1、第 1 页（共 25 页）2016-2017 学年浙江省绍兴一中高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分1设全集 U=R，集合 A=x|x（x 2）0，B=x |xa ，若 A 与 B 的关系如图所示，则实数 a 的取值范围是（ ）A0 ，+） B （0，+ ） C2，+） D （2，+）2 “x=k+ （ kZ） “是“tanx=1”成立的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A2 B C4 D54已知等比数列a n的公比 q=2，其前 4 项和 S4=6
2、0，则 a2 等于（ ）A8 B6 C8 D 65在（xy） 10 的展开式中，系数最小的项是（ ）A第 4 项 B第 5 项 C第 6 项 D第 7 项6给出下列四个命题：分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；第 2 页（共 25 页）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为真命题的是（ ）A和 B和 C和 D和7若当 xR 时，函数 f（ x）=a |x|始终满足 0|f（x）|1，则函数 y=loga| |的图象大致为（ ）A B C D8已知函
3、数 f（x）=sin（2x+） ，其中 为实数，若 对于任意xR 恒成立，且 ，则 的值为（ ）A B0 C D9已知抛物线 y2=4x 的焦点 F，若 A，B 是该抛物线上的点， AFB=90，线段AB 中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N，则 的最大值为 （ ）A B1 C D10如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P，Q 分别是线段 CC1，BD上的点，R 是直线 AD 上的点，满足 PQ平面 ABC1D1，PQRQ，且 P、Q 不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（ ）第 3 页（共 25 页）A B C D二、填空题：本大题共 7 小题，11-14 题：每
4、小题 6 分，15-17 题：每题 4 分，共 36 分11若复数 z=4+3i，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为 ， 的值为 12已知实数 x，y 满足 ，则点 P（x ，y）构成的区域的面积为 ，2x+y 的最大值为 ，其对应的最优解为 13过原点且倾斜角为 60的直线与圆 x2+y24y=0 相交，则圆的半径为 直线被圆截得的弦长为 14甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门则不同的选法共有 种，2 人所选课程至少有一门相同的概率为 15设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若数列a n是单调递增数列，且满足a5 6， S39 ，则 a6 的取值范围是 16正实数 x，y 满
5、足 2x+y=2，则 的最小值 17在平面上， ，| |=| |=1， = + 若| | ，则| |的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 4 页（共 25 页）18在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B ，C 的对边，且满足 b2+c2a2=bc（1）求角 A 的值；（2）若 a= ，记ABC 的周长为 y，试求 y 的取值范围19如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC=90，CDAB，AB=4，AD=CD=2，M为线段 AB 的中点将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体DABC，如图 2 所示
6、（）求证：BC平面 ACD；（）求二面角 ACDM 的余弦值20已知 f（ x）=2xlnx，g（x）= x2+ax3（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若存在 x（0，+） ，使 f（x）g（x）成立，求实数 a 的取值范围21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 为椭圆上一点（在 x 轴上方） ，连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设 = （1）若点 P 的坐标为 （1， ） ，且PQF 2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程；（2）若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e ， ，求实数 的取值范围第 5
7、页（共 25 页）22已知数列a n满足： an2anan+1+1=0，a 1=2（1）求 a2， a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证： 1第 6 页（共 25 页）2016-2017 学年浙江省绍兴一中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分1设全集 U=R，集合 A=x|x（x 2）0，B=x |xa ，若 A 与 B 的关系如图所示，则实数 a 的取值范围是（ ）A0 ，+） B （0，+ ） C2，+） D （2，+）【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【分析】先求出集合 A，然后根据 Venn 图表示出集合的关系
8、，最后根据数轴进行求解【解答】解：A=x|x （x2）0=x|0 x2根据 Venn 图表达集合的关系是 ABB=x|xa，在数轴上表示可得，必有 a2，故选 C2 “x=k+ （ kZ） “是“tanx=1”成立的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件第 7 页（共 25 页）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断【解答】解：tanx=1，x=k+ （kZ）x=k+ （kZ）则 tanx=1，根据充分必要条件定义可判断：“x=k+ （kZ） “是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C3某几何体的三
9、视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A2 B C4 D5【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是 3，高是 1，棱柱的高为 2，求出梯形的上底，然后求出棱柱的体积，得到结果【解答】解：由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，梯形的下底是 3，斜边为 ，高是 1，梯形的上底为：3 =1，棱柱的高为 2，四棱柱的体积是： =4，故选：C4已知等比数列a n的公比 q=2，其前 4 项和 S4=60，则 a2 等于（ ）第 8 页（共 25 页）A8 B6 C8 D 6【考点】等比数列的性质【分析】由题意可得， ，
10、解方程可得 a1，再代入等比数列的通项公式可求【解答】解：由题意可得，a 1=4，a 2=8故选 A5在（xy） 10 的展开式中，系数最小的项是（ ）A第 4 项 B第 5 项 C第 6 项 D第 7 项【考点】二项式定理的应用【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项【解答】解：展开式共有 11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第 6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6 项故选 C6给出下列四个命题：分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线
11、相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为真命题的是（ ）A和 B和 C和 D和第 9 页（共 25 页）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用空间两条直线关系的定义及判定方法，易判断的对错；根据面面垂直的判定定理，可得到的真假；根据空间两条直线垂直的定义及判定方法，可判断的真假，结合面面垂直的判定定理及互为逆否命题同真同假，即可得到的正误，进而得到结论【解答】解：分别与两条异面直线都相交的两条直线，可能相交也可能异面，故 A 错误；根据面面垂直的判定定理，当一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平
12、面一定相互垂直，故 B 正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面，故 C 错误；由面面垂直的性质定理，当两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故 D 正确；故选 D7若当 xR 时，函数 f（ x）=a |x|始终满足 0|f（x）|1，则函数 y=loga| |的图象大致为（ ）A B C D【考点】对数函数的图象与性质【分析】由于当 xR 时，函数 f（x ）=a |x|始终满足 0|f（x）|1，利用指数函数的图象和性质可得 0a1先画出函数 y=loga|x|的图象，此函数是偶函数，当 x0 时，即为 y=logax，而函数 y=l
13、oga| |=loga|x|，即可得出图象第 10 页（共 25 页）【解答】解：当 xR 时，函数 f（x ）=a |x|始终满足 0|f（x）|1因此，必有 0a1先画出函数 y=loga|x|的图象：黑颜色的图象而函数 y=loga| |=loga|x|，其图象如红颜色的图象故选 B8已知函数 f（x）=sin（2x+） ，其中 为实数，若 对于任意xR 恒成立，且 ，则 的值为（ ）A B0 C D【考点】正弦函数的图象【分析】由题意得 f（ ）是函数 f（x ）的最值，求得 =k 再根据f（ ） f（ ） ，可得 sin0故可取 = ，从而求得 f（ ）的值【解答】解：由题意可得，f
14、（ ）是函数 f（x ）的最值，故有 2 +=k+，k Z，即 =k 再根据 f（ ）=sin （+）=sin f（）=sin（2+）=sin ，可得 sin0第 11 页（共 25 页）故可取 = ，故 f（ ）=sin（ ）=sin = ，故选：D9已知抛物线 y2=4x 的焦点 F，若 A，B 是该抛物线上的点， AFB=90，线段AB 中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N，则 的最大值为 （ ）A B1 C D【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】设|AF|=a、|BF| =b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b再由勾股定理得|AB |2=a2+b2，结合基本不等
15、式求得|AB|的范围，从而可得 的最大值【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b ，A 、B 在准线上的射影点分别为 Q、P，连接AQ、BQ 由抛物线定义，得 AF|=|AQ|且|BF|=|BP|在梯形 ABPQ 中根据中位线定理，得 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由勾股定理得|AB| 2=a2+b2，配方得|AB| 2=（a+b） 22ab，又ab（ ） 2，（a +b） 22ab（a+b） 22（ ） 2= （a+b） 2得到|AB| （a+b） 所以 = ，即 的最大值为 故选 C第 12 页（共 25 页）10如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P，Q
16、分别是线段 CC1，BD上的点，R 是直线 AD 上的点，满足 PQ平面 ABC1D1，PQRQ，且 P、Q 不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（ ）A B C D【考点】点、线、面间的距离计算【分析】分别以 AB，AD，AA 1 所在直线为 x，y ， z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出|PR|的最小值【解答】解：如图，分别以 AB，AD，AA 1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 B（1，0，0） ，D （0，1，0 ） ，B 1（1，0，1） ， C（1，1，0） ，设 P（ 1，1，m） ， （0m1） ， =（0 1） ，Q（x 0，y 0，0） ，则（
17、x 01，y 0，0）=（1，1 ，0） ， ，Q（1 ， ，0） ， =（ ，1，m） ，连结 B1C， 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，BCC 1B1 是正方形， AB平面 BCC1B1，第 13 页（共 25 页）B 1CAB， B1CBC 1，又 ABBC 1=B，B 1C平面 ABC1D1，PQ 平面 ABC1D1，B 1CPQ，又 =（0 ，1，1） ， =1+m=0，=1 m，Q （ m，1m，0 ） ， =（m1， m，m ） ，设 R（0，n，0） ，则 =（m，1m n，0） ，PQ RQ， =m（m1） m（1m n）=0，即 n=22m，R （0，22m，0） ，
18、 =（1，12m ，m） ，| |= = = ，当 m= 时，|PR |的最小值是 故选：B二、填空题：本大题共 7 小题，11-14 题：每小题 6 分，15-17 题：每题 4 分，共 36 分11若复数 z=4+3i，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为 5 ， 的值为 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出【解答】解：|z|= =5，= = = ，故答案为：5， 第 14 页（共 25 页）12已知实数 x，y 满足 ，则点 P（x ，y）构成的区域的面积为 8 ，2x+y 的最大值为 11 ，其对应的最优解为 （6，1） 【
19、考点】简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，从而求出三角形的面积，令 z=2x+y，变形为 y=2x+z，显然直线 y=2x+z 过 B（6， 1）时，z 最大，进而求出最大值和最优解【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，点 P（x，y）构成的区域的面积为：S ABC = 82=8，令 z=2x+y，则 y=2x+z，当直线 y=2x+z 过 B（6，1）时，z 最大，Z 最大值 =261=11，其对应的最优解为（6，1） ，故答案为：8，11， （6，1） 13过原点且倾斜角为 60的直线与圆 x2+y24y=0 相交，则圆的半径为 2 直线被圆截得的弦长为 2 【考点】直线
20、与圆的位置关系第 15 页（共 25 页）【分析】先根据题意求得直线的方程，进而整理圆的方程求得圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得弦长【解答】解：过原点且倾斜角为 60的直线为 y= x，整理圆的方程为 x2+（y2） 2=4，圆心为（0，2） ，半径 r=2，圆心到直线的距离为 =1，则弦长 l=2 =2 故答案为： 14甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门则不同的选法共有 36 种，2 人所选课程至少有一门相同的概率为 【考点】排列、组合的实际应用【分析】利用组合知识，对立事件的概率公式，即可求解【解答】解：甲、乙两人从 4 门课程中各选修
21、 2 门则不同的选法共有=36 种；2 人所选课程至少有一门相同，有 36 =30 种，2 人所选课程至少有一门相同的概率为 = ，故答案为 36； 15设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若数列a n是单调递增数列，且满足a5 6， S39 ，则 a6 的取值范围是 （3，7 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】数列a n是单调递增数列，可得 d0根据满足 a56，S 39，可得a1+4d 6，3a 1+3d9，即a 1d 3，0d1，a 23即可得出【解答】解：数列a n是单调递增数列，d 0满足 a56，S 39， a1+4d6，3a 1+3d9，即a 1d3，相加可得 3d3，即
22、 d1，又 d0，0d 1，第 16 页（共 25 页）a1d 3， a13d，a 23a 6=a1+5d= （a 1+4d）+ （a 1d）81=7，a6=a2+4d3 可得：a 6（3，7故答案为：（3，716正实数 x，y 满足 2x+y=2，则 的最小值 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】由 y=22x0，解得 0x 1则 =x+ =x+=f（x） ，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：x0，y=22x0，解得 0x1则 =x+ =x+ =f（x） ，f（x ）=1+ ，令 f（x）=0，解得 x= 则可得 x 时，f（x）0；x 时，f（x
23、 ）0x= ，y= 时，函数 f（x ）取得极小值即最小值 + = ，故答案为： 17在平面上， ，| |=| |=1， = + 若| | ，则| |的取值范围是 （ ， 【考点】向量的模【分析】由题意，A、B 1、P、B 2 构成矩形 AB1PB2，以 AB1，AB 2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，第 17 页（共 25 页）设出点 O 的坐标（x，y）与点 P 的坐标（a，b ） ，求出 x2+y2 的取值范围，再求|的取值范围【解答】解：根据题意知，A、B 1、P、B 2 构成一个矩形 AB1PB2，以 AB1，AB 2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示；设|AB 1|=a，
24、|AB 2|=b，点 O 的坐标为（x ，y） ，则点 P 的坐标为（a ，b） ；由| |=| |=1，得 ，则 ；| | ，（xa） 2+（yb ） 2 ，1 y2+1x2 ，x 2+y2 ；又（xa） 2+y2=1，y 2=1（xa ） 21，y 21；同理 x21，x 2+y22；由知 x 2+y22，| |= ，第 18 页（共 25 页） | | 故答案为：（ ， 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B ，C 的对边，且满足 b2+c2a2=bc（1）求角 A 的值；（2）若 a= ，记A
25、BC 的周长为 y，试求 y 的取值范围【考点】余弦定理【分析】 （1）由已知及余弦定理可求 cosA= ，结合范围 A（0，） ，可求 A 的值（2）由正弦定理，得 b=2sinB， ，其中 ，利用三角函数恒等变换的应用化简可求周长，由 利用正弦函数的性质即可计算得解【解答】解：（1）b 2+c2a2=bc由余弦定理得 cosA= = ，A （0，） ，A= ；（2）由 a= ，A= 及正弦定理，得 ，得 b=2sinB， ，其中 ，所以周长 ，由于 ，得 ，第 19 页（共 25 页）从而周长 19如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADC=90，CDAB，AB=4，AD=CD=2，M为线
26、段 AB 的中点将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体DABC，如图 2 所示（）求证：BC平面 ACD；（）求二面角 ACDM 的余弦值【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】 （）要证 BC平面 ACD，只需证明 BC 垂直平面 ACD 内的两条相交直线 AC、OD 即可；（）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角 ACDM 的余弦值【解答】解：（）在图 1 中，可得 ，从而 AC2+BC2=AB2，故ACBC取 AC 中点 O 连接 DO，则 DOAC ，又面 ADC面 ABC，面 ADC面 ABC=AC，
27、DO面 ACD，从而 OD平面 ABC，ODBC又 ACBC ， ACOD=O，BC 平面 ACD另解：在图 1 中，可得 ，从而 AC2+BC2=AB2，故 ACBC面 ADC面 ABC，面 ADE面 ABC=AC，BC面 ABC，从而 BC平面 ACD第 20 页（共 25 页）（）建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示，则 ， ，设 为面 CDM 的法向量，则 即 ，解得令 x=1，可得又 为面 ACD 的一个法向量二面角 ACDM 的余弦值为 20已知 f（ x）=2xlnx，g（x）= x2+ax3（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若存在 x（0，+） ，使 f（x）g（x）成
28、立，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；第 21 页（共 25 页）（2）问题等价于 a（2ln x+x+ ） min，记 h（x ） =2ln x+x+ ，x（0，+） ，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（1）f（x）的定义域为（ 0，+） ，f（x）=2（ln x+1） ，令 f（x）=0，得 x= ，当 x时，f（x）0，当 x时，f（x ）0，所以 f（ x）在 上单调递减；在上单调递增（2）存在 x（0，+） ，使 f（x）g（x）成立，即 2xln xx 2+ax3 在 x（0，+）
29、能成立，等价于 a2ln x+x+ 在 x（0，+）能成立，等价于 a（2ln x+x+ ） min记 h（x）=2ln x+x+ ，x（0，+） ，则 h（x ）= +1 = = 当 x（0，1）时，h（x）0，当 x（1，+）时，h（x）0，所以当 x=1 时，h（x ）取最小值为 4，故 a421如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 为椭圆上一点（在 x 轴上方） ，连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设 = （1）若点 P 的坐标为 （1， ） ，且PQF 2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程；（2）若 PF2 垂直
30、于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e ， ，求实数 的取值范围第 22 页（共 25 页）【考点】椭圆的简单性质【分析】 （1）由 F1，F 2 为椭圆 C 的两焦点，且 P， Q 为椭圆上的点，利用椭圆的定义可得PQF 2 的周长为 4a由点 P 的坐标为 （1， ） ，可得 + =1，解出即可得出（2）利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出【解答】解：（1）F 1，F 2 为椭圆 C 的两焦点，且 P，Q 为椭圆上的点，PF 1+PF2=QF1+QF2=2a，从而 PQF 2 的周长为 4a由题意，得 4a=8，解得 a=2 点 P 的坐标为 （1， ） ， + =1，解得 b2
31、=3椭圆 C 的方程为 + =1 （2）PF 2x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P（c，y 0） ，y 00设 Q（x 1，y 1） P 在椭圆上， + =1，解得 y0= ，即 P（ c， ） F 1（c ，0） ， =（2c， ） ， =（x 1+c，y 1） 由 = ，得2c=（x 1+c） ， =y1，解得 x1= c，y 1= ，Q（ c， ） 点 Q 在椭圆上， （ ） 2e2+ =1，第 23 页（共 25 页）即（+2） 2e2+（1e 2）= 2， （ 2+4+3）e 2=21，+1 0，（+3）e 2=1，从而 = = 3e ， ， e 2 ，即 5 的取值范围为 ，522已知数列a n满足： an2anan+1+1=0，a 1=2（1）求 a2， a3；（2）证明数列为递增数列；（3）求证： 1【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）a 1=2， ，分别令 n=1，2，即可得出 a2，a 3（2）作差即可证明：a n+1an0（3） ，利用“裂项求和 ”方法即可得出【解答】 （1）解：a 1=2， ，a 2=222+1=3，同理可得：a3=7（2）证明： ，对 nN*恒成立，a n+1a n（3）证明： 故 =第 24 页（共 25 页）第 25 页（共 25 页）2017 年 3 月 22 日
