1、第 1 页 共 16 页2017 届湖北省部分重点中学届高三联考(一)数学（理）试题一、选择题1 为虚数单位，若 ，则 （ ）i izi3)(|zA B 2C D3【答案】A【解析】试题分析：由题意可得：，则 ，故选 A.iiiiz 2314233 1z【考点】复数的运算.2已知集合 ， ，则 中的元素个数05|2xA|xZBBA为（ ）A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】试题分析：由题意可得 ， ，则321xA2,10B，故 中的元素个数为 ，故选 B.2,10AB【考点】 （1）一元二次不等式的解；（2）集合的交集.3下列函数中既是奇函数，又在区间 内是增函数的为（ ）)2,0(A R
2、xy,sinB 且|lC xeyx,D R13【答案】C【解析】试题分析：A. 在 上没有单调性，该选项错误；xysin)2,0(B 是偶函数，该选项错误；C由 ，得xylnxef，该函数为奇函数；在 上为增函数，该选项正确；xfef )2,0(第 2 页 共 16 页D. 为非奇非偶函数，该选项错误故选 C13xy【考点】 （1）函数单调性的判断与证明；（2）函数的奇偶性.4设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则 （ nanS21m0mS31m）A3 B4 C5 D6【答案】C【解析】试题分析： ， ，所以公差21mSa31mSa， ，得 ，所以 ，11mad0212a解得 ，故选 C
3、5【考点】 （1）等差数列的性质；（2）等差数列的前 项和.n5设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）n, ,A若 ， ， ，则 nmB若 ， ， ，则/mn/C若 ， ， ，则 nD若 ， ， ，则/【答案】D【解析】试题分析：选项 A，若 ， ， ，则可能 ， ，mnnm/或 ， 异面，故 A 错误；选项 B，若 ， ， ，则 ，或 ，mn/异面，故 B 错误；选项 C，若 ， ， ，则 与 可能相交，也可n能平行，故 C 错误；选项 D，若 ， ，则 ，再由 可得 ，m/n/故 D 正确故选 D【考点】 （1）空间中直线与平面的位置关系；（2）命题真假的判断与
4、应用；（3）平面与平面之间的位置关系.6设等比数列 的公比为 ，则“ ”是“ 是递减”的（ ）naq10naA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：数列 是公比为 的等比数列，则“ ”，当naq10q时，“ 为递增数列”，又“ ”是“ 为递减数列”的既不充01an 10na分也不必要条件，故选：D.【考点】充要条件.第 3 页 共 16 页7某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A B 320316C D688【答案】A【解析】试题分析：由三视图知原几何体是一个棱长为
5、的正方体挖去一四棱锥得到2的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为 ，如图所示，该几何体的体积为1，故选 A32048123【考点】由三视图求面积、体积.8某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 原料 3 吨、 原料 2 吨；AB生产每吨乙产品要用 原料 1 吨、 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，AB每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 原料不超过 13 吨，原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是B（ ）A12 万元 B20 万元 C25 万元 D27 万元 【答案】D【解析】试题分析：设该企业生产甲产品为 吨，乙产品为 吨，则该企业可获
6、得利xy润为 ，且 ，联立 ，解得 ， ，由yxz3518320yx18323x4y图可知，最优解为 ， 的最大值为 （万元）故选 D4,Pz2745z第 4 页 共 16 页【考点】简单的线性规划.【方法点睛】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数 与直线截距z之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中在该题中先设该企业生产甲产品为 吨，乙产品为 吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，xy设 ，再利用 的几何意义求最值，只需求出直线 过可行域内的yz35z yxz35点时，从而得到 值即可9已知 ，函
7、数 在 上单调递减，则 的取值范围是0)4sin()xf ),2(（ ）A B 45,21 3,21C D 0(0(【答案】A【解析】试题分析： ， ， ，函数,2x04214，x在 上单调递减，周期 ，解得 ，)4sin()f ),2( 2T2的减区间满足： ，取x Zkxk,34，得 ，解之得 ，故选 A.0k234151【考点】三角函数的性质.【方法点睛】本题给出函数 的一个单调区间，求 的取值范围，着xAysin重考查了正弦函数的单调性和三角函数的图象变换等知识，属于基础题；根据题意，得函数的周期 ，解得 又因为 的减区间满足：2T2)4sin()xf，而题中 由Zkxk,342 ,2
8、1x此建立不等关系，解之即得实数 的取值范围10已知 是 所在平面内一点，若 ，则 与PABCBACAP3PC的面积的比为（ ）第 5 页 共 16 页A B 3121C D243【答案】A【解析】试题分析：在线段 上取 使 ，则 ，过 作直AAB32BAD32线 使 ，在 上取点 使 ，过 作 的平行线，过 作 的平行lB/lEC4lE线，设交点为 ，则由平行四边形法则可得 ，设 的高线为PPPC， 的高线 ，由三角形相似可得 ， 与 有公共的底hACk3:1khBA边 ， 与 的面积的比为 ，故选：A.【考点】平面向量基本定理及其意义.11如图所示，已知在一个 的二面角的棱上，有两个点 ，
9、 分别是60BA、 DC、在这个二面角的两个面内垂直于 的线段，且 ， ，ABcm4c6，则 的长为（ ）cmBD8CA B C D172412210【答案】A【解析】试题分析： ， ， ，AB0AB， 60DC120, ，BABDACA2222 故选：A6801cos860846 17【考点】与二面角有关的立体几何.第 6 页 共 16 页12已知函数 ，若 的图象与)20(1ln)(2xxf axfxg|)(|轴有 3 个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）xaA B )1,0(e),(eC Dln 213ln【答案】C【解析】试题分析： ，)0(1ln)(xxf， 的图象与 轴有 个不
10、同的交20,1ln2xxf afg|)(| x3点，函数 与函数 的图象有 个不同的交点；作函数 与函数fay3f的图象如下，图中 ， ，故此时直线 的斜率axy0,1Aln2，BAB；当直线 与 相切时，设切点为 ；3ln10lk 1lxf 1ln,x则 ，解得 ；此时直线 的斜率 ；结合图象可知，lxxexABek1；故选 Cea13ln【考点】根的存在性及根的个数判断.二、填空题第 7 页 共 16 页13将参数方程为 （ 为参数）化为普通方程为 .tyx512【答案】 032x【解析】试题分析：由 得 ，代入 化简可得t5112xty51，故答案为 .032yx 03y【考点】参数方程
11、化为普通方程.14所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥 中， 是 的中点，且 ，底面边长ABCSMSSBA，则其外接球的表面积为 .2AB【答案】 1【解析】试题分析：设 为 在底面 的投影，则 为等边三角形 的中心，OOC 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平SS面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，SBACBAMS平面 ， ， 平面 ，同理可证 平ACAM面 ， ， 两两垂直 ，B ， ， 设外接球球心为 ，则S22SN在 上 ，设外接球NO363AB32BO半径为 ，则 ， ， ，rrrS2N22N，解得 外接球的表面积 故答案为：2328
12、3134S1【考点】 （1）棱柱、棱锥、棱台的体积；（2）球的表面积和体积.【方法点睛】本题考查了正棱锥的结构特征，棱锥与外接球的关系，属于中档题设第 8 页 共 16 页棱锥的高为 ，则由正三角形中心的性质可得 ， ，于是SOOBACS平面 ，得 ，结合 可证 平面 ，同理得出 ，ACBACMSACSA， 两两垂直，从而求得侧棱长，外接球的球心 在直线 上，设N，则 ，利用勾股定理列方程解出 rNrr15已知定义在 上的奇函数 满足 ， ，则R)(xf )(23(xff3)2f.)63()1(ff【答案】【解析】试题分析：因为 为 上的奇函数，故 ，易得xfR2323xff，fxf23则 ，
13、即函数 是以 为周期的周期xffxff 23xf3函数，故 ， ，则213ffff 06ff，故答案为 .63【考点】 （1）函数的奇偶性与周期性；（2）函数的值.【方法点晴】本题考查了函数的奇偶性与周期性，函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用对于抽象函数中常出现的转化形式有：1、形如 ，得到函数的对称性，即对称轴为 ；2、形如xftf tx或 时，得到函数是以 为周期的周期函数.当奇偶ftxfxftf1t性与对称性结合时可得周期性等.16已知数列 的前 项和为 ，对任意的 ， 且nanS*N321)(naSnn恒成立，则实数 的取值范围是 . 0)(1pn p【答
14、案】 4,3【解析】试题分析：由 ，得 ；当 时，321)(naSnn 41a2n12131 nnnnn aSa若 为偶数，则 ， （ 为正奇数）；若 为奇数，则2na1n（ 为正偶数）函数111 232 nnnnna第 9 页 共 16 页（ 为正奇数）为减函数，最大值为 ，函数 （ 为12na 431anna213正偶数）为增函数，最小值为 若 恒成立，则412a0)(pnn，即 故答案为： 21p43p,【考点】数列递推式.【方法点晴】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题由数列递推式求出首项，写出 时2n的递推式，作差后对
15、 分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数n（ 为正奇数）为减函数，最大值为 ，函数 （ 为12na 431anna13正偶数）为增函数，最小值为 再由 恒成立求得实数412a0)(pnn的取值范围p三、解答题17已知 ， ， .4|a3|b61)2()(ba（1）求 与 的夹角 ；（2）若 ， ， ， ，且 与 交于点 ，OABOAC21BD3ACP求 .|P【答案】 （1） ；（2） .327|P【解析】试题分析：（1）将 展开，利用向量数量积的定义可61)()3(ba得其夹角；（2）由平面向量基本定理可得 ，对其平方结合（1）可得O24.|OP试题解析：（1） ， .61)2()3(
16、ba61|3|22ba又 ， ， ， .4|a|b7466b .23|cos又 ， .0（2） ，bxaODxAP3)1()1(，ybCyBO2第 10 页 共 16 页 ， ， ，21,yx )1(32,4xyxbaOP214 ， . 76| 22baOP7|【考点】 （1）向量的数量积；（2）平面向量基本定理；（2）向量的模长.18已知函数 ，将 的图象向左平)()cos(incs)( Rmxxf )(xfy移 个单位后得到 的图象，且 在区间 内的最大值为 . 4gygy4,02（1）求实数 的值；m（2）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，ABC, cba,1)3(Bca求 周长
17、 的取值范围. l【答案】 （1） ；（2） .)4,3【解析】试题分析：（1）先利用两角和公式和对函数解析式化简整理，根据图象的平移确定 的解析式，根据xgx的范围和三角函数的图象与性质确定 的最大值的解析式，求得 ；（2）根据第gm一问中函数的解析式确定 的值，进而利用余弦定理和基本不等式确定 的范围，最Bb后确定周长的范围试题解析：（1）由题设得 ，xxxf 1)4sin(12cossin)( ，mmxg )4i(14(2sin)( 当 时， ，4,03,x由已知得 ，即 时， ， .2821)(maxg1（2）由已知， 4sin()3(Bg在 中， ， ， ，即ABC0723432B，
18、3又 ，由余弦定理得：2ca，14)(3)(3)(os22222 caacacBb当且仅当 时等号成立，1c又 ， ， 周长2abABC),bl故 周长 的取值范围是 .ABCl)4,3【考点】 （1）三角函数图象变换；（2）余弦定理.第 11 页 共 16 页19已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ， 为nanS21a8243a1na等比数列.（1）求证： 是等差数列；2n（2）求证： .S【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用 ， ， ， 为等比数列，21a8243a1na可得 ，从而 ，即可证明结论；（2）由于数列14nna1n的通项是一个等差数列与
19、等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的和即可试题解析：（1） ， ， ，21823a1124nna ， 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.2nan（2）由（1）可得 ， ，）（ nn nS232142 n由-得 ， ， .)1(nn *N2nS【考点】 （1）等比数列的性质；（2）等差关系的确定.【方法点晴】求数列的前 项和一般先求出通项，根据通项的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组法；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错nnbacnab 1
20、na位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.cnanb20如图，已知四棱锥 的底面 为菱形，且 ，ABCDP 60ABC， .2CAB2（1）求证：平面 平面 ；PABCD第 12 页 共 16 页（2）设 是 上的动点，求 与平面 所成最大角的正切值； HPBCHPAB（3）求二面角 的余弦值.A【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3） .6721【解析】试题分析：（1）取 中点 ，连结 、 ，由 可得OCPBA，利用特殊三角形的性质计算 ， ， ，可证 ，于是BPOPOC平面 ，故平面 平面 ；（2）由面面垂直的性质可知ACDABD为 与平面 所成的角，故当 最小值， 取得
21、最大HPHHtan值；（3）以 中点为原点，建立空间直角坐标系，求出面 的法向量为，得到面 的法向量为 ，求出法向量的夹角即可得到二)1,(nBA)1,0(m面角.试题解析：（1）证明：取 中点 ，连结 ，OCP,由 ， ，知 为等腰直角三角形，2PBAAB ， ，O由 ， ，知 为等边三角形， ，C60603CO由 得 ， ，222PCO又 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面ABABPAB.D（2）解：如图，连结 ，由（1）知 ， ，OHC 平面 ， 为 与平面 所成的角.CPC在 中， ，要使 最大，只需 最小，Rt3tanHO而 的最小值即点 到 的距离，这时 ， ，OHPBPB2故当
22、最大时， ，即 与平面 所成最大角的正切值为C6tanCHOA.6第 13 页 共 16 页（3）解：如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，)0,1(A),3(C)1,0(P ， ，)0,1(AC)1,(AP设平面 的法向量为 ，zyxn则 ，取 ，则 ， ，即 ，03zyAPnx13x1z)1,3(n平面 的一个法向量为 ，设二面角 的大小为 ，易知其为BC),(mBACP锐角， .72131|,cos| n二面角 的余弦值为 .BACP72【考点】 （1）平面与平面垂直的判定；（2）直线与平面所成的角；（3）平面与平面所成的角.【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和
23、空间向量在立体几何中的应用，属于中档题解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线21设函数 .)0(1ln21)(bxxf（1）若函数 在定义域上是单调函数，求实数 的取值范围； （2）求函数 的极值点； )(xf（3）令 ， ，设 是曲线bxfg21)( ),(),(),(321yxCByA上相异三点，其中 .求证：)(xy 321.2312 )(xg【答案】 （1） ；（2） 时， 有唯一极小值点 ，),40b)(xf 241bx第 14 页 共 16
24、页时， 有一个极大值点 和一个极小值点410b)(xf 241bx， 时， 无极值点；（3）证明见解析.2x41b)(f【解析】试题分析：（1）根据题意，求导函数，要使 在 上为单调函数，xf,1只须在 上 或 恒成立，分类讨论，分离参数，即可求 的,0)(xf)(xf b取值范围；（2）在定义域内按当 时，当 时，当 时三种情b40b4况解不等式 ， ，根据极值点的定义即可求得；（3）利用分析法将xff所证转化为 ，令 （ ） ， ，对其求1ln212tx1211lnttp导根据其单调性得 ，得证.0pt试题解析：（1） ， 14)2(1)(2 xbxbf函数 在定义域上是单调函数， 或 在
25、 上恒成立.)(xf 0)(f)(f),1(若 恒成立，得 .0 4b若 恒成立，即 恒成立.)(xf 1)2(x 在 上没有最小值，不存在实数 使 恒成立.12,(b0)(xf综上所述，实数 的取值范围是 .b),4（2）由（1）知当 时，函数 无极值点.(xf当 时， 有两个不同解， ， ，4b0)(xf 2411b2412bx 时， ， ，即 ，02411b2x ),(1，),(2x 时， 在 上递减，在 上递增， 有惟一极小值点0b(xf),12),(2x)(xf；2412bx第 15 页 共 16 页当 时， .410b1241bx ， 在 上递增，在 上递减，在 上),(,21x0
26、(f),(1x),(21x),(2x递增，有一个极大值点 和一个极小值点 .)(f 241bx 42b综上所述， 时， 有唯一极小值点 ，0b)(f 1x时， 有一个极大值点 和一个极小值点410)(xf 24b；2bx时， 无极值点. 41b)(xf（3）先证： ，即证)()212xgg， 1ln)ln( 2122 xx即证 ，)()(l 2221 xx令 （ ） ， 1()lnptt ， 21()0ptt, tx12所以 ()ln1ptt在 , 上单调递增，即 ()p ,即有l0t, 所以获证.同理可证： ， )()(223xgxg所以 . 2312)(【考点】 （1）利用导数研究函数的单
27、调性；（2）利用导数研究函数的极值.22在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数） ，以 为极xOyCsinco1yxO点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.x（1）求圆 的极坐标方程；C第 16 页 共 16 页（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 ： 与圆 的交点l 3)sin(2OM3C为 ，与直线 的交点为 ，求线段 的长. PO, QP【答案】 （1） ；（2） .cos|【解析】试题分析：（1）把 代入圆 的参数方程为1sin2C（ 为参数），消去参数化为普通方程，把 ，sincyx cosx代入可得圆 C 的极坐标方程；（2）设 ，联立圆 ，解得 ， ),(1P1；设 ，联立直线 ，解得 ， ，可得 1),(2Ql2Q试题解析：（1）圆 的普通方程为 ，又 ，)1(yxcosx，siny圆 的极坐标方程为 .Ccos2（2）设 ，则由 解得 .),(1P331设 ，则由 解得 .),(2Q)cos(sin2 .|P【考点】 （1）参数方程化为普通方程；（2）简单曲线的极坐标方程.
