设复数 2za， 在复平面上对应的点为 12Z， ，以 12OZ， 为邻边的平行四边形是菱形， 2， za考虑到 za时， 20z； zai时，无意义，故使 2(0)za为纯虚数的充要条件是 ，且 ， i复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活复数中的数形结合因为复数 ()zabiR， 与复平面
4、上的点 ()Zab， 是一一对应的，体现了数与形的对应，所以在复数中利用数形结合解某些问题不仅巧妙，而且也体现出一种数学之美知识点链接：设动点 Z、定点 12， 分别表示复数 12z， ， 所对应的点，则（1） 1z表示点 到点 的距离；（2） r表示以 为半径，点 1Z为圆心的圆；（3） 12zz表示线段 2的垂直平分线；（4） a，当 1时，表示线段 12Z；当 12aZ时，表示以点 2Z， 为焦点，2a 为长轴长的椭圆上述几种曲线都可以结合（1）中的 1z的几何含义来理解比如， （3）中z表示点 到点 1的距离， 2表示点 到点 2Z的距离，即点 Z到点 1的距离与到点 2Z的距离相等，
5、所以，点 Z的轨迹是线段 12Z的垂直平分线下面举例说明数形结合的用法：例 1 若 342zi ，则 z的最大值为_解析：由 知，复数 对应的轨迹是以 2 为半径，点 1(34)Z， 为圆心的圆及其内部，所以 z的最大值为 157OZr例 2 如果复数 z 满足 2iz，那么 1zi的最小值为（ ）（A） 1 （ B） 2 （ C） （D ） 解析：如右图，由 zi知，复数 z对应的点的轨迹是线段 AB，其中 (01)(B， ， ， 又 zi表示点 ()C， 到线段 A上点的距离，故当 zi时，min1例 3 复数 z 满足条件 24zi，则 z的最小值为_解析：由 i知，复数 对应点的轨迹为
6、线段 AB的垂直平分线，其中(20)(4AB， ， ， z即原点到垂直平分线上的点的距离故 例 4 复数 z 满足 2i，则 2zi的取值范围是（ ）（A） 15， （B） 37，（C） 2， （D ） 21，解析：由 zi可得 iz因此复数 z对应点 Z的轨迹是以 102， ，为圆心，1 为半径的圆周，而2()zii，故点 到点 ()， 的距离的最小值为 32，最大值为 72复平面与高斯历史上，人们对虚数的认识与对负数、无理数的认识一样，经历了一个漫长的过程众所周知，在实数范围内负数偶次方根不存在公元 1545 年，意大利人卡尔丹（ardan）讨论这样一个问题：把 10 分成两部分，使它们的
7、积为 40，他找到的答案是51和 5即()(1)0，4卡尔丹没有因为 5有违前人负数不能开平方的原则而予以否定，笛卡儿给这个还找不到合理解释的数起了个名字“虚数” 由理论思维得出的数 51能表示自然界中哪些量呢？从此“虚数”这个令人不解的怪物困扰数学界达几百年之久即使在1730 年棣莫弗得到公式 (cosin)cosin、1748 年欧拉发现关系式cosinixex的情况下，这种困扰仍没有澄清伴随着科学技术的发展，1831 年德国人高斯创立了虚数的几何表示，它被理解为平面上的点或向量，即复数 zabi与平面直角坐标系内的点 ()Zab， 和向量 OZ相互对应，从而与物理学上的各种矢量相沟通，使
8、复数成为研究力、位移、速度、电场强度等量的强有力的工具比如在电工学中，交流电的电动势、电流都可以用复数表示：cos()sin()mtt，i，由它们的模和辐角完全确定了电压和电流的变化规律从此复数才被普遍接受高斯是历史上最伟大的数学家之一他不仅以少年时代对“12349810?”的巧妙算法倾倒众人，而且在他探索过的众多科学领域，都留有重要的贡献：在数学领域，他发现了素数定理；发现并证明了数论中的二次互反律；首次严格证明了代数基本定理：一元 n 次方程在复数集上恰有 n 个根他还解决了两千年来古希腊人的遗留问题，找到了用直尺和圆规作正 17 边形的方法在物理学领域，他定出地磁南、北极的位置；给出了第一张地磁场图；建立了电磁学的高斯单位制在天文学领域，高斯创立计算行星轨道的方法；算出小行星谷神星的轨道，发现小行星智神星的位置；发表有关天体运动的重要著作天体运动理论
