1、第 十七 章 量子力学简介,微观粒子的状态由哪些因素决定？,与波函数的标准化条件有关,与其势函数有关,1. 玻尔理论的困难,17.1 .1 微观粒子的波粒二象性,17.1 微观粒子的波粒二象性和不确定关系,第17章 量子力学简介,玻尔量子理论成功地解释了原子的稳定性、大小及氢原子光谱的规律性.为人们认识微观世界和建立近代量子理论打下了基础.,玻尔理论是经典与量子的混合物，它保留了经典的确定性轨道，另一方面又假定量子化条件来限制电子的运动.它不能解释稍微复杂的问题，正是这些困难，迎来了物理学的大革命.,注意：实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波，它被称为“物质波”(matter wave)或“
2、德布罗意波” (de Broglie wave) .,德布罗意波波长的数量级,地球:,子弹:,宏观物质的德波罗意波长均太小，难以观察其波动特性.,电子:,质量 m0 = 9.110-31 kg ，加速电压为 U,U = 150 V = 1 U = 10000 V =0.122 ,1927年Davisson和Germer以电子射线代替x射线进行了镍单晶体的衍射实验.,3. 物质波的实验证明,由布拉格公式,固定=80 ，d=2.03 ， 改变电压U，方向上接受 到的光子数.,Thomson的电子衍射实验,例17-1. 求一动能为 13.6 eV 的电子的德布罗意波波长.,解：因为,所以,由于微观粒
3、子具有波粒二象性，用经典概念(坐标、动量、能量、轨道等)描述其状态会受到限制.,17.1.2 不确定关系 (uncertainty relation),其中x为缝宽, p为粒子的动量.,由单缝衍射公式:,粒子动量在x方向的分量px不再为零，而存在一个分布.,以衍射极小值的的位置进行估算：,或,严格推导可以证明：在平均意义上,海森伯不确定关系,其中x为缝宽, p为粒子的动量.,由单缝衍射公式:,粒子动量在x方向的分量px不再为零，而存在一个分布.,继续分析可得,结论：对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述.,1) 不确定关系是微观粒子波粒二象性的必然结果.,2) 不确定性不是实验误差，而
4、是量子系统的内禀性质.它通过与实验装置的相互作用而表现出来.,3) 不能同时准确确定位置和动量.,4) 作用量子 h 给出了宏观与微观的界限.,例17-2. 试比较电子和质量为10 g的子弹位置的不确定量，假设它们在x方向都以速度200 m/s运动，速度的不确定度在0.01%内.,电子:,解：,子弹:,17.2.1 概率波,17.2 波函数及其统计解释,波包说夸大了波动性一面，抹杀了粒子性一面.,电子衍射,类 比,4. 波函数 (wave function),时刻t粒子出现在 附近dV体积内的概率为：,波函数必须满足的条件:,结论：波函数在某一点的强度和该点找到电子的概率成正比，它是大量粒子形
5、成总分布的一种统计规律.波函数乃是概率波.,单色平面简谐波波动方程为：,单色平面简谐波波动方程为：,用复指数形式表示：,一维方向运动的自由粒子的波函数：,( x)只与坐标有关而与时间无关，称为振幅函数，通常也称为波函数,波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以概率波(概率密度波)的形式描述粒子的运动状态.,17.2.2 态叠加原理(principle of superposition of states)：,为了理解态叠加原理的深刻含义，用电子的双缝干涉实验的结果来进行分析:,任一点出现的概率密度:,干涉项,Erwin Schrdinger，奥地利理论物理学家.在德布罗意物质波思想的基础上，引入波
6、函数来描述微观客体，提出了薛定谔方程(Schrdinger equation)作为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律 ，并建立了微扰的量子理论量子力学的近似方法.他是量子力学的创始人之一.,17.3 薛定谔方程,一、薛定谔方程的引入,1.一唯自由粒子的波函数：,一维自由粒子的薛定谔方程,2.一微粒子在外保守力场中运动时具有势能V,3. 非自由粒子在三维空间中运动,引入拉普拉斯算符,4. 多粒子体系的薛定谔方程,二、定态 不含时间的薛定谔方程,在薛定谔方程中，V通常也是时间的函数.现考虑V不显含时间的情况：,可令粒子的波函数为：,含时间的薛定谔方程是量子力学的重要假设和基本方程.此
7、方程是线性的，其解满足叠加原理.,要使该式恒成立，左右两边必须同等一个常数E.,薛定谔方程的解为,定态薛定谔方程 (stationary Schrdinger equation), 定态波函数 (stationary wave function),分离变量可得,可令粒子的波函数为：,定态波函数描述的粒子具有的性质：,3)波函数的单值、有限、连续的要求，能量E只能取某些分立值能级或能带;,17.4.1一维无限深方势阱(Infinite potential well)问题,1. 势函数,2. 定态薛定谔方程,17.4 一维定态问题,(1)阱内方程：,令:,因势阱壁无限高，粒子不能穿透阱壁，故阱外出
8、现粒子的几率为零.,C和D是待定常数,通解：,因势阱壁无限高，粒子不能穿透阱壁，故阱外出现粒子的几率为零.,C和D是待定常数,通解：,(2) 由波函数自然条件和 边界条件定特解,波函数连续：,* 最低能量：基态能量(零点能，zeropoint energy)波动性的表现;,* 相邻两能级间隔,n增大，相邻两能级间隔增大；a增大(宏观尺度)则 ， 能量连续变化经典情况；反之，出现量子尺寸效应.,由归一化条件：,由归一化条件：,一维无限深势阱的能量本征函数,在坐标x处找到粒子的概率密度,在x1x2区间内找到粒子的概率,n 0，否则 0； 主量子数n， 代表同一状态，取正值； 一个n对应一个波函数n
9、，即对于粒子的一个可能态一个“轨道”.,例17-3. 设在一维无限深方势阱中，运动粒子的状态用,描述，求粒子能量的可能值及相应的概率.,解：已知无限深方势阱中粒子的本征函数和能量本征值为,将波函数用本征波函数展开,1) 能量的可能值,2) 相应的概率,17.4.2 隧道效应,1. 一维方势垒 (potential barrier),2. 定态薛定谔方程,隧道效应： 粒子穿透势垒的现象.,II 区 ：,4. 隧道效应(tunnel effect),穿透势垒的概率,4. 隧道效应(tunnel effect),穿透势垒的概率,根据波函数的连续性,可见：势垒厚度a 越大，粒子通过的概率越小；势垒高度
10、V0超过粒子能量E越大，粒子穿透势垒的概率越小.,5. 扫描隧道显微镜 ( Scanning tunneling microscopy，STM),Omicron 低温超高真空STM,1981年，第一台扫描隧道显微镜诞生. STM是根据电子穿过表面势垒的隧道效应制成的.它利用针尖扫描样品表面，通过隧 道电流(tunnel current)获得样品表面的图像.,硅表面硅原子的排列,砷化镓表面砷原子的排列,48个Fe原子围成一个平均半径为7.13 nm的圆圈“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,通过移走原子构成的图形,17.4.3 一维谐振子 (linear harmonic oscillator)
11、,2. 定态薛定谔方程,(1) 能量本征值,能量量子化能量间隔 最低能量(零点能),17.5 原子中的电子 原子的壳层结构,17.5.1 氢原子中电子的波函数及其概率分布,(2)球坐标下的定态薛定谔方程,(3)分离变量法求解定态方程,将,代入方程，得,2. 三个量子数,1) 能量量子化和主量子数(principle quantum number),能量是量子化的；当主量子数n 时，En连续值.,2) 角动量量子化和角量子数(orbital quantum number ),3)角动量的空间量子化和磁量子数(Magnetic quantum number ),轨道角动量空间“量子化”示意图,1)
12、电子状态:,简并度(degeneracy):,2)能级简并： 一个能级对应一个以上状态(波函数).,对于同一L，它在z 方向的投影可以取2l+1个值，因此L与z方向的夹角 也只可能是2l+1个确定值； L在空间的取向是量子化的.,4). 氢原子中电子的概率分布,电子在氢原子内部各点出现的概率:,最概然半径(most propable radius)概率取极大值的位置.,氢原子基态(1s)的最可几半径为a0 = 0.0529 nm.,概率的角分布,氢原子的电子云,p电子的几率角分布,1. 电子自旋提出的实验基础,17.5.2 电子的自旋 施特恩-盖拉赫实验,斯特恩盖拉赫实验（1921）,用s态（
13、l=0）银原子无论有无磁场都只有一条！,？,实验结果：有磁场时，底板上是呈对称分布的两条纹.,1925年Uhlenbeck和Goudsmit提出电子自旋(electron spin) .,2. 电子自旋,自旋角动量S 在外磁场方向（设为z 方向）上的分量,17.5.3 泡利原理 多电子原子的壳层结构,1. 描述原子中电子状态的四个量子数,2. 泡利不相容原理(Pauli exclusion principle),在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子处在完全相同的量子态，即不可能具有完全相同的四个量子数(n，l，ml，ms).,原子的壳层结构:,同一能级电子占据的最大数,主量子数n: n
14、=1 , 2, 3, 轨道角量子数l: l = 0, 1, 2, , (n-1) 轨道磁量子数ml: ml = 0, 1, 2, , l 自旋磁量子数ms: ms = 1/2,1)n = 1, 2, 3, 4, 壳层(shell)用K, L, M, N, 表示； 2)l = 0, 1, 2, 3, , n支壳层(subshell)用s, p, d, f, 表示.,原子的外层电子的 n+0.7l 越大，能级越高.,徐光宪 1920-,原子的外层电子的 n+0.7l 越大，能级越高.,电子填充次序：,Hund规则,在同一亚层中排布的电子，总是尽先占据不同的轨道，且自旋方向相同.半满的开壳层p3、d5、f7的电子组态能量最低，最稳定.,17.5.4 元素周期表,
