1、2015-2016 学年山东省德州市武城二中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题只有一个选项符合题意）1设集合 A=x|x|2，x R，B=y|y=x 2，1x2，则 R（AB）等于（ ）AR B （ ， 2）（0 +） C （ ，1）（2， +） D2若 ，则 f（x）的定义域为（ ）A B C D3已知 sin+cos= ， ，则 sincos 的值为（ ）A B C D4lgxlgy”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
2、A6 B2 C3 D36已知变量 x，y 满足 ，则 z=3x+y 的最大值为（ ）A4 B5 C6 D77设 l，m，n 表示不同的直线， 、 、 表示不同的平面，给出下列四个命题：若 ml，且 m，则 l ； 若 ml ，且 m ，则 l；若 =l，=m，=n，则 lm n；若 =m，=l，=n，且 n，则 lm 其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D48将函数 y=sin2x+ cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则| |的最小值为（ ）A B C D9已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x 2+2x，若 f（2 a2
3、）f （a） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） （2，+ ） B （ 2，1） C （ 1，2） D （，2）（1，+）10设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时恒有 f（x+2）=f（x） ，当 x0，2时，f（x）=e x1，则f=（ ）A1e Be 1 C 1e De+1二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分）11已知扇形的周长是 8，圆心角为 2，则扇形的弧长为 12一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为 2，则该梯形的面积为 13如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点
4、 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于 14若曲线 C1：y=3x 4ax36x2 与曲线 C2：y=e x 在 x=1 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为 15已知偶函数 f（x）满足 ，若在区间1，3内，函数 g（x）=f（x）log a（x+2）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）16已知| |=4，| |=2，且 与 夹角为 120求：（） （ 2 ） （ + ） ； （）| + |；（） 与 + 的夹角17已知 =（2 sin（2x+ ） ，2） ， =（1，sin 2x） ，f（x）= ， （x0， ）（1）求函数 f（x）的
5、值域；（2）设ABC 的内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，若 f（ ）=1，b=1，c= ，求 a 的值18一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c（）用卡片上的数字列出所有可能的结果；（）求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率19已知四棱锥 ABCDE，其中 AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面 ABC，BECD，F 为 AD 的中点（）求证：EF面 ABC；（）求证：平面 AD
6、E平面 ACD；（）求四棱锥 ABCDE 的体积20已知数列a n的前 n 项和是 Sn，a 1=3，且 an+1=2Sn+3，数列b n为等差数列，且公差d0，b 1+b2+b3=15（）求数列的通项公式；（）若 成等比数列，求数列 的前 n 项和 Tn21已知函数 f（x）=alnx+ +1（）当 a= 时，求 f（x）在区间 ，e上的最值；（）讨论函数 f（x）的单调性；（）当1a0 时，有 f（x）1+ ln（a）恒成立，求 a 的取值范围2015-2016 学年山东省德州市武城二中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括 10 小题，每小题 5 分，
7、共 50 分，每小题只有一个选项符合题意）1设集合 A=x|x|2，x R，B=y|y=x 2，1x2，则 R（AB）等于（ ）AR B （ ， 2）（0 +） C （ ，1）（2， +） D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据题意，解|x|2 可得集合 A，由 x 的范围结合二次函数的性质，可得 y 的取值范围，即可得集合 B；由交集的定义，可得 AB，进而由补集的定义，计算可得答案【解答】解：|x|22x 2，则集合 A=x|2x2= 2，2，对于 B，若1 x2，则4x 20，则有 B=y|4y0= 4，0，则 AB=2， 0，R（ AB）=（，2）（0，+） ；故选 B2若 ，则
8、 f（x）的定义域为（ ）A B C D【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域【分析】根据分式函数的分母不能为 0，再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义，可得不等式组，最后两个不等式的解集取交集可得答案【解答】解：根据题意有：解得： x 0，所以其定义域为：故选 C3已知 sin+cos= ， ，则 sincos 的值为（ ）A B C D【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由题意可得可得 1cos sin 0，2sin cos= ，再根据 sincos= ，计算求得结果【解答】解：由 sin+cos= ， ，可得 1cos sin0，1+2sincos= ，2sinco
9、s= sincos = = = ，故选：B4lgxlgy”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】对数函数的单调性与特殊点；充要条件【分析】通过解 lgxlg y 不等式化简命题；通过解二次根式不等式化简命题；先判断出谁是谁成立的什么条件【解答】解：lgxlg y，xy lgxlg y”是“ ”的充分条件反之不成立故选 A5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A6 B2 C3 D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图得出几何体是一个三棱柱，求出它的底面积与高，即得体积【解答】解：根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平
10、放的三棱柱；它的底面三角形的面积为 S 底面 = 2 = ，棱柱高为 h=3；棱柱的体积为 V 棱柱 =S 底面 h= 3=3 ；故选：D6已知变量 x，y 满足 ，则 z=3x+y 的最大值为（ ）A4 B5 C6 D7【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可【解答】 解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为 A（2，1） ， （1 ，0） ， （1，3） ，验证知在点 A（2，1）时取得最大值，当直线 z=3x+y 过点 A（2，1 ）时，z 最大是 7，故选 D
11、7设 l，m，n 表示不同的直线， 、 、 表示不同的平面，给出下列四个命题：若 ml，且 m，则 l ； 若 ml ，且 m ，则 l；若 =l，=m，=n，则 lm n；若 =m，=l，=n，且 n，则 lm 其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：由 l，m，n 表示不同的直线， 、 、 表示不同的平面，知：若 ml，且 m，则由直线与平面垂直的判定定理知 l ，故正确；若 ml，且 m，则 l 或 l，故错误；若 =l，=m，=n，则 l，m ，n 可能交于一点，故错误；若 =m
12、，=l，=n，且 n，则由 =n 知，n 且 n，由 n 及 n，=m ，得 nm，同理 nl，故 ml，故正确故选：B8将函数 y=sin2x+ cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则| |的最小值为（ ）A B C D【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出 的值【解答】解：函数 y=sin2x+ cos2x= ，将函数 y=sin2x+ cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到函数 ，函数
13、是偶函数， 当 k=0 时，= 故选：A9已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=x 2+2x，若 f（2 a2）f （a） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） （2，+ ） B （ 2，1） C （ 1，2） D （，2）（1，+）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由题意可先判断出 f（x）=x 2+2x=（x+1） 21 在（0，+）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（，0）上单调递增，从而可比较 2a2 与 a 的大小，解不等式可求 a 的范围【解答】解：f（x）=x 2+2x=（x+1） 21 在（0，+）上单调递增又f（x）
14、是定义在 R 上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（，0）上单调递增f（x）在 R 上单调递增f（2 a2）f（a）2a 2a解不等式可得，2a 1故选 B10设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时恒有 f（x+2）=f（x） ，当 x0，2时，f（x）=e x1，则f=（ ）A1e Be 1 C 1e De+1【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用函数的性质得 f（2015）=f，f ，再求得 f（0） 、f （1）的值，可得答案【解答】解：当 x0，2 时，f（x）=e x1，又f（x+2）=f（x） ，函数的周期是 2，又函数 f（x）是定义在 R 上的奇函
15、数，f（ 2 015）= f=1e，f（0）=0 ，f=0，f=1 e，故选：A二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分）11已知扇形的周长是 8，圆心角为 2，则扇形的弧长为 4 【考点】弧长公式【分析】直接利用弧长公式，求出扇形的弧长【解答】解：因为圆心角 =2，弧长 l，所以 l=2r，因为扇形的周长是 8，所以 l+2r=8，所以 l=4，故答案为：412一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为 2，则该梯形的面积为 4 【考点】平面图形的直观图【分析】把该梯形的直观图还原为原来的梯形，画出图形，结合图形解答问题即可【解答】解：把该梯形的直观图还原
16、为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为 a，下底为 b，高为 h，则直观图中等腰梯形的高为 h= hsin45；等腰梯形的体积为 （a+b）h= （a+b） hsin45=2， （a+b）h= =4 ；该梯形的面积为 4 故答案为：4 13如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于 【考点】几何概型【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为 P= 故答案
17、为 14若曲线 C1：y=3x 4ax36x2 与曲线 C2：y=e x 在 x=1 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在 x=1 处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于1，由此求得 a 的值【解答】解：由 y=3x4ax36x2，得 y=12x33ax212x，y| x=1=3a，由 y=ex，得 y=ex，y| x=1=e曲线 C1：y=3x 4ax36x2 与曲线 C2：y=e x 在 x=1 处的切线互相垂直，3a e=1，解得：a= 故答案为： 15已知偶函数 f（x）满足 ，若在区间1，3内，函数
18、 g（x）=f（x）log a（x+2）有 4 个零点，则实数 a 的取值范围 5，+） 【考点】函数零点的判定定理【分析】可得函数 f（x）周期为 2，问题等价于 f（x）图象与 y=loga（x+2）在区间1，3内有 4 个交点，数形结合可得 a 的不等式，解不等式可得【解答】解：偶函数 f（x）满足 ，f（x 2）=f（x 11）= =f（x） ，函数 f（x）周期为 2，在区间1，3 内函数 g（x） =f（x） loga（x+2）有 4 个零点等价于f（x）图象与 y=loga（x+2）在区间1，3内有 4 个交点，当 0a1 时，函数图象无交点，数形结合可得 a1 且 loga（
19、3+2）1，解得 a5，故答案为：5，+） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）16已知| |=4，| |=2，且 与 夹角为 120求：（） （ 2 ） （ + ） ； （）| + |；（） 与 + 的夹角【考点】平面向量数量积的运算【分析】 （）利用向量数量的夹角公式和加减运算法则的关系即可得出（）求出（ + ） 2，在求| + |的长度（）利用向量夹角公式即可得出【解答】解：（）根据题意，由于 ， ，且 与 夹角为 120，那么可得： （）| + |2=（ + ） 2= =16+4+2cos120 =12，| + |= （）根据题意， （ ）= ，那么：cos= = = ， ，
20、故得 与 + 的夹角 17已知 =（2 sin（2x+ ） ，2） ， =（1，sin 2x） ，f（x）= ， （x0， ）（1）求函数 f（x）的值域；（2）设ABC 的内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，若 f（ ）=1，b=1，c= ，求 a 的值【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【分析】 （1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式 f（x）=cos（2x+ ）+1，由余弦函数的有界性即可求值域（2）由 f（ ）=1，得 cos（B+ ）=0，又结合范围 0B ，即可解得 B 的值，由正弦定理可求sinC，解得 C，解得 A，即可解得 a 的值【
21、解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）f（x）= =2sin（2x+ ） 2sin2x=2（sin2xcos +cos2xsin ） （1cos2x）= cos2x sin2x+1=cos（2x+ ）+1 x0， ，2x+ ， ，1cos（2x+ ） ，从而有 0f （x） ，所以函数 f（x）的值域为0， （2）由 f（ ）=1，得 cos（B+ ）=0，又因为 0B ，所以 B+ ，从而 B+ = ，即 B= 因为 b=1，c= ，所以由正弦定理 得 sinC= = ，故 C= 或 ，当 C= 时，A= ，从而 a= =2，当 C= 时，A= ，又 B= ，从而 a=b=1综上 a 的
22、值为 1 或 2（用余弦定理类似给分） 18一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c（）用卡片上的数字列出所有可能的结果；（）求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率；（）求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】 （）所有的可能结果（a，b，c）共有 333=27 种，一一列举即可；（） ，而满足 a+b=c 的（a ， b，c 有计 3 个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率（
23、）所有的可能结果（a，b，c）共有 333 种，用列举法求得满足“ 抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同”的（a，b，c ）共计三个，由此求得 “抽取的卡片上的数字 a，b，c 完全相同” 的概率，再用 1 减去此概率，即得所求【解答】解：（）由题意， （a，b，c）所有的可能为：（1，1，1） ， （1，1，2） ， （1，1，3） ， （1，2，1） ， （1，2，2） ， （1，2，3） ，（1，3，1） ， （1，3，2） ， （1，3，3） ， （2，1，1） ， （1，1，2） ， （2，1，3） ，（2，2，1） ， （2，2，2） ， （2，2，3） ， （2，3，1） ，
24、 （2，3，2） ， （2，3，3） ，（3，1，1） ， （3，1，2） ， （3，1，3） ， （3，2，1） ， （3，2，2） ， （3，2，3） ，（3，3，1） ， （3，3，2） ， （3，3，3） ，共 27 种 （）设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A，则事件 A 包括（1，1，2） ， （1，2，3） ， （2，1，3） ，共 3 种，所以 P（A）= = 因此， “抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 （）设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件 包括（1，1，1） ， （2，2，2） ， （3，3，3） ，共 3 种所以
25、P（B）=1P（ ）=1 = 因此， “抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 19已知四棱锥 ABCDE，其中 AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面 ABC，BECD，F 为 AD 的中点（）求证：EF面 ABC；（）求证：平面 ADE平面 ACD；（）求四棱锥 ABCDE 的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】 （）取 AC 中点 G，连接 FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形 FGBE 为平行四边形，进而得到 EFBG，再结合线面平行的判定定理得到 EF 面 ABC；（）根据已知中ABC 为等边三角形，G 为
26、 AC 的中点，DC面 ABC 得到 BGAC，DCBG，根据线面垂直的判定定理得到 BG面 ADC，则 EF面 ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面 ADE面ACD；（）方法一：四棱锥四棱锥 ABCDE 分为两个三棱锥 EABC 和 EADC，分别求出三棱锥 EABC 和EADC 的体积，即可得到四棱锥 ABCDE 的体积方法二：取 BC 的中点为 O，连接 AO，可证 AO平面 BCDE，即 AO 为 VABCDE 的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥 ABCDE 的体积【解答】证明：（）取 AC 中点 G，连接 FG、BG，F，G 分别是 AD，AC 的中点 FGCD
27、，且 FG= DC=1BECDFG 与 BE 平行且相等EFBG EF面 ABC，BG 面 ABCEF面 ABC（）ABC 为等边三角形BGAC又DC面 ABC，BG面 ABCDCBGBG 垂直于面 ADC 的两条相交直线 AC，DC，BG面 ADC EFBGEF面 ADCEF面 ADE，面 ADE面 ADC 解：（）方法一：连接 EC，该四棱锥分为两个三棱锥 EABC 和 EADC方法二：取 BC 的中点为 O，连接 AO，则 AOBC，又 CD平面 ABC，CDAO，BCCD=C，AO平面 BCDE，AO 为 VABCDE 的高， ， 20已知数列a n的前 n 项和是 Sn，a 1=3，
28、且 an+1=2Sn+3，数列b n为等差数列，且公差d0，b 1+b2+b3=15（）求数列的通项公式；（）若 成等比数列，求数列 的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】 （）由 an+1=2Sn+3，a n=2Sn1+3（n2）两式作差即可求得 an；（）由（）求得 an=3n， 成等比数列可求得 bn，用裂项法可求得数列的前 n 项和 Tn【解答】解：（）由 an+1=2Sn+3，a n=2Sn1+3（n2）得：a n+1an=2ana n+1=3an（n2），a n=3n（）由 b1+b2+b3=15，得 b2=5则 b1=5d，b 3=5+d，则有：64=
29、（6d） （14+d）即：d 2+8d20=0d=2 或 d=10d0d=2b n=b1+（n 1）d=3+2（n1）=2n+1=21已知函数 f（x）=alnx+ +1（）当 a= 时，求 f（x）在区间 ，e上的最值；（）讨论函数 f（x）的单调性；（）当1a0 时，有 f（x）1+ ln（a）恒成立，求 a 的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （）求导 f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间 ，e上的最值；（）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（）由（）知，当1a 0 时，f （x） min=f
30、（ ） ，即原不等式等价于 f（ ）1+ ln（a） ，由此可求 a 的取值范围【解答】解：（）当 a= 时， ， f（x）的定义域为（0，+） ，由 f（x）=0 得 x=1f（x）在区间 ，e上的最值只可能在 f（1） ，f（ ） ，f（e）取到，而 f（1）= ，f（ ）= ，f （e ）= ，f（x） max=f（e ）= ，f（x） min=f（1）= （） ，x （0，+ ） 当 a+10，即 a1 时，f（x）0，f（x）在（0， +）上单调递减；当 a0 时， f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当 1a0 时，由 f（x）0 得 ， 或 （舍去）f（x）在（ ，+）单调递增，在（ 0， ）上单调递减； 综上，当 a0 时，f （x）在（0，+）上单调递增；当1 a0 时，f（x）在（ ，+）单调递增，在（0， ）上单调递减；当 a1 时，f（x）在（0，+）上单调递减；（）由（）知，当1a 0 时，f （x） min=f（ ）即原不等式等价于 f（ ）1+ ln（a ）即 aln + +11+ ln（a ）整理得 ln（a+1 ）1a 1，又1 a0，a 的取值范围为（ 1，0） 2016 年 11 月 15 日
