1、第 16 课时 函数的奇偶性【学习目标】1从形和数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概念,体会利用定义判断简单函数的奇偶性；2在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察、归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法.【课前导学】1.回忆增函数、减函数的定义，并复述证明函数单调性的步骤2.初中几何中轴对称，中心对称是如何定义的？轴对称：两个图形关于某条直线对称（即一个图形沿直线折叠，能够与另一图形重合） ；中心对称：两个图形关于某一点对称（即把一个图形绕某点旋转 ，能够与另一图形重合） 180这节课我们来研究函数的另外一个性质奇偶性（导入课题，板书课题） 【课堂活动】一建构数学：1.偶
2、函数（1）观察函数 y=x2的图象（如右图）图象有怎样的对称性？ 关于 y 轴对称从函数 y=f(x)=x2本身来说，其特点是什么？当自变量取一对相反数时，函数 y 取同一值例如：f(-2)=4, f(2)=4,即 f(-2)=f(-2)；f(-1)=1，f (1)=1，即 f(-1)=f(1)；由于（-x） 2=x2 f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数 y=x2的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=x2的图象上，这时，我们说函数 y=x2是偶函数（2）定义：（板书）一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，
3、都有 f(-x)= f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数（even function） 例如：函数 , , 等都是偶2()1fx2()1x()fx函数2.奇函数（1）观察函数 y=x3的图象（如图）当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？也是一对相反数。， 即， )1(2(41)()1( f这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？ 函数的图象关于原点对称即如果点（x,y）是函数 y=x3的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数 y=x3的图象上，这时，我们说函数 y=x3是奇函数（2）定义：（板书）一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意
4、一个 x，都有 f(-x)=- f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数(odd function)例如：函数 都是奇函数1(),()fxfx3.奇偶性如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性注意：（） “任意” 、 “都有”等关键词；（）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立，即等式 f(-x)= f(x)或xf(-x)=- f(x)是定义域上的恒等式提问：1你是否发现具有奇偶性的函数的定义域有什么特点？若定义域不符合此特点呢？答案：关于原点对称；否则函数就不具奇偶性2具有奇偶性的函数其图像有何特点？答案：奇函数的图像关于 原点 对称；偶函数
5、的图像关于 轴对称y据此也可用来判断函数的奇偶性二应用数学：例 1 判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x 3+2x; (2) f(x)=2x4+3x2; (3) f(x)=x2+2x+5;(4) f(x)=x2,x ; (5) f(x)= ; (6) f(x)= ;,0x1 21xx【思路分析】 这里主要是根据奇函数或偶函数的定义进行判断；从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数，首先其定义域关于原点对称；其次看 f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)是否必有一成立解：（1）奇函数 ；（2）偶函数；（3）既不是奇函数也不是偶函数；（4）既不是奇函数也不是偶函数；（5）奇函数
6、；（6）既是奇函数也是偶函数 【解后反思】1判断某一函数的奇偶性时：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算 f(-x)，看是等于 f(x)还是等于-f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性 （步骤：简记为 一看二算三论） 2函数中有奇函数，也有偶函数，但是还有些函数既不是奇函数也不是偶函数，唯有f(x)=0（其定义域关于原点对称，如 xR 或 x(-a,a).a0 ）既是奇函数又是偶函数，可见，函数按奇偶性可分四类3本题也可用图像法例 2 已知函数 y=f(x)在 R 上是奇函数，而且在 是增函数，0求证：y=f(x)在 上也是增函数0，证明：任取 x1-x20.
7、f(x)在（0，+）上是增函数f (-x1) f(-x2),又 f(x)在 R 上是奇函数-f(x 1) -f(x2),即 f(x1)0 时，f(x)=x 2+x+1,求 f(x)的解析式解：f(0)=0,x0,f(-x)=(-x)2-x+1=x 2-x+1,因 f(-x)=-f(x)故 f(x)=-x2+x-1综上，f(x)= )0(12x【课后提升】1判断下列函数的奇偶性：(1) ; (2) ;(3) ; ;(5) ; (6);f(x)=2x-1;（7） ; (8) 21)(xf ()1fxx【答案】 （1）奇函数 ；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）既不是奇函数也不是偶函数；（5）既不是奇函数也不是偶函数；（6）奇函数；（7）奇函数；（8）偶函数2已知 是定义域为 的奇函数，当 x0 时，f(x )=x|x2|，求 x0 且满足表达式 f(x)=x|x2| ，所以 f(x)= x|x2|=x|x+2|；又 f(x)是奇函数，有 f(x)= f(x) ，所以f(x)= x|x+2|，所以 f(x)=x|x+2|故当 x0 时， (x)表达式为 f(x)=x|x+2|.fw.w.w.st.c.o.m高考试题库
