1、 苏锡常镇四市高三数学试卷 第页( 共 6 页)苏锡常镇四市 2011 届高三调研测试(二)数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)2011.05一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 若复数 z 的共轭复数为3i，则| z|_.2. 已知全集 U1,2,3,4,5,6，集合 A1,2,3,4，B1,3,5，则 U(AB)_.3. 函数 f(x)2 xlog 2x(x1,2)的值域为_4. “x1”是“x 2x ”的_ 条件(填“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分”或“既不充分又不必要”)5. 在区间1,1上随机地取一个实数 x，则使得 cos
2、 的值介于 0 到 的概率为x2 12_6. 若抛物线 y22px (p0)的焦点与双曲线 1 的右焦点重合，则 p 的值为x22 y22_7. 已知数列 an为等差数列，a 1a 2a 36，a 7a 8a 924，则a4a 5a 6_.8. 阅读如图所示的算法流程图，若输入的 n 是 100，则输出的变量 S 的值是_(第 8 题)9. 已知方程 xx 的解 x0 ，则正整数 n_.(12) 13 ( 1n 1，1n)10. 如果圆( x2a) 2(y a 3) 24 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是_11. 若函数 f(x)( xa)3x2a 2(xa)3 8x
3、3a 为偶函数，则所有实数 a 的取值构成的集合为_12. 平面内两个非零向量 、，满足|1，且 与 的夹角为 135，则| |的取值范围是_13. 在ABC 中，AB 1，AC 2，O 为ABC 外接圆的圆心，则 _.AO BC 14. 已知 m、nR，且 m2n2，则 m2mn2 2n1 的最小值为 _二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)在ABC 中，AC5，AD 为BAC 的角平分线，D 在 BC 上，且DC4 ，cosDAC .235(1)求 AD 长；(2)求 cosB 的值16.
4、 (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABAC AA 13a，BC 2a，D 是 BC 的中点，E 为 AB 的中点， F 是 C1C 上一点，且 CF2a.(1)求证：C 1E平面 ADF；(2)试在 BB1 上找一点 G，使得 CG平面 ADF；(3)求三棱锥 DAB1F 的体积17. (本小题满分 14 分)一条船在如图所示的 Y 型河流中行驶，从 A 逆流行驶到 B，再从 B 顺流行驶到 C，AB间航程和 BC 间航程相等，水流的速度为 3 km/h，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度(单位：km/h)的平方成正比(1)当船在 AB 段、BC 段静水
5、中的速度分别是多少时，整个航行的总耗油量最小？(2)如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，当船在静水的速度是多少时，整个航行的总耗油量最小？18. (本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆的中心在原点 O，右焦点 F 在 x 轴上，椭圆与y 轴交于 A、B 两点，其右准线 l 与 x 轴交于 T 点，直线 BF 交椭圆于 C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点(1)求证：A、C、T 三点共线；(2)如果 3 ，四边形 APCB 的面积最大值为 ，求此时椭圆的方程和 P 点坐BF FC 6 23标19. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x) a|x |，a
6、为实数x a(1)当 a1，x1,1时，求函数 f(x)的值域；(2)设 m、n 是两个实数，满足 mn，若函数 f(x)的单调减区间为 (m，n)，且nm ，求 a 的取值范围311620. (本小题满分 16 分)已知数列a n满足 a1a(a2) ，a n1 ，nN *.2 an(1)求证：a n1 a n；(2)若 a ，且数列b n满足 anb n ，b n1，求证：数列lgb n是等比数列；并322 1bn求数列 an的通项公式；(3)若 a2 011，求证：当 n12 时，2a n2 恒成立 (参考数据 2101 024)12 011苏锡常镇四市高三数学试卷附加题 第页(共 2
7、页)苏锡常镇四市 2011 届高三调研测试(二)数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】在 A、B、C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修 41：几何证明选讲如图，圆 O 的直径 AB4， C 为圆周上一点，BC2，过 C 作圆 O 的切线 l，过 A 作 l的垂线 AD，AD 分别与直线 l、圆 O 交于点 D、E，求DAC 的度数与线段 AE 的长B. 选修 42：矩阵变换求圆 C：x 2y 24 在矩阵 A 的变换作用下的曲线方程2 00 1C. 选修 44：坐标系与参数方程若两条曲
8、线的极坐标方程分别为 1 与 2sin ，它们相交于 A、B 两点，求线段 AB的长D. 选修 45：不等式选讲已知 a、b、c 为正数，且满足 acos2bsin 2c.求证： cos2 sin2 .a b c22. 【必做题】第 22 题、第 23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤随机地将编号为 1,2,3 的三个小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中，每个盒子放入一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放对球” ，否则叫做“放错球” ，设放对球的个数为 .(1)求 的分布列；(2)求 的期望值23. 当 n1，nN *时，(1)求证：C 2
9、C x3C x2 (n1)C xn2 n(1x )n1 ；1n 2n 3n n 1n(2)求和：1 2C 2 2C 3 2C (n1) 2C n 2C .1n 2n 3n n 1n n苏锡常镇四市高三数学参考答案 第页( 共 4 页)苏锡常镇四市 2011 届高三调研测试(二)数学参考答案及评分标准 1. 2. 2,4,5,6 3. 2,5 4. 充分不必要 5. 6. 4 7. 101315 8. 5 049 9. 2 10. 11. 5,2 12. (0， ) 13. 14. 4( 65，0) 2 3215. 解：(1)设 ADx ，则 32x 2252x5 ，(3 分 )35即 x26x
10、70.(4 分)解得：x7 或 x1.则 AD7.(6 分)(2)在ADC 中，由 cosDAC ，35得 sinDACsinDAB .(8 分)45 ，sin ADC ，(10 分)5sin ADC 4245 22 ADAC， ADC 为锐角，ADC ，ADB .(11 分)4 34 cosB cos cos (12 分)( 34 BAD) (4 BAD) .(14 分)2235 2245 721016. (1)证明： ABAC，D 为 BC 中点，又 E 为 AB 的中点，连结 CE 交 AD 于 O，连结 FO，易知 ，COCE CFCC1 23故 FOC 1E.(2 分)又 FO平面
11、AFD，C 1E平面 AFD，(4 分)故 C1E平面 AFD.(5 分)(2)解：在平面 C1CBB1 内，过 C 作 CGDF，交 B1B 于 G，在 Rt FCD 和 RtCBG 中，FCCB，CFDBCG，故 Rt FCD RtCBG.(6 分 )而 ADBC，CC 1AD 且 CC1CB C，故 AD平面 C1CBB1.(8 分)而 CG平面 C1CBB1，故 ADCG.又 CGDF，ADFDD，故 CG平面 ADF.此时 BGCDa.(10 分)(3)解： AD平面 BCC1B1， VDAB 1FVAB 1DF SB 1DFAD(12 分)13 B1FFDAD .(14 分)13
12、12 52a3317. 解：设 ABBCl km，船在 AB 段、BC 段静水中的速度分别为 v1 km/h、 v2 km/h，所用时间分别为 t1 h、t 2 h，比例系数为 k，耗油量分别为 S1、S 2，总耗油量为 S，其中 k、l 为常数， v13，v 2 0.(1)t1 ，t 2 ，则lv1 3 lv2 3S1kv t1kv kl ，(1 分)21 21lv1 3 v21v1 3S2kv t2kv kl ，(2 分)2 2lv2 3 v2v2 3显然 S20，当 v20 时，(S 2)min0；(3 分)S1kl kl kl (4 分)v21v1 3 v1 32 6v1 3 9v1
13、3 v1 3 9v1 3 6kl2 6 12kl.(5 分)9当且仅当 v13 ，v 16 时，(S 1)min12kl.此时 S 最小(6 分)9v1 3答：AB 段的静水船速为 6 km/h， BC 段的静水船速为 0 km/h 时，总耗油量最小(7 分)(2)如果船的静水速度保持不变，设 v1v 2v3，S(v)S 1S 2k v2t1kv 2t2kv 2 kv 2 2kl ，(10 分)lv 3 lv 3 v3v2 9 S(v) 2kl 2klv 2 .(12 分)3v2v2 9 v32vv2 92 v 33v 33v2 92当 3v3 时，S(v)0；当 v3 时，S(v) 0.3
14、3当 v3 时，S(v)取得最小值(13 分)3答：船静水速度为 3 km/h 时，总耗油量最小(14 分)318. (1)证明：设椭圆方程为 1(ab0) ，则 A(0，b)，B(0 ，b)，T .(1x2a2 y2b2 (a2c，0)分)AT： 1， BF： 1，(3 分)xa2c yb xc y b解得：交点 C ，代入得(4 分)(2a2ca2 c2， b3a2 c2) 1，(5 分)( 2a2ca2 c2)2a2( b3a2 c2)2b2 4a2c2a2 c22a2 c22满足式，则 C 点在椭圆上， A、C 、T 三点共线(6 分)(2)解：过 C 作 CEx 轴，垂足为 E，OB
15、FECF. 3 ， CE b，EF c，则 C ，代入得 (7 分)BF FC 13 13 (4c3，b3) 1， a 22c 2，b 2c 2.(43c)2a2(b3)2b2设 P(x0，y 0)，则 x02y 2c 2.(8 分)20此时 C ， AC c，S ABC 2c c2，(9 分)(4c3，c3) 235 12 4c3 43直线 AC 的方程为 x2y2c0，P 到直线 AC 的距离为 d ，|x0 2y0 2c|5 x0 2y0 2c5SAPC dAC c c.(10 分)12 12x0 2y0 2c5 235 x0 2y0 2c3只需求 x02y 0 的最大值，方法 1 (x
16、 02y 0)2x 4y 22x 0y0x 4y 2( x y )(11 分)20 20 20 20 20 203(x 2y ) 6c2，20 20 x 02y 0 c.(12 分)6当且仅当 x0y 0 c 时，( x02y 0)max c.(13 分)63 6方法 2令 x02y 0t，代入 x22y 2c 2 得20(t2y 0)22y 2c 20，20即 6y 4ty 0t 22c 20.(11 分)20 (4t) 224( t22c 2)0，得 t c.(12 分)6当 t c，代入原方程解得：x 0y 0 c.(13 分)663 四边形的面积最大值为 c2 c2 c2 ，(14 分
17、)6 23 43 6 23 6 23 c 21，a 22，b 21，(15 分)此时椭圆方程为 y 21.P 点坐标为 .(16 分)x22 ( 63，63)19. 解：设 yf( x)，(1)a1 时，f(x) | x|，(1 分)x 1当 x(0,1时，f(x ) x 为增函数，y 的取值范围为(1,1 (2 分)x 1 2当 x1,0时，f( x) x ，令 t ，0t 1，(3 分)x 1 x 1则 xt 21，y 2 ，0t1，(5 分)(t 12) 54y 的取值范围为 .1，54 1 ，(7 分)54 2 x1,1时，函数 f(x)的值域为1,1 (8 分)2(2)令 t ，则
18、xt 2a，t 0，yg( t)ta|t 2a|.(9 分)x aa0 时，f(x ) 无单调减区间；(10 分)xa0 时，yg( t)at 2ta 2，t 在 上 g(t)是减函数，则 x 在 上 f(x)是减函数( 12a， ) ( 14a2 a， ) a0 不成立(11 分)a0 时，yg( t)Error!(12 分)仅当 时，即 a2 时，12a a 23在 t 时， g(t)是减函数，即 x 时，f (x)是减函数(13 分)(12a，a) ( 14a2 a，0) nma ，即 (a2)(16a 2a2) 0. a2.(15 分)14a2 3116故 a 的取值范围是(2 ，2(
19、16 分)2320. 证明：(1)a n1 a n (n2)(1 分)2 an 2 an 1an an 12 an 2 an 1上式表明，a n1 a n与 ana n1 同号，(2 分) a n1 a n，a na n1 ，a n1 a a2 ，a 2a 1 同号，(3 分) a 2a2(a2)( a1)0， a 2a2， a 2 a，a 2a 10.(4 分)a 2 a n1 a n0，a n1 a n.(5 分)(2)an1 b n1 ，(6 分)1bn 1 2 an 2 bn 1bnb b n ，b b 10，注意到 bn1，(7 分)2n 11b 2n 1 1bn 4n 1 (bn
20、1bn) 2n 1方法 1 b b n；2n 1bn 1bn (bn 1bn)2 42bn 1bn |bn 1bn|2 2bn2或 b 1( 舍去)(8 分)2n 1bn 1bn (bn 1bn)2 42bn 1bn |bn 1bn|22bn2 1bn方法 2b b n 0，则 b b n 0.(7 分)2n 11b 2n 1 1bn 2n 1 bn b 2n 1b 2n 1bn (b b n) 0. b n1， b b n.(8 分)2n 1 (1 1b 2n 1bn) 2n 1方法 3f(x)x (x1)，f(x)1 0.(7 分)1x 1x2 f(x )在 x1 时为增函数，而 f(b
21、)f(b n)2n 1 b b n.(8 分)2n 1 2lgb n1 lgb n， ，lgbn 1lgbn 12 数列lgb n是等比数列 (9 分)当 a1b 1 ，b 1 ，lgb 1lg ，1b1 322 2 2lgbn n1 lg nlg2.(12) 2 (12)bn2 n，(10 分)(12)anb n 2 n2 n.(11 分)1bn (12) (12)(3) 当 n2 时，a n2 2 .2 an 1an 1 22 an 1 2上式表明：a n2 与 an1 2 同号对一切 n2 成立， a n2，a n1 2，a n2 2，a 22，a 12 同号而 a120， a n20，
22、 a n2.(12 分) n2 时，a n2 ，an 1 22 an 1 2 an 1 22 2 2 an 1 24 .(13 分)an 2an 1 2 14则 n1 .an 2an 1 2an 1 2an 2 2 a3 2a2 2a2 2a1 2 (14) a n2(a 12) n1 .(14 分)(14)当 a12 011，n12 时，a 122 ，(15 分)2 009222 211222 1211 12 011 a 122 ，又 an2，且 ana n1 .12 011 当 n12 时，2a n2 恒成立(16 分)12 011苏锡常镇四市高三数学附加题参考答案 第页(共 1 页)苏锡
23、常镇四市 2011 届高三调研测试(二)数学附加题参考答案及评分标准 21A：解：如图，在 RtABC 中，AB2BC，因此ABC60，(2 分)由于 l 为过 C 的切线，DCACBA ，(4 分)所以DCA60.(5 分)又 ADDC，得DAC30.(6 分)那么在AOE 中，从而EAODACCAB60，OE OA，(8 分)于是 AEAO AB2.(10 分)12B：解：设 P(x，y )是圆 C：x 2y 24 上的任一点，设 P (x，y)是 P(x，y)在矩阵A 对应变换作用下新曲线上的对应点，2 00 1则 ，(3 分)xy 2 00 1xy 2xy即Error! 所以Error
24、!(6 分)将Error! 代入 x2y 24，得 y 24，(8 分)x 24故曲线方程为 1.(10 分)x216 y24C：解：方法 1由 1，得 x2y 21.(2 分)又 2sin， 22sin， x 2y 22y0.(4 分)由Error! 得 A ，B ，(8 分)(32，12) ( 32，12)则 AB .(10 分)3方法 2由 1，2sin 得 2sin1，(3 分) 或 .(5 分)6 56 A，B 的极坐标为 A ，B .(7 分)(1，6) (1，56)在AOB 中，OA OB1， AOB ，(8 分)23 AB .(10 分)3D：证明：由柯西不等式可得 cos2
25、sin2a b( cos)2 ( sin)2 (cos2sin 2) (6 分)a b12 12(acos 2bsin 2) .(10 分)12 c22：解：(1) 的分布列如下所示：(5 分) 0 1 2 3P 13 12 0 16(2)E0 1 203 1.(10 分)13 12 1623：(1)证明：设 f(x)(1 x )nC C xC x2C xn1 C xn，(2 分)0n 1n 2n n 1n n式两边求导得n(1x) n1 C 2C x3C x2(n1)C xn2 nC xn1 .(4 分)1n 2n 3n n 1n n(2)解：两边同乘 x 得nx(1x) n1 C x2C x23C x3( n1)C xn1 nC xn.(6 分)1n 2n 3n n 1n n式两边求导得：n(1x) n1 n(n1)x(1x) n2C 2 2C x3 2C x2 (n1) 2C xn2 n 2C xn1 .(8 分)1n 2n 3n n 1n n在中令 x1，则 12C 2 2C 3 2C (n1) 2C n 2C n2 n1 n(n1)1n 2n n3 n 1n n2n2 2 n2 (2nn 2n)2 n2 n(n1)(10 分)
