1、2015-2016 学年江西省南昌市八一中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数 z=1+i（i 是虚数单位） ，则 +z2=（ ）A1+i B1 i C 1i D1+i2设集合 A=1，2，3，5，7，B=x N|2x6，全集 U=AU B，则 A（ uB）=（ ）A1，2，7 B1，7 C2，3，7 D2，73在ABC 中， “sinA ”是“ A ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4下列四个结论：其中正确结论的个数是（
2、 ）命题“xR，xlnx0”的否定是 “x0R，x 0lnx00”；命题“若 xsinx=0，则 x=0”的逆否命题为“若 x0，则 xsinx0”；“命题 pq 为真” 是“命题 pq 为真”的充分不必要条件；若 x0，则 xsinx 恒成立A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5设函数 f（x）=ka xax， （a0 且 a1）在（，+）上既是奇函数又是减函数，则 g（x）=loga（x+k）的图象是（ ）A B C D6设点 A，B，C 为球 O 的球面上三点，O 为球心球 O 的表面积为 100，且ABC 是边长为 的正三角形，则三棱锥 OABC 的体积为（ ）A12 B12 C24
3、 D367O 为平面上的定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，若 ，则ABC 是（ ）A以 AB 为底边的等腰三角形 B以 BC 为底边的等腰三角形C以 AB 为斜边的直角三角形 D以 BC 为斜边的直角三角形8某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A B C D39已知非零向量 ， 满足| |= | |，则函数 f（x）= x3+| |x2+2 x+1 在 R 上有极值，则 ， 的取值范围（ ）A B C D10已知函数 f（x）=lnx+（xb） 2（b R）在区间 上存在单调递增区间，则实数 b 的取值范围是（ ）A B C （ ，3） D11已知函数 f
4、（x）=lnx+tan （ （0， ） ）的导函数为 f（x） ，若使得 f（x 0）=f（x 0）成立的x01，则实数 的取值范围为（ ）A （ ， ） B （0， ） C （ ， ） D （0， ）12已知函数 g（x）=ax 2（ xe ，e 为自然对数的底数）与 h（x）=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ）A1， +2 B1，e 22 C +2，e 22 De 22，+）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13函数 f（x）= ，则 f（x）dx 的值为 14已知函数 的图象与一条平行于 x 轴的直线有三个交点，其横坐标
5、分别为 x1，x 2，x 3（x 1x 2x 3） ，则 x1+2x2+x3= 15点 M（x，y）是不等式组 表示的平面区域 内的一动点，且不等式 2xy+m0 总成立，则 m 的取值范围是 16已知函数 y=f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+1）=f（x1） ，当 x0，1时，f （x）=2 x1，则函数 g（x）=f（x）ln 的零点个数为 三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数 f（x）=|x 3|xa|（1）当 a=2 时，解不等式 f（ x） ；（2）若存在实数 x，使得不等式 f（x）a 成立，求实数 a
6、 的取值范围18设函数（1）把函数 f（x）的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到函数 g（x）的图象，求函数g（x）在区间 上的最小值，并求出此时 x 的值；（2）已知ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c若 求 a 的最小值19在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD，PDCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1 ，CD=2 （1）求证：BC平面 PBD；（2）设 E 为侧棱 PC 上一点， ，试确定 的值，使得二面角 EBDP 的大小为 4520数列a n中，a 1=2，a n+1=an+cn（c 是不为 0 的常
7、数， nN） ，且 a1，a 2，a 3 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，T n 为数列b n的前 n 项和，证明：T n121已知函数 f（x）= +lnx 在（1，+）上是增函数，且 a0（1）求 a 的取值范围；（2）求函数 g（x）=ln（1+x ） x 在0，+）上的最大值22已知函数 f（x）=ax+lnx（aR） （）若 a=2，求曲线 y=f（x）在 x=1 处切线的斜率；（）求 f（x）的单调区间；（）设 g（x）=x 22x+2，若对任意 x1（0，+） ，均存在 x20，1，使得 f（x 1）g（x 2） ，求 a 的取值范围2015-2016
8、 学年江西省南昌市八一中学高三（上）12 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设复数 z=1+i（i 是虚数单位） ，则 +z2=（ ）A1+i B1 i C 1i D1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：复数 z=1+i，z 2=2i，则 +z2= = =1i+2i=1+i，故选：A2设集合 A=1，2，3，5，7，B=x N|2x6，全集 U=AU B，则 A（ uB）=（ ）A1，2，7 B1，7 C2，3
9、，7 D2，7【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据全集 U=AUB，以及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可【解答】解：B=xN|2x6=3，4，5，6，A=1，2，3，5，7，U=AUB=1，2，3，4，5，7， uB=1，2，7，A（ uB）= 1，2，7，故选：A3在ABC 中， “sinA ”是“ A ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先看由 sinA 能否得到 ：A 时，根据 y=sinx 在 上的单调性即可得到 ，而 A 时显然满足 A ；然后看 能否得到 sin
10、A ，这个可通过 y=sinx 在（0， ）上的图象判断出得不到 sinA ，并可举反例比如 A= 综合这两个方面便可得到“ sinA ”是“ A ”的充分不必要条件【解答】解：ABC 中，若 A（0， ， =sin ，所以 sinA 得到 A ；若 A ，显然得到 ；即 sinA 能得到 A ；而 ，得不到 sinA ，比如，A= ， ；“sinA ”是“ A ”的充分不必要条件故选 A4下列四个结论：其中正确结论的个数是（ ）命题“xR，xlnx0”的否定是 “x0R，x 0lnx00”；命题“若 xsinx=0，则 x=0”的逆否命题为“若 x0，则 xsinx0”；“命题 pq 为真”
11、 是“命题 pq 为真”的充分不必要条件；若 x0，则 xsinx 恒成立A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】复合命题的真假；命题的否定【分析】利用命题的否定定义即可判断出真假；利用逆否命题的定义即可判断出真假；利用复合命题真假的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出真假；若 x0，令 f（x）=x sinx，则 f（x）=1cosx0，即可函数 f（x）在（0，+）上的单调性，即可判断出真假【解答】解：命题“xR ，xlnx0”的否定是“x 0R，x 0lnx00”，正确；命题“若 xsinx=0，则 x=0”的逆否命题为“若 x0，则 xsinx0”，正确；“命题 pq 为真”
12、，则 p 与 q 中至少有一个为真命题，取 p 真 q 假时， “命题 pq 为真” 为假命题，反之：若“命题 pq 为真” ，则 p 与 q 都为真命题，因此“ 命题 pq 为真” ，“命题 pq 为真”是“ 命题 pq 为真”的必要不充分条件，因此是假命题；若 x0，令 f（x）=x sinx，则 f（x）=1cosx0，因此函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）f（0）=0 ，则 xsinx 恒成立，正确综上只有是真命题故选：C5设函数 f（x）=ka xax， （a0 且 a1）在（，+）上既是奇函数又是减函数，则 g（x）=loga（x+k）的图象是（ ）A B C D【考点
13、】函数的图象【分析】由函数 f（x）=ka xax， （a0，a1）在（， +）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得 k=1，0a1，由此不难判断函数的图象【解答】解：函数 f（x）=ka xax， （a0，a1）在（，+）上是奇函数则 f（ x）+f（x）=0即（k1 ） （a xax）=0则 k=1又f（x）=a xkax（a0 且 a1）在（，+）上是减函数则 0a1，则 g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为减函数故选：D6设点 A，B，C 为球 O 的球面上三点，O 为球心球 O 的表面积为 100，且ABC 是边长为 的正三角形
14、，则三棱锥 OABC 的体积为（ ）A12 B12 C24 D36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】先求球的半径，确定小圆中三角形 ABC 的特征，作出三棱锥 OABC 的高，然后解三角形求出三棱锥 OABC 的底面面积及三棱锥 OABC 的高，即可得到三棱锥 OABC 的体积【解答】解：表面积为 48 的球面，它的半径是 R，则 100=4R2，R=5 ，因为ABC 是边长为 的正三角形，AB=BC=AC=4 ，三棱锥为正三棱锥，作 OD平面 ABC，D 为ABC 的小圆的圆心，所以 OD平面 ABC，OD 就是三棱锥 OABC 的高，CD= OD= =3，则三棱锥 OABC 的体积为
15、V= =12 故选：B7O 为平面上的定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，若 ，则ABC 是（ ）A以 AB 为底边的等腰三角形 B以 BC 为底边的等腰三角形C以 AB 为斜边的直角三角形 D以 BC 为斜边的直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】设 BC 的中点为 D，由条件可得 2 =0，故 ，故ABC 的 BC 边上的中线也是高线，ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形【解答】解：设 BC 的中点为 D， ， （2 2 ）=0， 2 =0， ，故ABC 的 BC 边上的中线也是高线 故ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，故选 B8某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积
16、最大的侧面的面积为（ ）A B C D3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面 AED平面 BCDE，四棱锥 ABCDE 的高为 1，四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面 AED平面 BCDE，四棱锥 ABCDE 的高为1，四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形，则 SAED = = ，S ABC =SADE = = ，S ACD= = ，故选：B9已知非零向量 ， 满足| |= | |，则函数 f（x）= x3+| |x2+2 x+1 在 R 上有极值，则 ， 的
17、取值范围（ ）A B C D【考点】利用导数研究函数的极值；数量积表示两个向量的夹角【分析】根据三次函数在 R 上有极值，可知方程 f（x） =0 有两个不等的实数根，从而判别式大于 0，结合条件 ，可求 的取值范围【解答】解：令 f（x）=0函数 在 R 上有极值方程 f（x） =0 有两个不等的实数根 0 的取值范围是故选 D10已知函数 f（x）=lnx+（xb） 2（b R）在区间 上存在单调递增区间，则实数 b 的取值范围是（ ）A B C （ ，3） D【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用导函数得到不等式恒成立，然后求解 b 的范围【解答】解：函数 f（x）在区间 上存在单
18、调增区间，函数 f（x）在区间 上存在子区间使得不等式 f（x）0 成立，设 h（x）=2x 22bx+1，则 h（2）0 或 ，即 84b+10 或 ，得 故选：B11已知函数 f（x）=lnx+tan （ （0， ） ）的导函数为 f（x） ，若使得 f（x 0）=f（x 0）成立的x01，则实数 的取值范围为（ ）A （ ， ） B （0， ） C （ ， ） D （0， ）【考点】导数的运算【分析】由于 f（x）= ，f（x 0）= ，f（x 0）=f（x 0） ，可得 =ln x0+tan ，即 tan = ln x0，由0x 01，可得 ln x01，即 tan 1，即可得出【解答
19、】解：f（x）= ，f（x 0）= ，f（x 0）=f（x 0） ， =ln x0+tan ，tan = ln x0，又0x 01，可得 ln x01，即 tan 1，（ ， ） 故选：A12已知函数 g（x）=ax 2（ xe ，e 为自然对数的底数）与 h（x）=2lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ）A1， +2 B1，e 22 C +2，e 22 De 22，+）【考点】对数函数的图象与性质【分析】由已知，得到方程 ax2=2lnxa=2lnxx2 在 上有解，构造函数 f（x）=2lnx x2，求出它的值域，得到a 的范围即可【解答】解：由已知，得到
20、方程 ax2=2lnxa=2lnxx2 在 上有解设 f（x）=2lnx x2，求导得：f（x）= 2x= ， xe，f （x）=0 在 x=1 有唯一的极值点，f（ ）= 2 ，f（e）=2 e2，f（x） 极大值 =f（1）=1，且知 f（e）f （ ） ，故方程a=2lnxx 2 在 上有解等价于 2e2a 1从而 a 的取值范围为1，e 22故选 B二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13函数 f（x）= ，则 f（x）dx 的值为 6+ 【考点】定积分【分析】利用定积分的运算法则，将所求转为2 到 0 和 0 到 2 上的积分，然后计算【解答】解：因为函数
21、f（x） = ，所以 f（ x）dx= =（2x x2）| + =6+；故答案为：6+14已知函数 的图象与一条平行于 x 轴的直线有三个交点，其横坐标分别为 x1，x 2，x 3（x 1x 2x 3） ，则 x1+2x2+x3= 【考点】正弦函数的图象【分析】作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得 x1+x2 和 x2+x3 的值，相加即可【解答】解：函数 的图象，可看作函数 y=4sin2x 的图象向左平移 得到，相应的对称轴也向左平移 ，x 1+x2=2（ ）= ，x 2+x3=2（ ）= ，x 1+2x2+x3=（x 1+x2）+（x 2+x3）= += ，故答案为： 15点
22、 M（x，y）是不等式组 表示的平面区域 内的一动点，且不等式 2xy+m0 总成立，则 m 的取值范围是 m3 【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：若 2xy+m0 总成立my2x 总成立即可，设 z=y2x，即求出 z 的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=y2x 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线经过点 C（0，3）时，直线的截距最大，此时 z 最大，此时 z=30=3，m3，故答案为：m316已知函数 y=f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（x+1）=f（x1） ，当 x0，1时，f
23、（x）=2 x1，则函数 g（x）=f（x）ln 的零点个数为 4 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】函数 g（x）=f（x）ln 的零点个数可化为 f（x）与 y=ln 的图象的交点的个数，从而作出函数f（x）与 y=ln 的图象求解即可【解答】解：函数 g（x）=f（x）ln 的零点个数可化为 f（x）与 y=ln 的图象的交点的个数，作函数 f（x）与 y=ln 的图象如下，结合图象可知，函数 f（x）与 y=ln 的图象有四个交点，故函数 g（x）=f（x）ln 的零点个数为 4，故答案为：4三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
24、）17已知函数 f（x）=|x 3|xa|（1）当 a=2 时，解不等式 f（ x） ；（2）若存在实数 x，使得不等式 f（x）a 成立，求实数 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】 （1）运用函数的零点分区间，讨论当 x3 时，当 x2 时，当 2x3 时，化简不等式解得，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于 a，即可解出实数 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）= |x3|x2|，当 x3 时，f（x） ，即为（x3） （x2） ，即1 成立，则有 x3；当 x2
25、时，f（x） 即为（3x） （2x） ，即 1 ，解得 x；当 2x3 时，f（x） 即为 3x（x2） ，解得，x ，则有 x3则原不等式的解集为 ，3） 3，+）即为 ，+） ；（2）由绝对值不等式的性质可得|x3| |xa|（x 3） （xa）|=|a3|，即有 f（x）的最大值为|a 3|若存在实数 x，使得不等式 f（x）a 成立，则有|a3|a，即 或 ，即有 a或 a 则 a 的取值范围是（， 18设函数（1）把函数 f（x）的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位得到函数 g（x）的图象，求函数g（x）在区间 上的最小值，并求出此时 x 的值；（2）已知ABC 中，角 A，B
26、 ，C 的对边分别为 a，b，c若 求 a 的最小值【考点】正弦定理；函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】 （1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f（x）=cos（2x+ ）+1，根据三角函数图象变换规律可得 ，由 ，可得 ，利用余弦函数的图象和性质即可得解（2）由 f（B+C）= ，化简得：cos（2A ）= ，结合 A（0，） ，可求 A= ，由余弦定理可得a2=43bc，由 b+c=2 知：bc（ ） 2=1，当且仅当 b=c=1 时取等号，即可求得 a 的最小值【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）f（x）=cos（2x ）+2cos 2x=（cos2xcos +
27、sin2xsin ）+（1+cos2x）= cos2x sin2x+1=cos（2x+ ）+1，所以 因为 ，所以所以当 即 时，函数 g（x）在区间 上的最小值为 （2）由题意，f（B+C）= ，即 cos（22A+ ）= ，化简得：cos（2A ）= ，A（0，） ，2A （ ， ） ，则有 2A = ，即 A= ，在ABC 中，b+c=2，cosA= ，由余弦定理，a 2=b2+c22bccos =（b+c） 23bc=43bc，由 b+c=2 知：bc （ ） 2=1，当且仅当 b=c=1 时取等号，a 243=1 ，则 a 取最小值 119在四棱锥 PABCD 中，侧面 PCD底面
28、ABCD，PDCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1 ，CD=2 （1）求证：BC平面 PBD；（2）设 E 为侧棱 PC 上一点， ，试确定 的值，使得二面角 EBDP 的大小为 45【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】 （1）由题设条件可证得 DP，DA，DC 三线两两垂直，故可以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz，按题中所给的条件，给出各点的坐标，求出直线 BC 的方向向量以及平面 PBD 的法向量，由数量积为 0 证明线面垂直（2）由（1）中的坐标系，及 E 为侧棱 PC 上一点， ，给出用参数表示的点 E 的坐标，求出
29、两个平面 EBD 与平面 PBD 的法向量，由公式用参数表示出二面角的余弦值，再令其值是 45的余弦值，解出其参数值即可【解答】解：（1）证明：平面 PCD底面 ABCD，PD CD，所以 PD平面 ABCD，所以 PDAD如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz则 A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，2，0） ，P（0，0 ，1） =（ 1，1，0） 所以 =0，BCDB，又由 PD平面 ABCD，可得 PDBC ，又 BDPD=D所以 BC平面 PBD（2）平面 PBD 的法向量为 =（ 1，1，0） ， ，（0，1） ，所以E（0，2 ，1） ，设平面 EBD 的法向
30、量为 =（ a，b，c） ， =（0，2 ，1 ）由 =0， =0，得所以， ，由 cos 解得 = 1（用传统方法解得答案酌情给分）20数列a n中，a 1=2，a n+1=an+cn（c 是不为 0 的常数， nN） ，且 a1，a 2，a 3 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，T n 为数列b n的前 n 项和，证明：T n1【考点】数列的求和【分析】 （1）利用等比数列的通项公式、 “累加求和”即可得出；（2）利用“错位相减法” 、等比数列的前 n 项和公式【解答】 （1）解：由已知 a2=2+c，a 3=2+3c，a 1，a 2，a 3 成等比数列，则（2+
31、c） 2=2（2+3c ）得 c=2，从而 an+1=an+2n，n2 时，a n=a1+（a 2a1）+（a 3a2）+A+（a nan1）=2+21+22+2n=n2n+2，n=1 时，a 1=2 也适合上式，因而 an=n2n+2（2）证明：b n= = ，Tn=b1+b2+bn= + + + +Tn= + + + + ，T n=1 ，T n1 成立21已知函数 f（x）= +lnx 在（1，+）上是增函数，且 a0（1）求 a 的取值范围；（2）求函数 g（x）=ln（1+x ） x 在0，+）上的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （1）
32、求出 f（x）的导数为 ，利用函数 f（x）在（1，+）上是增函数，在（1，+）上恒成立，得到 在（1，+）上恒成立，然后求解即可；（2）求出导函数 g（x） ，判断函数的单调性，然后求解函数的最值【解答】解：（1）f（x）的导数为 ，因为函数 f（x）在（1，+）上是增函数，所以 在（1，+）上恒成立，即 在（1 ，+）上恒成立，所以只需 ，又因为 a0，所以 a1；（2）因为 x0，+） ，所以所以 g（x）在0，+）上单调递减，所以 g（x）=ln（1+x） x 在 0，+）上的最大值为 g（0）=022已知函数 f（x）=ax+lnx（aR） （）若 a=2，求曲线 y=f（x）在 x
33、=1 处切线的斜率；（）求 f（x）的单调区间；（）设 g（x）=x 22x+2，若对任意 x1（0，+） ，均存在 x20，1，使得 f（x 1）g（x 2） ，求 a 的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】 （）把 a 的值代入 f（x）中，求出 f（x）的导函数，把 x=1 代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；（）求出 f（x）的导函数，分 a 大于等于 0 和 a 小于 0 两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（）对任意 x1（0，+） ，均存在 x20，1，使得 f（x 1）g（x 2） ，等价于 f（x） maxg（x
34、） max，分别求出相应的最大值，即可求得实数 a 的取值范围【解答】解：（）由已知 ，则 f（1）=2+1=3故曲线 y=f（x）在 x=1 处切线的斜率为 3；（） 当 a0 时，由于 x0，故 ax+10，f（x）0所以，f（x）的单调递增区间为（ 0，+） 当 a0 时，由 f（x）=0 ，得 在区间 上，f（x）0，在区间 上 f（x）0，所以，函数 f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（）由已知，转化为 f（x） maxg（x） max，因为 g（x）=x 22x+2=（x1） 2+1，x0，1，所以 g（x） max=2由（）知，当 a0 时，f （x）在（0，+）上单调递增，值域为 R，故不符合题意当 a0 时，f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减，故 f（x）的极大值即为最大值， f（ ）= 1+ln（ ）=1 ln（a） ，所以 21 ln（a ） ，解得 a
