1、第 1 页 共 16 页2018 届云南省昆明市高新技术开发区高考适应性月考数学（理）科试题一、单选题1已知集合 ，集合 ，则 中元素的个2103A， ， ， ， ， 2|3 BxyAB数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】 ， ，则23xyx1,0中元素的个数为 3 个.选 B.A2复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 的共轭复数等于（ ）z5iizA. B. C. D. i22i【答案】C【解析】 ， 3,3zizi， 的共轭复数为 ，选5210522iziiiiz2iC.3祖暅原理：“幂势既同，则积不容异 ”，它是中国古代一个涉及几何体体积问题，意思是两个等高的
2、几何体，如在同高处的截面积恒相等，则体积相等，设 为两个,AB等高的几何体， 的体积相等， 在同高处的截面积不恒相等，根据祖:,pAB:,qAB暅原理可知， 是 的（ ）qA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 的体积相等， 在同高处的截面积相等，由于 A、B 体积相:,pA:,qAB等，A、B 在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此 是 的必要不充分条件.选 B.p4 的展开式的常数项是（ ）52213xA. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C【解析】先求
3、出 展开式中 的系数， 521x2x，令 ，所以 5021 5rrr rrTC2,4r25Tx第 2 页 共 16 页， 展开式中常数项为-1，因此 的展开式的常数项是521x52213x，选 C.35已知双曲线 （ ）的一条渐近线方程为 ，且双曲线21xyab0,b32yx的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）247xA. B. C. D. 2143xy13y218y218xy【答案】A【解析】双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，焦点为 ，所以247yx7,0,设双曲线的方程为 ，化为 ， 7c 2()32143xy，则双曲线的方程为 .选 A.2437,1214xy6已知函数
4、 ，则下列结论正确的是（ ）sin2co6fxxA. 导函数为 3fB. 函数 的图象关于直线 对称fx2xC. 函数 在区间 上是增函数f,63D. 函数 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位长度得到fxsin2yx6【答案】C【解析】 313sin2cosin2cosin2sicos26fxxxxxx.因为 ，A 错31isi6 c6f误；B. 函数 的图象关于直线 对称错误，函数 的图象可由函数fx2xfx的图象向右平移 个单位长度得到3sin2y6第 3 页 共 16 页，D 错误； ， 3sin23sin26yxx63x23x， ，函数 在区间 上是增函数正确，选 C.f,7执行如
5、图所示的程序框图，如果输出的 的值为 4，则输入的 的值可以为（ ）naA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】运行程序 ，满足 ， ， 0,1PQnPQ01Pa， ，满足 ， ， ， 213Q1a237，满足 ， ， ， ，满足n2a2715n， ， ， ，不满足P23Q4，输出 ，需满足 ，验证四个选择支，选 C.Q4n231753a8已知单调递减的等比数列 满足： ，且 是 ， 的n248a32a4a等差中项，则 的前 6 项和为（ ）naA. 63 B. 64 C. 1 D. 126【答案】A【解析】 ， ，解得： 3234328aaq332aq或 ，由于等比数列 单调
6、递减，所以 ，则38,q318, na318,2第 4 页 共 16 页， ，选 A.132,aq6613214643S9已知直三棱柱 的 6 个顶点都在表面积为 的球 的球面上，若1ABC0O， ，则该三棱柱的体积为（ ）4AB3A. B. C. D. 832243【答案】D【解析】 ， ， 2=4105Srr球 224316cosA，01A,013sin4sin28422BCSA的外接圆半径 ，三棱柱的高为 ，三棱柱的A3siBC2516体积为 ，选 D.436210设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，过 的直线 交12,F2:1xyCab01Fl椭圆于 两点， 在 轴上的截距为 1，若
7、，且 轴，则此椭,ABl 13AFB2Ax圆的长轴长为（ ）A. B. 3 C. D. 6【答案】D【解析】 轴， 在 轴上的截距为 1，则 ， ，则2AFxly,2Ac13FB，5,3Bc， ， ， ， ， 241ab2419ab25419b26b2a， .选 D .236第 5 页 共 16 页11在等腰梯形 中，已知 ， ， ， ，ABCD/C2AB1C06AB动点 和 分别在线段 和 上，且 ， ，则EFE4DF的最小值为（ ）A. B. C. D. 29187185【答案】D【解析】以 A 为原点，以 AB 为 x 轴，以过点 A 垂直 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则
8、， ，设 ，根据0,3132,0,2BCD1,Ex， ， ，设 ， BEC112,xy11,xy2,Fy， ， ， ， 4DF234,02423111348AE，当 时， 取得最小值为 ，选 D.0AEF512设函数 在 上存在导函数 ，对于任意的实数 ，都有fxRfx x，当 时， ，若26f,0212fx，则实数 的取值范围是（ ）219mfmmA. B. C. D. 2,3,21,2,【答案】A【解析】 ，设 ，则2230fxfx23gxfx， 为奇函数，又 ， 在0gg16 gx上是减函数，从而在 上是减函数，又,R等价于2219fmfm，即233f，解得 ，故选 A,g3第 6 页
9、共 16 页二、填空题13已知实数 满足条件 ，则 的取值范围是 _,xy1 yx2zxy【答案】 3,【解析】画出二元一次不等式组所表示的可行域，目标函数为截距型，截距越大 越z大，得出 取最小值的最优解为 ， 的最小值为 3，则 的取值范围是z1,z2zxy.3,14数列 的首项为 3， 为等差数列且 （ ） ，若 ，nanb1nnba*N16b，则 _102b10【答案】21【解析】设等差数列 的公差为 ， ， nbd109612,bdd， 6218nb103243109.aaaa.293.61082b15已知棱长为 4 的正方体 ，球 与该正方体的各个面相切，则以1ABCDO平面 截此
10、球所得的截面为底面，以 为顶点的圆锥体积为_ 1ACB【答案】 6327【解析】平面 与平面 平行且把正方体的体对角线三等分，因此球心 到11DACO平面 的距离为 ，由于球的半径为 2，所以截面圆的半径1ACB2346，圆锥体积为 .223r163167【点睛】因为球与各面相切，所以直径 4，半径为 2，且 的中点在所求1,ACB、的截面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为 的正三角形的外接圆，由正弦定理知 ，所以面积 ，求出以 为顶点，以平面 截此球所得的263R83SO1截面为底面的圆锥体积第 7 页 共 16 页16已知三次函数 在 上单调递增，则 的最32afxbxcdR23abc
11、小值为_【答案】 862【解析】 , 三次函数 在fxabxc 32afxbxcd()ab上单调递增， 在 R 上恒成立，则 ， ， R0f20,2，令 ，222313233)bbaabcaa1bta则 .2163182tt【点睛】首先注意已知条件中 ，可知 ，其次函数单调递增，说明导数大于或ab1等于 0 恒成立，根据二次函数恒成立说明 a0,判别式小于或等于 0，削去 c，化简所求式子，转化为关于 的分式，换元后分离常数，利用基本不等式求出极值，注意符合“一正，二定，三相等”.三、解答题17在 中，角 所对的边分别是 ，已知 且ABC, ,abc3.3sinsinabaB（1）求角 的大小
12、；（2）若 ，求 的面积.4i5【答案】(1) ;(2) .608312【解析】试题分析：利用正弦定理进行角转边，然后再利用余弦定理求出角 C，已知两角及一角所对的边利用正弦定理解三角形，求出边 a，由 sinA 求出 cosA，利用三角形的内角和关系利用角 A、C 表示 sinB，借助两角和公式求出 sinB ，最后利用面积公式求出三角形的面积.试题解析：（）由 ，且3csinsinaAbaB，又根据正弦定理，得 ，c化简得， ，故 ，22aba221osbacC第 8 页 共 16 页所以 60C（）由 ， ， 得 ，3c4sin5AsinacC85a由 ，得 ，从而 ，a3co故 ，43
13、sinsinsi10BC所以 的面积为 A18i225SacB【点精】利用正弦定理和余弦定理及三角形面积公式解斜三角形是高考高频考点，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，已知两边及其夹角求第三边或已知三边求任意角使用于心定理，已知两角及任意边或已知两边及一边所对的角借三角形用正弦定理.18为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图） ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为1：2：3，其中第 2 小组的频数为 15.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员
14、的同学中（人数很多）任选三人，设 表示体重超过 65 公斤的学生人数，求 的分布列及数XX学期望.【答案】(1)60 人;(2)详见解析.【解析】试题分析：根据前 3 组的频率之比设出前 3 组的频率，根据频率分布直方图中的数据计算后两组的频率，根据频率和为 1，计算出各组的频率，利用第 2 组的频数为 15，计算总人数； 表示体重超过 65 公斤的学生人数，利用直方图求出体重超过 65 公斤的学生的频率，写出 X 的可取值，符合二项分布，根据二项分布数学期望公式求出数学期望.试题解析：（）设图中从左到右的前 3 个小组的频率分别为 23x， ， ，则 解得 ，230.7.15x， 0.15第
15、 2 小组的频数为 15，频率为 ，2.x该校报考飞行员的总人数为： （人） =6（）体重超过 65 公斤的学生的频率为 .372，第 9 页 共 16 页X 的可能取值为 0，1，2，3，且 ，134XB， ，037C46P21137C64P， ，12239X 3X 的分布列为：0 1 2 3由于 ， 134XB， 134EX【点睛】根据频率分布直方图频率和为 1，计算出各组的频率，利用第 2 组的频数为15，计算总人数；求随机变量 的分布列和数学期望问题，一般首先考虑随机变量的可取值，然后求出随机变量取每一个值时相应的概率，列出分布列，利用公式求出数学期望，如果符合二项分布，根据二项分布数
16、学期望公式求出数学期望.19如图所示，四棱锥 中， 平面 ， ， PABCDPABCD/ABC， ， 为线段 上一点， ， 3ABD4M2M为线段 上一点， .NCN（1）证明： 平面 ；/MNPAB（2）求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】(1)详见解析;(2) .16745【解析】试题分析：证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，进而说明线面平行；本题借助平行四边形可以得到线线平行，进而证明线面平行；第二步求线面角，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.试题解析：（）证明：由已知得 ，如图，取 上靠近 的四
17、等分点 ，连接13AMDBPT，ATN，第 10 页 共 16 页由 知 ， 3NCP/TBC14N又 ，故 平行且等于 ，四边形 为平行四边形，于是/ADAMNTM因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 P/PAB（）解：如图，取 的中点 ，连接 E由 得 ，从而 ，且BCBD2225CAEA以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz由题意知， ， ， ， ， 04P， ， 520B， ， 10M， ， 520C， ，51342N， ， ， PB， ， 01AM， ， 51342AN， ，设 为平面 的一个法向量，nxyz， ，则 即0 AN， 0 51342yx
18、z， ，可取 于是 ，3n， ，16745cosnPB，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 PBAMN745【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；求线面角有两种方法， 一是传统方法， “一作，二证，三求” ，如本题的解析，二是建立空间直角坐标系，借助空间向量，求法向量，利用公式求角.20已知椭圆 （ ）的一个焦点是 ， 为坐标原点，且2:1xyCab01,0FO第 11 页 共 16 页椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，过点 的直线交椭圆 于3,0HC点 .
19、,AB（1）求椭圆 的方程；C（2）设 为椭圆上一点，且满足 ，当 ，求实数 的POABtP3AB2t取值范围.【答案】(1) ;(2) .2143xy2083,4【解析】试题分析：根据 c=1,短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得出a,b，写出椭圆的方程，设 AB 的方程，联立方程组，代入整理，利用 设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于 ，解出 的范围 。32t试题解析：（）设 为短轴的两个三等分点，因为MNF 为正三角形，MN，所以 ， ， ，32OF3213b， 解 得 214ab因此，椭圆 C 的方程为 24
20、xy（）设 ， ， ， 的方程为 ，1Ay， 2B， Pxy， AB3ykx由 整理得 ，23 4kx， 22243610kk由 ，得228310k25，121226344kxx， ，12OABytxy， ，则 ，122 283434kkxt tt t，由点 在椭圆上，得 ，P222+1tktk化简得 ， 2364kt第 12 页 共 16 页因为 ，所以 ，3PAB213kx即 ，221143kx即 ，22263kk即 ，所以 ， 4296590k28374k即 ，因为 ，2837226tk所以 ，22267943ktk所以 ，即 的取值范围为 208tt20834，【点睛】根据题找出 a,
21、b,c 的关系，解方程组得出 a,b，写出椭圆的方程，根据直线的要求设 AB 的方程，联立方程组，代入整理，利用设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于 ，3解出 的范围 。2t21已知函数 （ ）.1lnfxaR（1）讨论 的单调性；（2）证明： （ ， ）.4221ln1lnn 2n*N【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：首先注意函数的定义域，对函数求导，讨论 a 的情况，给出单调区间和单调性，借助 第一步的结论可知 ，令 为 1，2，.n，得到 个22ln1xxn不等式，再把这 n 个不等式相加，得出
22、的不等式右边需要利用放缩法和裂项相消法求和，最后利用柯西不等式证明出所要证明的不等式.试题解析：（）解： ，21(0)axfx当 时， ， 在 上单调递减0a0()f，当 时，由 ，得 ，fxa时， ， 在 上单调递减， 时， 10xa， 0ffx10， 1xa，第 13 页 共 16 页， 在 上单调递增 0fxfx1a，（）证明：要证 ，422 *1lnln2n nN ，即证 422 *31l1l ，由（）知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增afx0， 1， ，ln1fx1lnx， 22lnx ，2222l 2211ln1lnn 又 ，22+3 221111+2nnn ，2+31
23、2ln12ln由柯西不等式，22222ll1ln1ln 4222 3ln1lnll ，42231ll 422ln1+ln2*n nN ，【点睛】首先注意函数的定义域，对函数求导，讨论 a 的情况，给出单调区间和单调性，函数与不等式问题需要借助题目第一步函数单调性与最值的结论，与数列有关的不等式的证明，令 为 1，2，.n，得到 个不等式，再把这 n 个不等式相加，有时得出的x不等式需要利用放缩法和裂项相消法求和，22选修 4-4：坐标系与参数方程第 14 页 共 16 页在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方xOy1l 3 xtykt2l程为 （ 为参数） ，设
24、与 的交点为 ，当 变化时， 的轨迹为曲3 myk1l2PP线 .1C（1）写出 的普遍方程及参数方程；（2）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 的极坐标方程x 2C为 ， 为曲线 上的动点，求点 到 的距离的最小值.sin42Q1CQ2【答案】(1)详见解析;(2) .3【解析】试题分析：先把两条直线的参数方程化为普通方程，然后利用两条直线的方程削去参数 k，得出点 P 的轨迹方程，再把椭圆的直角坐标方程改为参数方程；把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，得到直线的方程，利用椭圆的参数方程巧设点 Q的坐标，写出点到直线的距离，利用三角函数求最值.试题解析：（）将参数方程转化
25、为一般方程，13lykx：，2：消 可得： k213xy即 的轨迹方程为 的普通方程为 P201C2103xy的参数方程为 （ 为参数 ） 1C3 sinxcoy， kZ，（）由曲线 ： 得： ，2i42sinco42即曲线 的直角坐标方程为： 2C80xy，由（）知曲线 与直线 无公共点，12C曲线 上的点 到直线 的距离为13cosinQ， xy第 15 页 共 16 页，2sin83|3cosi8|d所以当 时， 的最小值为 sin1d2【点睛】参数方程化为普通方程只需削去参数，然后利用两条直线的方程削去参数 k，得出点 P 的轨迹方程，利用椭圆的参数方程巧设点 Q 的坐标，这种利用参数
26、方程巧设点在圆或圆弧中很常用，写出点到直线的距离，利用三角函数求最值.23已知函数 ， .25fxax12gx（1）解不等式 ；4g（2）若存在 ，也存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.1xR2x12()fxa【答案】(1) ;(2) .5,36,4【解析】试题分析：解含有绝对值的不等式，比较简单的是含一个绝对值符号的，一般直接使用公式，还有不等式两边各含一个绝对值符号，一般用两边平方的方法解决，含两个或两个以上绝对值符号的不等式一般采用零点分区间讨论法，分情况讨论解第二步转化为 g(x)的最大值为 1 去解决.试题解析：（）由题意可得 031 xg， ， ， ，因为 ，由图象可得不等式的解为 ，4x53x所以不等式的解集为 |53x（）因为存在 ，也存在 ，使得 成立，1R212fxg所以 ，| | yfxygR， ，又 ，当且仅当255faxaa时等号成立.0x由（）知， ，所以 ，max1g1解得 ，64所以实数 的取值范围为 64，【点睛】根据绝对值的定义，去掉绝对值符号是解决绝对值问题的最基本策略，解含有绝对值的不等式，比较简单的是含一个绝对值符号的，一般直接使用公式，还有不等式两边各含一个绝对值符号，一般用两边平方的方法解决，含两个或两个以上绝对值第 16 页 共 16 页符号的不等式一般采用零点分区间讨论法，
