1、广西省陆川中学 2017 届高三下学期期中考试数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）|231Axsin|5xByABA B C D2,5,52, 2,52.复数 在眏射 下的象为 ，则 的原象为（ ）zf(2i)z1iA B C Di43i43i3. 已知向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）ab/abA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4. 甲、乙、丙.丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点.丁车
2、最后到达终点.若甲、乙两车的 图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是 （ ）stA丙在区域，丁在区域 B丙在区城，丁在区域C.丙在区域，丁在区域 D丙在区域，丁在区域5. 若 ，且 为第二象限角，则 的值等于（ ）5sin13tanA B C. D21255125126. 已知定义在 上的函数 ，记 ，则 的Rxf0.5log,log0.,.fbfcf,abc大小关系为（ ）A B C. Dabccabacb7. 执行如图的程序框图，那么输出 的值是（ ）SA B C. D112218.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）C,A,abc23,6,3bABA 或 B
3、 C. D46149.某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A B C. D2424202010. 如图，在三棱锥 中， ，若该三棱锥的四个顶DAC1,3BCDAB点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）A B C. D32424311. 已知点 是以 为焦点的椭圆 上一点，若P12,F210,xyab，则椭圆的离心率是（ ）12120,tan3FA B C. D6421043212. 若自然数 使得作竖式加法 均不产生进位现象，则称 为“开心数”.例如：n2nn是“开心数”.因 不产生进位现象； 不是“开心数”.因 产生进位现象，那323243345么，小于 的 “开心数”的
4、个数为（ ）10A B C. D910112第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值是 ,xy130xy2zxy14.已知 ，在函数 与 的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值0sinxcosyx为 ，则 215.已知函数 ，如果 成立，则实数 的取值范围32si,2fx120fafaa为 16.设圆 满足：(1)截 轴所得弦长为 ；（2）被 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 ，在满足条件Cyx3:1（1） 、 （2）的所有圆中，圆心到直线 的距离最小的圆的方程为 :0lxy三、解答题 （本大题
5、共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 中， 分别是角 的对边，有 .ABC,abc,ABC22bcab（1）求角 的大小；（2）若等差数列 中， ，设数列 的前 项和为 ，求证： .n152cos,9a1nanS132nS18. 某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色外卖份数 （份）与收入 （元）之间有如下xy的对应数据：外卖份数 （份）x24 568收入 （元）y30070（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）据此估计外卖份数为 份时，收入为多少元.12注：参考公式： , ； 112 2()()nni iiii iixyxyb
6、aybx参考数据： .555221114,30,380iiixyxy19. 如图，三棱柱 中， 平面 分别为 和 的中点， 是边1ABCB1,ADM1CAB1长为 的正三角形， .2（1）证明： 平面 ；/MDABC（2）求二面角 的余弦值.120. 设点 ，动圆 经过点 且和直线 相切，记动圆的圆心 的轨迹为曲线 . 0,4FF14yAC（1）求曲线 的方程；C（2）设曲线 上一点 的横坐标为 ，过 的直线交 于一点 ，交 轴于点 ，过点 作P0tPCQxMQ的垂线交 于另一点 ，若 是 的切线，求 的最小值.PQNMCt21. 已知函数 .21lnfxxa（1）若函数 存在单调递减区间，求
7、实数 的取值范围；（2）设 是函数 的两个极值点，若 ，求 的极大值.122,xfx72a12fxf请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的参数方程为xOyx l，曲线 的极坐标方程为 .3xtyC2cos（1）写出直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；l C（2）求直线 与曲线 的交点的直角坐标.23.选修 4-5：不等式选讲设函数 .2fxxaR（1）若 时，求不等式 的解集；a4f（2）若不等式 的解集为 ，求 的值.fx1,a广西省陆川中学
8、2017 届高三下学期期中考试数学（理）试题参考答案 一、选择题1-5: DABAD 6-10:DCCAD 11-12：CD二、填空题13. 14. 15. 1230,216. 或22xy21xy三、解答题17. 解：(1) ，又 .2222 1,cosbcabcaA0,3A(2)由（1）知 ，设等差数列 的公差为 ，1os13nd，59,2ad，11112, 22n nann.显然 为递减数列，故.3521nS 1为递增数列，故 的最小值为 ，故 .121nS13S2nS18. 解：(1)作出散点图如图所示：(2) ，已知 ，1124568,30465075xy552114,380iixxy
9、由公式 , ，可求得 ， ，因此回归直线112 2()()nni iiii iiyxxb aybx6.5a17.方程为 .y6.57x（3） 时， ，即外卖份数为 份时，收入大约为 元.126517.9.5x12919. 解：(1)取 的中点 ，连接 分别为 和 的中点，ABH,MCDC1AB，则四边形 是平行四边形，则11/,/,2HMBCDHMCDMH平面 平面 平面 .CDAB/ABAB(2)取 中点 为等边三角形， ，又 平面 平11,E1E1,/,DEBC面 ，建立以 为坐标原点， 分别为 轴的空间直角坐标系如图：AB1,D,xyz则 ，则设平面 的法向量为 ，10,1,0,12,3
10、0,3,0EBCAABC,nxyz，则 ，即 ，令 ，则 ，即,3,AnBCxyz13,0x，平面 的法向量为 ， ，则,10n1A,mxy1,30,2,AA，得 ，即 ，令 ，则 ，即 ，1mC302xyz3z,zx0,13m则，即二面角 的余弦值是 .2211cos, 43n 1ACB420. 解：(1)过点 作直线 垂直于直线 于点 ，由题意得 ，所以动点 的轨迹是ANyNFNA以 为焦点，直线 为准线的抛物线 .所以抛物线 得方程为 .F14yC2xy(2)由题意知，过点 的直线 斜率存在且不为 ，设其为 ，则 ，当2,PtQ0k2:PQltkxt，则 .联立方程 ，整理得： .20,
11、tkyx,0ktM2ytxt20t即 ，解得 或 ， ，而 ，所以直线 斜0kttxtt2,ktNNQ率为 ， ，联立方程 ，整理得：121:PQlyktkt21ytxktx，即22 0xttk，解得 ，或2 10,10kxtktkxtxkt1ktx. .xkt222 21, 1MNttt ktkNktkk 而抛物线在点 的切线斜率， ， 是抛物线的切线，y12tktxkMN，整理得 ，解得2212ktkt 22220,410ttt（舍去） ，或 .3tmin,3tt21. 解：(1) ,由题意知22111l, 0xafxxafxax在 上有解，即 有解， ，当且仅当 时等号成立，0fx,00
12、,要使 有解，只需要 的最小值小于 ，解得实数 的取值范围是1a1x1,2aa.|3(2) , 由题意知221 1ln, 10xfxxafxax在 上有解， ，设 ，又0f,02，则212127,14,2aaxax121122lnln1fxf ax 21 1212 12122 2lnlxxax，所以设 ，令1121112222lln,0xxx12,xt，则 ， 在 上单调递减，ln,htt2 thttht,， 由22221175 5,1,4 4xaaxt 1,t，得 ，故2417410tt1154,4ln42ln8tht的最大值为 .12fxf 152ln822. 解：(1)因为直线 的参数方
13、程为 ，代入 ，即l3,3xtyy3,3xtxy，所以直线 的直角坐标方程为 ，因为曲线 的极坐标方程为30xyl 0xC，即 .22cos,cos,xy22y(2) 曲线 的直角坐标方程为 ,解得 或 ，所以C22301,1xy32xy132直线 与曲线 的交点的直角坐标为 .l 33,2223. 解：（1） 时， 可化为 ，当 时， ；当 时，1a4fx14x1x3212x，无解；当 时， ，综上所述，不等式的解集为24x5,2或 .3|52（2）因为不等式 的解集为 ， 的一个根是 ， 或 .fx1,2xax10a2时，由 解得 ，符合题意， 时，由 ，解得 ，符合题0ax2x意，综上所述， 或 .0a2
