1、高等数学 123第三章数学思想方法指导*3.8 微分中值定理与导数应用的思想方法选讲3.8.1 一般化与特殊化在3.1.2 介绍拉格朗日（Lagrange）中值定理时,我们简要提及一般化与特殊化方法对发现新定理和证明新定理过程中的作用. 实际上 , 一般化与特殊化是数学研究中最通用的思想方法之一，它不仅是论证的基本方法，也是发现和应用过程中经常采用的重要方法. 因此,我们有必要进一步加深认识.著名的数学教育家波利亚在数学与猜想中指出：“像一般化、特殊化和作类比这样一些基本的思考过程，不论在初等数学、高等数学中的发现，或者在任何别的学科中的发现，恐怕都不能没有这些思考过程.”一般化与特殊化是用辨
2、证的观点来观察和处理问题的两个思维方向相反的思想方法. 1. 一般化思想与方法一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含该较小集合的更大集合的思想方法. 一般化思想在数学上的应用大致可从四个不同层次或范围来体现. （A）在大范围上，从整体看，每个数学理论及其应用的主要发展方向之一是其适用范围的扩大. 通常，通过数学模式的抽象化层次不断提高和寻求在更大范围内的新的统一性来实现这种可能性，抽象法、概括法、归纳与类比、联想方法都是实现一般化的具体措施. 因此，一般化是数学创造的基本思想. （B）在小范围内，就某个具体数学分支的某些具体问题，通过削弱
3、充分条件来推广一个或一组命题，并使其结论的基本特征不变（通常限制在原来条件下由新命题仍能推出原结论成立） ，即一般化思想指导人们将一个或一组数学命题的条件从各个方面加以推广. 这种方法对于活跃思维、激发兴趣，加强对数学知识的理解与掌握很有好处，这也是是数学研究的一种重要形式，数学发现的一个重要手段.例如，在平面几何中，我们从三角形开始进而研究任意多边形的性质,如从一个三角形的三个内角和 1800出发进而获知 n 边形的 n 个内角和为(n 2)1800. 在3.1，拉格朗日定理把洛尔定理的第三个条件 f (a ) = f (b) 舍去，得到的结论改为：则在(a, b)上至少存在一点使得f()
4、= . （3.8.1）bf高等数学124这个结论在形式上发生了变化，但当 f (b) = f (a ) 时仍然得到 f () = 0，即罗尔定理的结论. 这说明拉格朗日定理的条件比罗尔定理更一般，而且当罗尔定理条件成立时，由拉格朗日的定理也可以得到罗尔定理的结论. 这就是一个实质的一般化推广. 而后，柯西中值定理的条件形式上比前两个定理都复杂，与拉格朗日定理比，增加了一个函数 g ，除了要求 g 与 f 同样具有连续、可导性外，还要求g(x )在（a, b）上不为 0，以保证（3.1.6）式左右两边的分母不为 0；此外，结论也较复杂了. 实际上，柯西看出了（3.8.1）,即（3.1.2）式中一
5、个隐含的条件，即 g (x ) = x 的情况，并把 g (x ) = x 这样的特殊情况推广为较一般的、如定理条件所描述的函数. 因此，实际上定理的条件是削弱的. 所以，柯西定理包含了拉格朗日中值定理，是拉格朗日定理的一般化.（C）通过类比与联想来把某一个范围内成立的数学命题与理论移植到另一个范围上去，并加以发展和提高.（D）在具体解题中，采用所谓一般化方法或把一般化方法与特殊化方法结合使用，常可取得出奇的效果.2. 特殊化思想方法杰出的数学家希尔伯特指出：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.可能在大多数场合，我们寻找一个问题的答案而未获成功的原因，就在于这样的事实，
6、即有一些更简单、更容易的问题没有解决，或者没有完全解决. 这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是克服数学困难的最重要杠杆之一. ”特殊化方法不论在科学研究，还是在数学教学中，都具有十分重要的作用. 特殊化通常指通过对所考虑的问题的特殊例子的研究，求得该问题的解决，或为该问题的最终解决提供关键信息的思想方法G波利亚在数学与猜想一书中指出：“特殊化是从考虑对象的一个给定集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象. 例如我们从多边形转而特别考虑正 n 边形，我们还可以从正 n 边形转而特别考虑等边三角形.” 特殊化是以研究对象的一
7、般性为基础，从而肯定个别对象具有个别属性. 显然，仅就一般问题的特例进行验证或计算，并不能解决该一般问题. 但是，当面对复杂问题而无从着手时，不妨先采取“随意特殊化”的方法，通过研究较为简单的特例，可使我们对一般问题有个初步了解，获得对其中有关概念的认识，从中获得某些启示，如能因此获得解决问题的思路，当然最好；如尚未达到此地步，也可能为更进一步的特殊化探讨提出方案. 例如，在用数学归纳法证明命题时，人们常在验证 n =1 时命题成立后，再验证 n =2 甚至 n =3高等数学 125时的情况. 这样做的目的在于了解“由 n =1 时命题成立如何去推导 n =2 时命题成立（相应地，n =3 时
8、命题成立） ”. 这往往能对于“由假设 n =k 时命题成立去推证 n =k+1 时命题成立”提供解题思路和方法. 另一方面，由于事物的共性存在于个性之中，要发现共性往往需从先发现一部分个性着手. 因此若采用 “系统特殊化” ，即对若干典型的（有代表性的）特殊个体进行深入探讨，常常可以找出问题的关键，从而有助于揭示一般问题的本质，进而使一般问题的解决有所突破.3 用一般化与特殊化指导解 题由特殊到一般和由一般到特殊，是两个方向相反的思维过程，尽管如此，这两者在实际的数学研究中又是密切相关、互相依赖的. 梅森指出，特殊化与一般化贯穿于整个解题过程之中. 下面举例说明一般化和特殊化方法在解题中的作
9、用. 应该指出的是，一般化与特殊化在解题中的应用都是转化思想（化归）的一种体现. 在高等数学中，人们常将离散型问题（如关于 f (n ), n 为自然数的问题）与连续型问题（如关于（0，+）上的函数的问题）互相转化，以求问题的解决并力求简捷明了. 因为自然数集 N 可看成（0，+ ）的一个子集， f (n )可看成 f (x )在 N 上的限制， f (x )可看成 f (n )的扩张. 从 f (n ) 到 f (x )的过程是一般化过程，从 f (x ) 到 f (n )的过程是特殊化的过程. 例 1 在1.4.1, 我们介绍了重要极限= e, (3.8.2)nlimn1然后指出,我们可以
10、证明= e. (3.8.3)xlix1您是否想过如何证明(3.8.3)呢? 我们现在借助于一般化与特殊化来分析这个问题.在研究函数 f (x ) = (1+ )x 的极限 (x +)时，自然地就联想起它的一个特1例（3.8.2）. 由于 是 的子列, 所以，若 存在且为 L, nx( nlimx)1(则 L = e, 否则要导致矛盾. 事实上, 这个特例不仅为我们提供了可能的答案而且提供了证明的工具. 具体证明时，可把 x +的过程先特殊化为考虑任意取定的趋于+ 的单调增的点列x k. 然后，对每个自然数 k，取自然数 nk 使得 n k x k n k+1, 得到自高等数学126然数列n 的
11、一个单调不减的子列n k, n k (k), 于是ak:= (1+ ) bk:= .kn1xkk11kn由于 ak 是(1+1/n )n 的子列, 由（1）推出 ak e; 由于 bk = ak ,所以nbk e1= e. 然后利用两边夹的求极限的定理就推出，当 k 时， e.kx由 x k 的任意性就证明了，当 x 时(1+1/x )x 的极限存在且为 e. (注:最后一步, 又实现了从特殊到一般的转化了.)例 2 求极限 n (e 1).lim1分析 若把它一般化为x (e 1),li1则可利用洛必达法则得 x (e 1) =1. 从而,它的子列也有同样的极限, 即li1n (e 1) =
12、1.lim13.8.2 中值定理的应用的例子(补充)回忆2.6 函数 f (x)的增量( 差分) f (a+x)f (a)当用微分来近似表示时 ,只是在点 a 的邻域有效: f (a+x) f (a) f (a)x.当然这时只要求 f (a)存在. 如果函数 f (x)在区间a, a+ x (当x0)或 a+x, a (当x 0，那么函数 y = f (x)在a, b上单调增加;(1) 如果在( a, b)内 f (x) 0， f (x) 0,从而 f (x)0, x，故函数 y = x 的图像是凹的;当 0 1 时, ()0, 从而 f (x)0, x，故函数 y = x 的图像是凸的（B）
13、多个不同问题的分类处理(外定位):当面临着多个情况不同的问题时,可以找一个包含其中每个问题(每个问题为一个元素)的集合,将这个集合的元素按照一定的标准分类, 然后分别就各子类给出解答方案或者探讨各子类的性质.就其中一个问题而言,这就是判别它所属类型的定位问题.例 2 讨论以下几个极限的求法:(1) ;(2) ;(3) ;xxelim01coslinx0lnsi3m4x(4) ; (5) 求 ;(6) ;)sin1(l0x xli0xxil(7) ;(8) ; (9) ;1lx4532xlis0lixsn12(10) (x ln x).lim因为洛必达法则比较好用且常用,我们可以参照是否可使用洛
14、必达法则的标准来分类 .下面分类讨论供参考,读者自己可以设计更有特色的分类法.研究对象一级分类:是否为未定式二级分类:对未定式具体分类三级分类:解法分类讨论,把属于该类解法的题目对号入座上述9 个求 0可用洛必达法则求极限: (2)高等数学 131不能用洛必达法则求极限:(9) (可采用其它办法求解或判断极限不存在)可用洛必达法则求极限: (3)不能用洛必达法则求极限:(1)(应采用其它办法求解或判断)直接通过加减乘除变形来转化: (4),(5)可转化为 或0型,再检验能否运用洛必达法则非直接通过加减乘除变形 (如通过函数)来转化:(6)是未定式非 且0非 的未定式不可转化为 或 未定式:(10)0极限的题目不是未定式不能用洛必达法则求极限: (7), (8),(应采用其它办法求解或判断) 注意:有时使用其它方法更简便,或出现不易判断是否可使洛必达法则的的未定式,应采用其它办法或结合使用其它方法来求极限(见3.2 例 12).（C）学习过程的分类总结：在学习过程中注意知识、方法的总结和归类,对于强化理解和复习提高很有必要.初学者要逐步学会这一点，作为练习，可以本章的学习内容为例,做一个简要的分类.
