1、高中数学必修 1 练习题集第一章、集合与函数概念1.1.1 集合的含义与表示例 1. 用符号 和 填空。 设集合 A 是正整数的集合，则 0_A， 2_A， 01 _A； 设集合 B 是小于 1的所有实数的集合，则 2 3_B，1+ 2_B； 设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A ，美国_A，印度_A ，英国_A例 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由。 某个单位里的年轻人组成一个集合； 1， 23， 46， 1， 2这些 数组成的集合有五个元素； 由 a，b，c 组成的集合与 b，a ，c 组成的集合是同一个集合。例 3. 用列举法表示下列集合： 小于 10 的所有自然数组成的集合
2、 A； 方程 x 2= x 的所有实根组成的集合 B； 由 120 中的所有质数组成的集合 C。例 4. 用列举法和描述法表示方程组 1yx的解集。典型例题精析题型一 集合中元素的确定性例 1. 下列各组对象： 接近于 0 的数的全体； 比较小的正整数全体； 平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体； 正三角形的全体； 2的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5题型二 集合中元素的互异性与无序性例 2. 已知 x 21，0，x，求实数 x 的值。题型三 元素与集合的关系问题1. 判断某个元素是否在集合内例 3设集合 A=x x =2k, kZ，B=
3、x x =2k + 1, kZ。若 a A，b B，试判断 a + b 与 A，B 的关系。2. 求集合中的元素例 4. 数集 A 满足条件， 若 aA，则 a1A， （a 1） ，若 3A，求集合中的其他元素。3. 利用元素个数求参数取值问题例 5. 已知集合 A= xa x 2+ 2x + 1=0, aR ， 若 A 中只有一个元素，求 a 的取值。 若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围。题型四 列举法表示集合例 6. 用列举法表示下列集合 A=x 2 ， xZ； B= x 21x= 0 M= y, x+ y= 4， x N *，y N *.题型五 描述法表示集合例 7. 已知集合
4、 M= xN 16Z，求 M； 已知集合 C= Z x N，求 C.例 8. 用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。例 9. 已知集合 A=a + 2，(a + 1) 2，a + 3a + 3，若 1A，求实数 a 的值。例 10. 集合 M 的元素为自然数，且满足：如果 xM，则 8 - x M，试回答下列问题： 写出只有一个元素的集合 M； 写出元素个数为 2 的所有集合 M； 满足题设条件的集合 M 共有多少个？创新、拓展、实践1、实际应用题例 11. 一个笔记本的价格是 2 元，一本教辅书的价格是 5 元，小明拿 9 元钱到商店，如果他可以把钱花光，也可以只买一
5、种商品，请你将小明购买商品的所有情况一一列举出来，并用集合表示。2、信息迁移题例 12. 已知 A=1，2，3，B=2，4，定义集合 A、B 间的运算 AB=xx A 且xB，则集合 AB 等于（ ）A. 1，2，3 B. 2，4 C. 1，3 D. 2 3、开放探究题例 13. 非空集合 G 关于运算 满足： 对任意 a、b G，都有 ab G； 存在eG，使得对一切 aG，都有 ae = e a = a，则称 G 关于运算 为“融洽集” 。现给出下列集合与运算： G=非负整数， 为整数的加法。 G=偶数， 为整数的乘法。 G=二次三项式， 为多项式的加法。其中 G 关于运算 为“融洽集 ”
6、的是_。 （写出所有“融洽集”的序号）例 14. 已知集合 A=0，1， 2，3，a，当 xA 时，若 x - 1A，则称 x 为 A 的一个“孤立”元素，现已知 A 中有一个 “孤立”元素，是写出符合题意的 a 值_( 若有多个 a 值，则只写出其中的一个即可)。例 15. 数集 A 满足条件；若 a A，则 a1A（a1） 。 若 2A，试求出 A 中其他所有元素； 自己设计一个数属于 A，然后求出 A 中其他所有元素； 从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理” 。高考中出现的题例 1. （2008江西高考）定义集合运算：A B= zz = xy，x A，y B。设
7、A=1， 2，B=0 ，2 ，则集合 AB 的所有元素之和为（ ）A. 0 B. 2 C. 3 D. 6例 2. （2007北京模拟）已知集合 A=a 1，a 2， ，a k(k2)，其中 a iZ (i=1，2 ，k )，由 A 中的元素构成两个相应的集合： S=（a ，b）a A，b A，a + bA； T=(a，b)a A， b A，a - b A ，其中（ a，b）是有序数对。若对于任意的 a A，总有- aAA，则称集合 A 具有性质 P。试检验集合0，1，2，3与-1，2，3 是否具有性质 P，并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和 T。1.1.2 集合间的基本关系例
8、 1 用 Venn 图表示下列集合之间的关系： A=xx 是平行四边形 ，B= xx 是菱形，C= xx 是矩形，D= xx 是正方形。例 2 设集合 A=1，3，a ，B=1，a 2- a + 1，且 AB，求 a 的值例 3 已知集合 A=x，xy，x - y，集合 B=0， x，y ，若 A=B，求实数 x，y 的值。例 4 写出集合a、b、c 的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集。例 5 判断下列关系是否正确：（1）0 0；（2） 0；（3） 0；（4）题型一 判断集合间的关系问题例 1 下列各式中，正确的个数是（ ）(1) 00，1，2；（2）0，1，2 2，1，0
9、；（ 3） 0，1，2 ；（4）0；（5）0，1=（0，1）；（6）0=0。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题型二 确定集合的个数问题例 2 已知1，2 M 1，2，3，4，5 ，则这样的集合 M 有_个。题型三 利用集合间的关系求字母参数问题例 3 已知集合 A=x1ax2，B=x x1, 求满足 AB 的实数 a 的范围。例 4 设集合 A=xx 2+ 4x=0，x R，B=xx 2+ 2(a + 1)x + a 2- 1=0，x R ，若 BA，求实数 a 的值。一、数形结合思想：1. 用 Venn 图解题例 5 设集合 A=xx 是菱形，B=xx 是平行四边形，C=xx 是正方形
10、，指出A、B 、 C 之间的关系。例 6 （2. 用数轴解题）已知 A=xx-1 或 x5 ，B=x Raxa + 4，若 AB，求实数 a 的取值范围。二、分类讨论思想例 7 已知集合 A=a，a + b，a + 2b，B=a，ac，ac 2，若 A=B，求 c 的值。创新、拓展、实践1. 数学与生活例 8 写出集合农夫，狼，羊 的所有子集，由此设计一个方案：农夫把狼、羊、菜从河的一岸送到另一岸，农夫每次乘船只能运送一样东西，并且农夫不在场的情况下，狼和羊不能在一起，羊和菜不能在一起。2. 开放探究题例 9 已知集合 A=x ax= 4，集合 B=1，2，b.（1） 是否存在实数 a，使得对
11、于任意实数 b 都有 AB？若存在，求出对应的 a 值，若不存在，说明理由。（2） 若 AB 成立，求出对应的实数对（a，b）高考要点阐释例 1 （山东模拟）设 a、b R，集合1，a + b，a =0， ab，b，则 b a =( )(请写出解题过程)A. 1 B. -1 C. 2 D. -2例 2 (湖北模拟）已知集合 A=-1，3，2m -1，集合 B=3，m 2，若 BA，则实数m=_.例 3 （ 2008福建高考）设 P 是一个数集，且至少含有两个数，若任意 a、b P，都有 a + b、a b、 P（除数 b0） ，则称 P 是一个数域，例如有理数集 Q 是数域；数集F=a +b
12、2 a 、 b Q也是数域。有下列命题：整数集是数域；若有理数 QM，则数集 M 必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域。其中正确的命题的序号是_.（把你认为正确的命题的序号都填上）1. 空集的概念及性质例 1 在（ 1）0 ；（2） ；（3）x3m xm；（4）xa + 2xa ；（5）x x 2+1=0，x R中表示空集的是_.2. 空集性质的应用例 2 已知集合 A=xx0，x R，B=xx 2- x + p=0，且 BA，求实数 p 的范围。例 3 已知 A=xx 2- 3x + 2=0，B=x ax - 2=0，且 BA，求实数 a 组成的集合C.1.1.3 集合的基本运算例 1
13、 设集合 A=x-1x2，集合 B= x1x3 ，求 AB.例 2 A= x-1x4，B= x2x5 ，求 AB.例 3 若 A、B、C 为三个集合， AB = B C，则一定有（ ）A. AC B. CA C. AC D. A = 例 4 不等式组 的解为 A，U=R，试求 A 及 C UA，并把它们分别表示在数轴上。题型一 基本概念例 1 设集合 A=（x，y）a 1x + b y + c 1= 0，B=（x，y）a 2x + b y + c 2= 0，则方程组 0,221cb的解集是_；方程(a 1x + b y + c 1)（a 2x + b y + c2）= 0 的解集是_.题型二
14、集合的并集运算例 2 若集合 A=1，3， x，B=1，x 2，A B =1，3，x，则满足条件的实数有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个题型三 集合的交 集运算例 3 若集合 A=xx 2- ax + a 2- 19 = 0，B= xx 2- 5x + 6 = 0，C=xx 2+ 2x - 8 = 0，求 a 的值使得 (AB)与 A C= 同时成立。例 4 集合 A=1，2，3， 4，B A，且 1(AB)，但 4(A B)，则满足上述条件的集合 B 的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8题型四 集合的补集运算例 5 设全集 U=1，2，x - 2，
15、A=1，x，求 C UA例 6 设全集 U 为 R，A=xx 2- x 2 = 0，B=x x = y + 1，y A，求 C UB题型五 集合运算性质的简单应用例 7 已知集合 A=xx 2+ ax + 12b = 0 和 B= xx 2- ax + b = 0，满足（C UA）B=2，A (C UB)=4，U = R，求实数 a、b 的值。例 8 已知 A=xx 2- px 2 = 0，B= xx 2+ qx + r = 0，且 AB =-2，1，5，AB =-2，求实数 p、q、r 的值。数学思想方法一、数形结合思想例 9（用数轴解题）已知全集 U= xx4 ，集合 A=x-2x3 ，集
16、合 B= x-3x3 ，求 C UA，A B ，C U( A B)，(C UA)B例 10（用 Venn 图解题）设全集 U 和集合 A、B、P 满足 A= C UB，B= C P，则 A 与P 的关系是（ ）A. A= C UP B. A=P C. AP D. AP二、分类讨论思想例 11 设集合 A= 1a，3，5，集合 B=2a+1，a 2+ 2a，a + 2a - 1，当AB=2，3时，求 AB三、 “正难则反”策略与“补集”思想例 12 已知方程 x 2+ ax + 1 = 0，x 2+ 2x - a = 0，x 2+ 2ax + 2 = 0，若三个方程至少有一个方程有实根，求实数
17、a 的取值范围。四、方程思想例 13 设集合 A=xx 2+ 4x = 0，x R，B= xx 2+ 2(a + 1)x + a 2- 1 = 0，x R ，若 BA，求实数 a 的值。来源:学科网创新、拓展、实践例 14（实际应用题） 在开秋季运动会时，某班共有 28 名同学参加比赛，其中有 15 人参加径赛，有 8 人参加田赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有 3 人，同时参加径赛和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？例 15（开放探究题）定义集合 A 和 B 的运算为 AB = xx A 且 xB，试
18、写出含有几何运算符号“” 、 “”、 “”，并对任意集合 A 和 B 都成立的一个式子_例 16 我们知道，如果集合 AU，那么 U 的子集 A 的补集为 C UA= xx U，且 xA，类似地，对于集合 A、B，我们把集合 xx A，且 xB叫做 A 与 B 的差集，记作 A - B，例如 A=1，2， 3，5，8，B=4，5，6，7，8，则 A - B =1，2，3，B A=4，6，7。据此，回答以下问题： 补集与差集有什么异同点？ 若 U 是高一班全体同学的集合，A 是高一班全体女同学组成的集合，求 U A及 C A. 在图 1-1-24 所示的各图中，用阴影表示集合 A B 如果 A
19、B=，那么 A 与 B 之间具有怎样的关系。高考要点阐释例 1（2008陕西高考）已知全集 U=1，2，3，4，5，集合 A= xx 2- 3x + 2 = 0，B= xx= 2a，a A，则集合 C U(AB)中元素的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4例 2（2008上海高考）若集合 A= xx2 ，B= xxa，满足 AB=2，则实数 a = _.例 3（2008北京高考）已知集合 A= x-2x 3，B= xx-1 或 x4 ，则集合AB 等于（ ）A. xx3 或 x4 B. x-1 x3 C. x3x4 D. x-2x-11.2 函数及其表示例 1 判断下列对应是否为
20、函数 x 2，x0，x R； x y，这里 y 2= x，x N，y R2.1 指数函数例 1 求下列各式的值 3)2(= 4)2(= 66)3(= 22yx=例 2 把下列各式中的 a 写成分数指数幂的形式（a0） ； a 5=256 a 4=28 a 7=5 6 a n3=3 m5(m，n N*) 计算： 9 23 16 例 3 化简 321ba321a例 4 化简（式中字母都是正数） （x 2y 3） 6 (2x 2+ 3y 3)(2x 2- 3y 3) 4x 213x 21(- y 3)y3例 化简下列各式 32yx- 32yx 3232148ba（1 2 3ab） 3典型例题题型一、
21、根式的性质例 1 求值 32a（a0）.例 2 计算： 625 3352题型二、分数指数幂及运算性质1. 计算问题：例 3 计算： 3173329aa2. 化简问题：例 4 化简下列各式： 311538327 aaa （x 01x） （x 21）3. 带附加条件的求值问题例 5 已知 a 21+ a= 3，求下列各式的值： a + a a 2+ a 213a数学思想方法一、化归与转化思想例 6 化简： 32ba（a0，b0）.二、整体代换思想例 7 已知 2 ax（常数） ，求 8 x的值。来源:学&科&网 Z&X&X&K 已知 x + y = 12, xy = 9，且 xy，求 21y的值。
22、创新、拓展、实践1. 数学与科技例 8 已知某两星球间的距离 d1= 3.121034千米，某两分子间的距离 d 2= 3.121032米，请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍？2. 创新应用题例 9 已知 a、b 是方程 x 2- 6x + 4 = 0 的两根，且 ab0，求 ba的值。3. 开放探究题例 10 已知 a0，对于 0r8，r N，式子( a) r8( 41) r能化为关于 a 的整数指数幂的可能情形有几种？来源:学&科&网高考要点阐释(写出解题的过程 )例 1（2008重庆文高考）若 x0，则（2x 41+ 3 2） （2x 41- 3 2）- 4x 21（x - x 21
23、）=_.例 2（上海高考）若 x 1、x 2为方程 2 x=（ 1）x的两个实数解，则 x 1+ x 2=_.例 3（北京高考改编）函数 f（x）= a x(a0，且 a1)对于任意的实数 x、y 都有（ ） A. f（xy）= f（x）f（y） B. f（xy）= f（x）+ f（y）C. f（x + y）= f（x）f （y） D. f（x + y）= f（x）+ f（y）名师专家点穴一、巧用公式引入负指数幂及分数指数幂后，初中的平方差、立方差、完全平方公式有了新的特征；如：（a a 1） 2= a 2 + a ；a b = (a 21+ b )(a 21- b )；a + b = (a
24、31+ b )（a 32- a1b + b 32）例 1 化简下列各式 （x + x + 1）(x 2- x1)二、整体带入例 2 已知 x 21+ x =3 求 3223x的值。例 3 计算（1 + 2048） （1 + 024）（1 + 4） （1 + 2） （1 + ）.三、根式、小数化为指数幂例 4 计算（0.0081） 41- 3( 87) 0 181 25.0+(3 83)1 2.2.1.2 指数函数及其性质例 1 指出下列函数哪些是指数函数 y = 4 x； y = x 4； y = - 4 x； y = (-4) x； y = x； y = 4x 2； y = x ； y =
25、(2a - 1) x(a 21，且 a 1)例 2 比较下列各 题中两个值的大小。 1.7 5.，1.7 3； 0.8 1.0，0.8 2.0； 1.7 3.0，0.9 1.例 3 求下列函数的定义域和值域： y = x21； y = 2 1x y = ( 21) 3x教材问题探究1. 函数图像的变换例 1 画出下列函数的图像，并说明他们是由函数 f (x) = 2 x的图像经过怎样的变换得到的。 y = 2 1x； y = 2 1x； y = 2 x； y = 1x； y = -2 ； y = -2 2.图像变换的应用例 2 设 f (x) = 13x，cba 且 f(c)f(a)f(b)，
26、则下列关系式中一定成立的是（ ）A. 3 c3 b B. 3 c3 C. 3 c+ 3 a2 D. 3 c+ 3 a2探究学习例 3 选取底数 a (a 0，且 a 1)的若干个不同的值 , 在同一平面直角坐标系内作出相应的指数函数的图像. 观察图像, 你能发现他们有哪些共同特征?典型例题精析题型一 指数函数的定义例 1 函数 y = (a 2+ 3a + 3) a x是指数函数，则 a 的值为_题型二 指数函数的图像和性质1. 过定点问题例 2 函数 y = 2 3x+ 3 恒过定点_.2. 指数函数的单调性例 3 讨论函数 f (x) = ( 31) x2的单调性，并求其值域。例 4 已知
27、函数 f (x) = 1xa（ 1） 求该函数的值域； 证明 f (x)是 R 上的增函数3. 指数函数的图像例 5 若函数 y = a x+ b 1（a0，且 a1）的图象经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A. a1，且 b1 B. 0a1，且 b0 C. 0a1，且 b0 D. a1，且 b1变试训练 1：当 a0 时，函数 y = ax + b 和 y = b ax的图象只可能是下列中的（ ）题型三 指数函数图像和性质的综合应用1. 比较大小例 6 右图是指数函数： y = a x， y = b x， y = c x， y = d x的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是（
28、）A. ab1cd B. ba1dcC. 1abcd D. ab1dc2. 解不等式例 7 解不等式21x2. 已知 xa2 xa12，则 x 的取值范围是_。 设函数 f(x)=,012x若 f (x 0)1，则 x 0的取值范围是（ ）变试训练 2：设 y 1= a 3x，y 2= a x，其中 a0，a1，确定 x 为何值时，有： y = y ； y 1 y 2.3. 定义域和值域例 8 求下列函数的定义域与值域 y = 2 41x； y = x32.例 10 已知 -1x2，求函数 f(x)=3+23 1x9 的值域4. 指数方程例 10 解方程：3 2x-3 x=80例 11 若方程
29、 0214axx有正数解，则实数 a的取值范围是（ ）A （ ，1） B. ( ，2) C. （-3，-2） D.（-3，0）5. 单调性问题例 12 已知 a0 且 a1，讨论 f(x)=a 23x的单调性例 13 设 a0，f(x)= xea在 R 上满足 f(-x)=f(x)。 求 的值 证明：f(x)在（0，+ ）上是增函数6. 奇偶性问题例 14 已知函数 f(x)= 321xx， 求 f(x)的定义域 讨论 f(x)的奇偶性 证明 f(x)0题型四 指数函数的实际应用例 15 截止到 1999 年底，我国人口约 13 亿。如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过 20 年后，
30、我国人口约为多少？（精确到亿）数学思想方法一、数形结合思想1. 比较大小例 16 比较 3 5.1和 4 7.2. 求参数的取值范围例 17 关于 x 的方程 ax5234有负根，求 a的取值范围。3. 研究函数的单调性例 18 求函数 y = xx21的单调区间二、分类讨论思想例 19 根据下列条件确定实数 x 的取值范围： ax21(a0 且 a1)三、函数与方程思想例 20 已知 x,yR，且 3 x+5 y3 + 5 x，求证 x + y0.创新、拓展、实践1. 数学与科技例 21 家用电器（如冰箱等）使用的氟化物的释放破坏了大气中的臭氧层。臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式 Q
31、 = Q te025.，其中 Q 0是臭氧的初始量，t 为时间。 随着时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ 多少年以后将会有一半的臭氧消失？例 22 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用， 据监测：服药后每毫升血液中的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间近似满足右图所示的曲线。 写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y = f(t)； 据进一步测定： 每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时，治疗疾病有效。求服药一次治疗疾病有效的时间。2. 数学与生产例 23 某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某产品的数量分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以
32、后各月的产量，以这三个的月产量为依据，用一个函数模拟产品月产量 y（万件）与月份数 x 的关系，根据经验，模拟函数可以选用二次函数或y=ab x+c（其中 a、b、c 为常数） ，已知 4 月份该产品产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并求此函数的解析式。3. 创新应用例 24 设 f(x)= 24x，若 0a1，试求： f(a)+ f(1-a)的值高中数学必修 4第一章 三角函数三角函数是中学数学的重要内容，还是学习解三角形、向量、立体几何中有关内容的重要工具。学法指导：1.要掌握三角函数中各个函数的基本概念，熟悉他们之间的内在联系。2.在熟练掌握概念、公式的基础上，要不断总结解题规律，掌握变形方法与技巧。3.注意化归思想、数形结合思想在本章中的应用
