1、2016-2017 学年广西钦州市高新区高三（上）11 月月考数学试卷（文科）一、选择题1已知 f（x）为 R 上的可导函数，且x R，均有 f（x）f（x），则以下判断正确的是（ ）Af （2013）e 2013f（0 ）Bf （2013）e 2013f（0 ）C f（ 2013）=e 2013f（0 ）Df（2013 ）与 e2013f（0 ）大小无法确定2 dx 等于（ ）A B C D23定义在 R 上的函数 y=f（x），满足 f（1 x）=f （x ），（x ）f （x ）0，若x1 x2 且 x1+x21 ，则有（ ）Af （x 1） f（x 2） Bf（x 1）f（x 2） C
2、f（x 1）=f （x 2） D不能确定4若曲线 y=kx+lnx 在点（1，k）处的切线平行 x 轴，则 k=（ ）A 1 B1 C2 D25已知函数 f（x）的定义域为 R，f（1）=2，对任意 xR，f（x）2，则f（x）2x+4 的解集为（ ）A（1 ，1） B（1，+） C（ ，1） D（，+）6已知函数 f（x）= 下列命题：函数 f（x ）的图象关于原点对称； 函数 f（x ）是周期函数；当 x= 时，函数 f（x ）取最大值；函数 f（x ）的图象与函数 y= 的图象没有公共点其中正确命题的序号是（ ）A B C D7设 1x2，则 、 、 的大小关系是（ ）A BC D8设函
3、数 f（x）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x ），且有f（x）+xf（x）x，则不等式（x +2014）f（x+2014）+2f （ 2）0 的解集为（ ）A（，2012） B（ 2012，0） C（ ，2016） D（2016，0）9已知函数 f（x）=x 3+px2+qx 与 x 轴相切于 x0（x 00）点，且极小值为4，则p+q=（ ）A12 B15 C13 D1610已知函数 f（x ）=ax 3+bx2+cx+d 在 O，A 点处取到极值，其中 O 是坐标原点，A 在曲线 y=x2sinx+xcosx， x ， 上，则曲线 y=f（x ）的切线的斜率的最大值是（
4、）A B C D11若点 P（a，b）在函数 y=x2+3lnx 的图象上，点 Q（c ，d ）在函数 y=x+2 的图象上，则（ac） 2+（bd） 2 的最小值为（ ）A B2 C2 D812已知函数 f（x ）=x 2 的图象在点 A（x 1，f （x 1）与点 B（x 2，f（x 2）处的切线互相垂直，并交于点 P，则点 P 的坐标可能是（ ）A（ ，3） B（0， 4） C（2，3） D（1， ）二、填空题13G（x）表示函数 y=2cosx+3 的导数，在区间 上，随机取值a， G（a）1 的概率为 14函数 y= 在点（2， ）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则实数 a
5、的值为 15已知函数 f（x ）= x3+ax2+6x 的单调递减区间是 2，3，则实数 a= 16设曲线 y=xn+1（nN *）在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为xn，令 an=lgxn，则 a1+a2+a99 的值为 17若存在实常数 k 和 b，使得函数 f（x）和 g（x）对其定义域上的任意实数x 分别满足：f（x）kx+ b 和 g（x）kx +b，则称直线 l：y=kx+b 为 f（x ）和g（ x）的“隔离直线” 已知函数 f（x）=x 21 和函数 g（x）=2lnx ，那么函数f（x）和函数 g（x）的隔离直线方程为 三、解答题18（12 分）已知函数 f（x
6、 ）= ，a R 且 a0（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 a0 时，若 ，证明：19（12 分）已知函数 f（x ）=lnx ，其中 aR（）当 a=2 时，求函数 f（x）的图象在点（1，f （1）处的切线方程；（）如果对于任意 x（ 1，+），都有 f（x）x+2，求 a 的取值范围20（13 分）已知函数 f（x ）=a（x ） 2lnx（aR ）（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）设函数 g（x）= 若至少存在一个 x01， 4，使得 f（x 0）g （x 0）成立，求实数 a 的取值范围21（14 分）已知函数 f （x ）=lnx ，g（x）=2 （x0）（1）试判
7、断当 f（x）与 g（x ）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较 （1+12）（ 1+23）（1+20122013）与 e4021 的大小，并写出判断过程22（14 分）设函数 f（ x）=x 2+axlnx（aR ）（）若 a=1，求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）在区间（ 0，1上是减函数，求实数 a 的取值范围；（）过坐标原点 O 作曲线 y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为 12016-2017 学年广西钦州市高新区高三（上）11 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、
8、选择题1已知 f（x）为 R 上的可导函数，且x R，均有 f（x）f（x），则以下判断正确的是（ ）Af （2013）e 2013f（0 ）Bf （2013）e 2013f（0 ）C f（ 2013）=e 2013f（0 ）Df（2013 ）与 e2013f（0 ）大小无法确定【考点】导数的运算【分析】设函数 h（x）= ，求得 h（x）0，可得 h（x）在 R 上单调递减，可得 h（2013 ）h（0 ），再进一步化简，可得结论【解答】解：设函数 h（x）= ，xR，均有 f（x）f（x），则 h（x）= 0，h（x）在 R 上单调递减，h（2013）h（0），即 ，即 f（ 2013）
9、e2013f（0），故选：B【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较两个函数值的大小，属于基础题2 dx 等于（ ）A B C D2【考点】定积分【分析】利用积分的几何意义，再利用面积公式可得结论【解答】解： dx 的几何意义是以（0，0）为圆心，1 为半径的单位圆在 x 轴上方部分（半圆）的面积 dx= =故选 B【点评】本题考查定积分的计算门课程利用几何意义求定积分，属于基础题3定义在 R 上的函数 y=f（x），满足 f（1 x）=f （x ），（x ）f （x ）0，若x1 x2 且 x1+x21 ，则有（ ）Af （x 1） f（x 2） Bf（x 1）f（
10、x 2） Cf（x 1）=f （x 2） D不能确定【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【分析】由题意可得函数 f（x ）关于直线 x= 对称，且当 x 时，f（x）0；当 x 时，f （x）0，即可得出函数 f（x）在区间上单调性分类讨论，与 ，即可得出【解答】解：定义在 R 上的函数 y=f（x），满足 f（1 x）=f（x），函数f（x）关于直线 x= 对称（x ）f （ x）0，当 x 时，f（x ）0，函数 f（x）在此区间上单调递增；当 x 时，f （x）0，函数 f（x）在此区间上单调递减若 ，函数 f（x）在区间 上单调递增，f （x 2）f（ x1）若 ，又 x
11、1+x21 ， ，f（x 2）f（1x 1）=f（x 1）综上可知：f（x 2）f （x 1）故选 A【点评】熟练掌握函数的轴对称性和利用导数研究函数的单调性是解题的关键4若曲线 y=kx+lnx 在点（1，k）处的切线平行 x 轴，则 k=（ ）A 1 B1 C2 D2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求出函数的导数，再由题意知在 1 处的导数值为 0，列出方程求出k 的值【解答】解：由题意得，y=k+ ，在点（1，k）处的切线平行于 x 轴，k+1=0，得 k=1，故选：A【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，是基础题5已知函数 f（x）的定义域为 R，f（1）=2，对任
12、意 xR，f（x）2，则f（x）2x+4 的解集为（ ）A（1 ，1） B（1，+） C（ ，1） D（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数 g（x）=f （x）2x 4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论【解答】解：设 g（x）=f （x）2x 4，则 g（x）=f（x）2，对任意 xR，f（x）2，对任意 xR，g（x） 0，即函数 g（x ）单调递增，f（ 1）=2，g （1）=f（ 1）+24=44=0，则函数 g（ x）单调递增，由 g（x ）g （1）=0 得 x1，即 f（x）2x+4 的解集为（1，+），故选：B【点评】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造
13、函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键6已知函数 f（x）= 下列命题：函数 f（x ）的图象关于原点对称； 函数 f（x ）是周期函数；当 x= 时，函数 f（x ）取最大值；函数 f（x ）的图象与函数 y= 的图象没有公共点其中正确命题的序号是（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】研究函数相应性质，逐一判断【解答】解：函数定义域为 R，且 f（ x）= f（x），即函数为奇函数，故正确；y=sinx 是周期函数，而 y=x2+1 不是周期函数，故 f（x ）不是周期函数，即错误；， ，故 不是最值，即错误；因为 ，当 x0 时， ，故，f（x）0；当 x0 时， ，故 ，
14、f（x ）0即函数 f（x）的图象与函数 y= 的图象没有公共点，正确故选：C【点评】本题考查了函数的奇偶性、周期性、最值与图象问题，属中档题，须逐一研究之7设 1x2，则 、 、 的大小关系是（ ）A BC D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】要判断大小关系，可以令 f（x ）=x lnx（1 x2），然后求导，判断f（x）的单调性，继而判断所给数的大小关系【解答】解：令 f（x）=xlnx（1x2），则 ，函数 y=f（x）（1x 2）为增函数，f（ x）f（ 1）=1 0，xlnx0 ， ，又 ， ，故选：A【点评】本题在于巧设函数，并求导，判断单调性，考查了灵活运用知识的能力8设
15、函数 f（x）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x ），且有f（x）+xf（x）x，则不等式（x +2014）f（x+2014）+2f （ 2）0 的解集为（ ）A（，2012） B（ 2012，0） C（ ，2016） D（2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：由 f（x）+xf（x ）x，x 0，即xf （x）x0，令 F（x）=xf（x ），则当 x0 时，F（x）0，即 F（x）在（，0）上是减函数，F（x+2014）=（x+2014）f（x +201
16、4），F（2）=（2）f（2），F（x+2014）F（2）0，F（x）在（，0）是减函数，由 F（x+2014）F（2）得，x+2014 2，即 x2016故选：C【点评】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键9已知函数 f（x）=x 3+px2+qx 与 x 轴相切于 x0（x 00）点，且极小值为4，则p+q=（ ）A12 B15 C13 D16【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】f（x）=x （x 2+px+q）由题意得：方程 x2+px+q=0 有两个相等实根 a，故可得 f（x ）=x （x x0）
17、 2=x32x0x2+x02x，再利用 y 极小值 =4，可求 x0=3，从而可求p，q 的值【解答】解：f（x）=x （ x2+px+q），由题意得：方程 x2+px+q=0 有两个相等实根 a，故可得 f（x ）=x （x x0） 2=x32x0x2+x02xf（x ）=3x 24x0x+x02=（xx 0）（3xx 0）令 f（x）=0，则 x=x0 或f（ x0）=04，f（ ）= 4于是 =4，x 0=3f（ x）=x 3+6x2+9xp=6，q=9 ，p+q=15故选：B【点评】本题以函数为载体，考查函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题10已知函数 f（x ）=ax 3+bx
18、2+cx+d 在 O，A 点处取到极值，其中 O 是坐标原点，A 在曲线 y=x2sinx+xcosx， x ， 上，则曲线 y=f（x ）的切线的斜率的最大值是（ ）A B C D【考点】利用导数研究函数的极值【分析】由函数 f（x）=ax 3+bx2+cx+d 在 O，A 点处取到极值，其中 O 是坐标原点，得到 d=0，f （0 ）=0，f（p）=0，得到 c=0，p= ，f（x）=3ax 23apx，再由 A 在曲线上，运用两角和的正弦，判断 a0，b0得到 f（x）f（ ）= （ psinp+cosp），再构造函数 g（x）=xsinx+cosx，运用导数求出最大值即可判断【解答】解
19、：函数 f（x ）=ax 3+bx2+cx+d 在 O，A 点处取到极值，其中 O 是坐标原点，f（ 0）=0，即 d=0，f（x ）=ax 3+bx2+cx，f（x ）=3ax 2+2bx+c，f（0 ） =0，f（p）=0，c=0，p= ，f（x ）=3ax 23apx，设 A（p，q），p ，q=p 2sinp+pcosp=p sin（p +），tan= 0，且1，（0， ），p+（ ），即 q0， f（p）f（0），即 f（x）分别在 x=0 和 x=p 处取极小值和极大值，则 a0，b0f（x）f（ ），q=f（p）=ap 3+bp2=p2sinp+pcosp，ap 2+bp= =p
20、sinp+cosp即 bp=3（psinp+cosp），f（ ）= = （psinp+cosp ），p ，令 g（ x）=xsinx+cosx，g（x）=xcosx，g（x）=0 ，x= ，g（ x）在 ）上递增，在（ ， ）上递减，故 g（x）在 x= 处取极大值，也为最大值，f（x）f（ ）= g（p ） = = 故选：A【点评】本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值、最值，同时考查构造函数求极值和最值，三角函数的化简，考查较强的运算能力和推理能力，是一道中档题11若点 P（a，b）在函数 y=x2+3lnx 的图象上，点 Q（c ，d ）在函数 y=x+2 的图象上，则（ac） 2+
21、（bd） 2 的最小值为（ ）A B2 C2 D8【考点】两点间距离公式的应用【分析】先求出与直线 y=x+2 平行且与曲线 y=x2+3lnx 相切的直线 y=x+m再求出此两条平行线之间的距离（的平方）即可得出【解答】解：设直线 y=x+m 与曲线 y=x2+3lnx 相切于 P（x 0，y 0），由函数 y=x2+3lnx， ，令 ，又 x0 0，解得 x0=1y 0=1+3ln1=1，可得切点 P（ 1，1）代入1=1+m ，解得 m=2可得与直线 y=x+2 平行且与曲线 y=x2+3lnx 相切的直线 y=x2而两条平行线 y=x+2 与 y=x2 的距离 d= =2 （a c）
22、2+（bd） 2 的最小值 = =8故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题12已知函数 f（x ）=x 2 的图象在点 A（x 1，f （x 1）与点 B（x 2，f（x 2）处的切线互相垂直，并交于点 P，则点 P 的坐标可能是（ ）A（ ，3） B（0， 4） C（2，3） D（1， ）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由已知函数解析式求得 A，B 的坐标，求出原函数的导函数，得到函数在 A，B 两点出的导数值，由图象在点 A（x 1，f（x 1）与点 B（x 2，f（x 2）处的切线互相
23、垂直得到 ，由点斜式写出过 A，B 两点的切线方程，通过整体运算求得 ，即 P 点纵坐标为 ，然后逐一核对四个选项可得答案【解答】解：由题意可知， （x 1x 2），由 f（x）=x 2，得 f（x）=2x，则过 A，B 两点的切线斜率 k1=2x1，k 2=2x2，又切线互相垂直，k 1k2=1，即 两条切线方程分别为 ，联立得（x 1x2）2x（x 1+x2）=0 ，2x（x 1+x2）=0 ，x= 代入 l1 得， ，结合已知选项可知，P 点坐标可能是 D故选：D【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值，考查了整体运算思想方法，是中
24、档题二、填空题13G（x）表示函数 y=2cosx+3 的导数，在区间 上，随机取值a， G（a）1 的概率为 【考点】几何概型【分析】先求出 G（x）的解析式，再根据所给的不等式解出 a 的范围，再结合几何概率模型的公式 P= 求出答案即可【解答】解：G（x）表示函数 y=2cosx+3 的导数G（x）=2sinxG（a）12sina1 而 x解得 x（ ， ），由几何概率模型的公式 P= 得P= =故答案为： 【点评】本题主要考查了几何概型的概率，解决此类问题的关键是熟练掌握关于三角不等式的求解与几何概率模型的公式，属于基础题14函数 y= 在点（2， ）处的切线与直线 ax+y+1=0
25、垂直，则实数 a 的值为 4 【考点】导数的几何意义；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】先利用导数求出函数在 x=2 处的导数，从而得到切线的斜率，再根据两直线垂直斜率乘积为1 建立等式，解之即可【解答】解：y=f （x ）=f（2）= 切线与直线 ax+y+1=0 垂直，（ ）（a）=1 解得 a=4故答案为：4【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及两直线垂直的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题15已知函数 f（x ）= x3+ax2+6x 的单调递减区间是 2，3，则实数 a= 【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由 f（x ）=x 2+2ax+6，判断知=4a 22
26、40，得 ，由函数 的单调递减区间是2，3，则 f（x）=x 2+2ax+6=0 的根为 2 和 3，则2a=2+3，得 a= 【解答】解：函数的导数为 f（x ）=x 2+2ax+6，判断知=4a 2240，得 ，由函数 的单调递减区间是2，3，则 f（x）=x 2+2ax+6=0 的根为 2 和 3，则2a=2 +3，得 a= ，故答案为： 【点评】本题考察了函数的单调性，二次函数的性质，是一道基础题16设曲线 y=xn+1（nN *）在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为xn，令 an=lgxn，则 a1+a2+a99 的值为 2 【考点】数列的求和【分析】欲判 x1x2xn
27、的值，只须求出切线与 x 轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：对 y=xn+1（nN *）求导得 y=（n+1）x n，令 x=1 得在点（1，1）处的切线的斜率 k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为 y1=k（x n1）=（n+1）（x n1），不妨设 y=0，则 x1x2x3xn= ，从而 a1+a2+a99=lg（x 1x2x3x99）=lg =2故答案为：2【点评】小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想属于基础题17若存在实常数
28、 k 和 b，使得函数 f（x）和 g（x）对其定义域上的任意实数x 分别满足：f（x）kx+ b 和 g（x）kx +b，则称直线 l：y=kx+b 为 f（x ）和g（ x）的“隔离直线” 已知函数 f（x）=x 21 和函数 g（x）=2lnx ，那么函数f（x）和函数 g（x）的隔离直线方程为 y=2x 2 【考点】函数的值【分析】求出函数的交点坐标，利用函数的导数求出切线方程即可得到结论【解答】解：作出函数 f（x ）=x 21 和函数 g（x）=2lnx 的图象，由图象可知，两个函数的交点坐标为（1，0），要使 f（ x）kx+b 和 g（ x）kx +b，则 y=kx+b，必须是
29、两个函数在（1，0）处的公共切线，即 k+b=0，解得 b=k，函数 f（x）=2x，即 k=f（1）=2，b=2，即隔离直线方程为 y=2x2，故答案为：y=2x 2【点评】本题主要考查函数的切线和导数之间的关系，根据隔离直线的定义，确定隔离直线是两个函数的公共切线是解决本题的关键三、解答题18（12 分）（2013沈阳二模）已知函数 f（x）= ，aR 且 a0（1）讨论函数 f（x）的单调性；（2）当 a0 时，若 ，证明：【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明【分析】（1）对 f（x）求导数，得 f（x）= ，再分 a 的正负讨论 a、a +a2 和 a2 的大小关系，即可得到
30、 f（x ）单调性的两种情况，得到函数f（x）的单调区间；（2）原不等式进行化简，等价变形得 f（x 2）（ ）x 2f（x 1）（）x 1因此转化为证明函数 h（x）=f （x）（ ）x 在区间（a 2+a，a 2a）内单调递减，而 h（x）= ，通过研究分子对应二次函数在区间a 2+a，a 2a上的取值，可得 h（x）0 在 xa2+a，a 2a上恒成立，因此 h（x）=f（ x） （ ）x 在区间（a 2+a，a 2a）内是减函数，从而得到原不等式成立【解答】解：（1）由题意，可得 f（x ）=x + = = （2 分）令 f（x）0，因为 xaa20 故（xa）（xa 2） 0当 a0
31、 时，因为 a+a2a 且 a+a2a 2，所以上不等式的解为（a+a 2，+），因此，此时函数 f（x）在（ a+a2，+）上单调递增当 a0 时，因为 aa +a2a 2，所以上不等式的解为（a 2，+），从而此时函数 f（x）在（ a2，+）上单调递增，同理此时 f（x）在（a +a2a 2）上单调递减（6 分）（2）要证原不等式成立，只须证明 f（x 2）f（x 1）（x 2x1）（ ），只须证明 f（x 2）（ ）x 2f（x 1）（ ）x 1因为 ，所以原不等式等价于函数 h（x）=f （x ） （ ）x 在区间（a 2+a，a 2a）内单调递减（8 分）由（1）知 h（x）=x
32、（ ）+ = ，因为 xaa20，所以考察函数 g（x）=x 2 + + a2，x a2+a，a 2a =a2 ，且 g（x ）图象的对称轴 x= a2+a，a 2a，g （x）g （a 2a）=0 （10 分）从而可得 h（x）0 在 xa2+a，a 2a上恒成立，所以函数 h（x）=f（x）（ ）x 在（a 2+a，a 2a）内单调递减从而可得原命题成立 （12 分）【点评】本题给出含有自然对数的基本初等函数，求函数的单调区间并依此证明不等式在给定条件下成立着重考查了基本初等函数的性质、利用导数研究函数的单调性和不等式的性质等知识，属于中档题19（12 分）（2014西城区一模）已知函数
33、f（ x）=lnx ，其中 aR（）当 a=2 时，求函数 f（x）的图象在点（1，f （1）处的切线方程；（）如果对于任意 x（ 1，+），都有 f（x）x+2，求 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率 k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程（）设 g（ x）=xlnx+x 22x，则 g（x ）a，只要求出 g（x）的最小值就可以【解答】解：（）由 ， ，k=f（1）=3，又f（ 1）=2，函数 f（x ）的图象在点（ 1，f（1）处的切线方程为 3xy5=0；（）由 f（x）x+2，得 ，即
34、 axlnx+x 22x，设函数 g（x ）=xlnx+x 22x，则 g（x）=lnx+2x1，x（1，+），lnx0，2x 10，当 x（1，+）时，g（x）=lnx+2x10，函数 g（x ）在 x（1，+）上单调递增，当 x（1，+）时，g （x ）g（1）= 1，对于任意 x（1 ，+），都有 f（x）x+2 成立，对于任意 x（1 ，+），都有 ag（x）成立，a 1【点评】导数再函数应用中，求切线方程就是求再某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题20（13 分）（2016 秋钦州月考）已知函数 f（ x）=a（x ）2lnx（a R）（1）求函数 f
35、（x）的单调区间；（2）设函数 g（x）= 若至少存在一个 x01， 4，使得 f（x 0）g （x 0）成立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论当 a0 时当 0a 1 时当a 1 时，从而得出函数的单调区间；【解答】解：（1）函数 f（x ）=a（x ）2lnx，其定义域为 x0f（x）=a（1+ ） = ，令 a（1+x 2）2x=ax 22x+a=0，=44a 20，解得：1a1x0，0a1 时 f（x）=0 有解，当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在定义域内单调递减；当 0a1 时，令 a
36、（1+x 2）2x=0，解得：x= ，x（0， ）时，f（x ）0，x （ ，+）时，f（x）0，当 a1 时，f（x）0，函数 f（x）在定义域内单调增，综上：当 a0 时，f（x）0，函数 f（x）在定义域内单调递减，当 0a1 时，x（0， ）时，函数 f（x ）单调递增；，x（ ，+）时，函数 f（x）单调递减；当 a1 时，函数 f（x ）在定义域内单调增（2）因为存在一个 x01，4使得 f（x 0）g （x 0），则 ax02lnx 0，等价于 a ，令 F（x）= ，等价于“ 当 x1，4时，aF（x） min”对 F（x）求导，得 F（x）= ，因为当 x1，e时，F（x ）
37、0，所以 F（x ）在1，e上单调递增当 xe，4时， F（x）0，所以 F（x ）在e ，4上单调递减所以 F（x） min=F（1）=0 ，因此 a0【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立” 问题往往转化为函数最值解决21（14 分）（2016 秋钦州月考）已知函数 f （x ）=lnx，g（x）=2 （x0）（1）试判断当 f（x）与 g（x ）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较 （1+12）（ 1+2
38、3）（1+20122013）与 e4021 的大小，并写出判断过程【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）利用作差法构造新函数，判断新函数在 x0 时取值情况判断f（x）g（x）的差与 0 的大小关系即可；（2）假设存在公切线，设出两个切点，分别求出切线，根据两条切线是相同的，列出方程求解进行判断即可；（3）（1+1 2）（1+2 3） （1+20122013）e 4021理由：由（1）可得lnx2 （x0），可令 x=1+n（n +1），可得 ln（1+n（n+1）2 2 =23（ ），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得到结论【解答】解：（1）证明：设 F（x）=f（x ）
39、g（x），则 F（x）= ，由 F（ x）=0，得 x=3，当 0x3 时，F（x ）0 ，当 x3 时 F（x）0，可得 F（x）在区间（0，3）单调递减，在区间（3，+）单调递增，所以 F（x）取得最小值为 F（3）=ln3 10，F（x）0，即 f（x） g（x ）；（2）假设曲线 f（x）与 g（x ）有公切线，切点分别为 P（x 0，lnx 0）和Q（ x1，2 ）因为 f（x）= ，g （x）= ，所以分别以 P（x 0，lnx 0）和 Q（x 1，2 ）为切线的切线方程为y= +lnx01，y= +2 令 ，即 2lnx1+ （3+ln3）=0 令 h（x）=2lnx 1+ （3
40、+ln3 ）所以由 h（x）= =0，得 x1=3显然，当 0x 13 时，h（x ）0，当 x13 时，h（x）0，所以 h（x） min=ln310，所以方程 2lnx1+ （3+ln3）=0 无解，故二者没有公切线所以曲线 y=f（x）和 y=g（x ）不存在公切线；（3）（1+1 2）（1+2 3） （1+20122013）e 4021理由：由（1）可得 lnx2 （x0），可令 x=1+n（ n+1），可得 ln（1+n（n +1）2 2=23（ ），则 ln（1+12）+ln（1+23）+ln （1+20122013）220123（1 + + ）=40243+ 4021即有（1+1
41、2）（1+23） （1+20122013）e 4021【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查直线方程的运用，以及构造法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题22（14 分）（2014石景山区一模）设函数 f（ x）=x 2+axlnx（a R）（）若 a=1，求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 f（x）在区间（ 0，1上是减函数，求实数 a 的取值范围；（）过坐标原点 O 作曲线 y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为 1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）判断导函数的正负性，求出原函数的单调区间；（）f（x ）在区间（0， 1
42、上是减函数，即 f（x）0 在（0，1上恒成立；（）设出切点，利用低斜率的两种表示，列出等式，再根据函数是单调函数，且存在零点，从而说明存在唯一零点【解答】解：（）当 a=1 时，f （x）=x 2+xlnx（x0），当 ，f（ x）的单调递减区间为 ，单调递增区间 （） ，f （x）在区间（0，1上是减函数，f（x ）0 对任意 x（0，1恒成立，即 对任意 x（0，1恒成立， 对任意 x（0，1恒成立，令 ，ag（x ） min，易知 g（x ）在（0，1单调递减，g（x） min=g（1）=1a 1（）设切点为 M（t，f（t）， ，切线的斜率 ，又切线过原点 ，即：t 2+atlnt=2t2+at1，t 21+lnt=0，令 g（ t）=t 21+lnt， ，g （t ）在（0，+）上单调递增，又 g（ 1）=0，所以方程 t21+lnt=0 有唯一解 t=1综上，切点的横坐标为 1【点评】本题是一道函数与导数性质的应用题，由恒成立，求式中参数的值，求切点与切线的问题，运用了方程，转化思想，属于常见题型
