1、一、主要内容,1、定积分的定义,第九章 定积分 习题课,定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；,与积分变量记号的选择无关。,（2） 利用牛顿-莱布尼兹公式。,2、定积分的计算,在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：,3、定积分的几何意义,面积的代数和。,4、定积分的性质,线性、,关于积分区间的可加性、,估值不等式、,积分第一、第二中值定理。,5、定积分与不定积分的联系,（1）变上限积分的导数公式；,保号性、,（2）牛-莱公式。,（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。,因为“含有第一类间断点的函数”都没有原函数，,而“含有有限个第一类间断点的函数”都可积
2、。,所以可积函数不一定有原函数。,即说明有原函数的函数不一定可积。,6、可积条件,必要条件 若函数f在a,b上可积，则f在a,b上必定有界。,充要条件（1） 函数f在a,b可积当且仅当：,使得属于T的所有小区间中，,充要条件（2） 函数f在a,b可积当且仅当：,对应于振幅 的那些小区间 的总长,7、可积函数类,1、在a,b上连续的函数在a,b可积。,2、在a,b上只有有限个间断点的有界函数在 a,b上可积。,3、在 a,b上单调的有界函数在a,b上可积。（允许有无限多个间断点）,但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数不属于这3类的任何一类，但它是可积的。,在a,b上函数的间断点形成收敛的数列，
3、则函数在a,b可积。,8、利用不定积分计算定积分,（1）线性；,恒等变形；,换元；,分部积分；,一些特殊类型函数的积分。,（2）与不定积分法的差别,（3）利用对称性、周期性及几何意义。,牛-莱公式,积分限的确定，换元要换积分限，原函数求出后不需回代。,（4） 开偶次方时，要带绝对值。,9、杂记,（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。,（2） 对D(x)和R(x) 的可积问题多一些关注。,例1,解,二、典型例题,例2,问：f(x)在a,b是否可积？,解,例3,在0,1是否可积？,解,例4,解,例5,解,是偶函数,例6,证 考察,例7,证,例8,解,该极限可以看作函数f(x)=x2-1在0，1
4、区间作n等分且取右端点时的黎曼和的极限，,由于f(x)=x2-1在0，1连续，从而可积，故上述极限等于,例9,证,证毕。,证,令,例11,解,例12 计算,解,例13,例14,例15,解,例16,解,例17,解,P229.4(9),解,P229.6,证,P229. 2,证,证毕。,P229.4(12),解一,解二,解三,解四,解五,P212.1,不妨假定 是T增加一个分点x0后得到的分割，,P212.3,解法一,不妨假设f(x)和g(x)仅在一点不等， 进一步可设在a点不等。,这是可以做到的！,P212.3,F(x)仅在a,b的有限个点处不为0，即仅有有限个间断点，从而在a,b可积.,解法二,
