1、2017 届河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知集合 M=1，2，3，4，则集合 P=x|xM，且 2xM的子集个数为（ ）A2 B3 C4 D82己知复数 z=cos+isin（i 是虚数单位），则 =（ ）Acos+isin B2cos C2sin Disin23直线 x+（1+m）y=2m 和直线 mx+2y+8=0 平行，则 m 的值为（ ）A1 B2 C1 或2 D4已知公差不为 0 的等差数列a n满足 a1，a 3，a 4 成等比数列，S n 为数列a
2、 n的前 n 项和，则 的值为（ ）A2 B3 C2 D 35五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）A B C D6若如图框图所给的程序运行结果为 S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（ ）Ai6？ Bi6？ Ci5？ Di5？7已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，左视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为（ ）A B C D8将函数 f（x）=sin（2x ）的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x），则 g（ x）具有性质（ ）A最大值为 1，图象关于直线 x= 对称B在（0， ）上单调递减，为
3、奇函数C在（ ， ）上单调递增，为偶函数D周期为 ，图象关于点（ ，0）对称9已知实数 x，y 满足 ，若目标函数 z=mx+y 的最大值为2m+10，最小值为2m2，则实数 m 的取值范围是（ ）A 1，2 B2，1 C2，3 D 1，310已知函数 ，则关于 x 的不等式 f（3x+1 ） +f（x ）1 的解集为（ ）A B C（0， +） D（，0）11过双曲线 x2 =1 的右支上一点 P，分别向圆 C1：（x+4） 2+y2=4 和圆C2：（x 4） 2+y2=1 作切线，切点分别为 M，N，则|PM| 2|PN|2 的最小值为（ ）A10 B13 C16 D1912定义在 R 上
4、的函数 f（ x）满足 f（x ） f（x）=xe x，且 ，则 的最大值为（ ）A1 B C1 D0二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13若命题“x 0R，x 02+mx0+2m30” 为假命题，则实数 m 的取值范围是 14已知 ，则二项式 的展开式中 x3 的系数为 15已知ABC 中， ，D 为边 BC 的中点，则 = 16在正三棱锥 VABC 内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为 2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算
5、过程.17（10 分）设 ，令 a1=1，a n+1=f（a n），又（1）证明：数列 为等差数列，并求数列a n的通项公式；（2）求数列b n的前 n 项和18（12 分）已知ABC 的面积为 S，且 =S，| |=3（）若 f（x）=2cos（x+B ）（0）的图象与直线 y=2 相邻两个交点间的最短距离为 2，且 f（ ）=1，求ABC 的面积 S；（）求 S+3 cosBcosC 的最大值19（12 分）某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共 2000 学生，期末考试数学成绩换算为 100 分的成绩如图所示，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取 100 名学生的成绩绘制成频率分布直方
6、图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为 91，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的80，90），90，100的学生中，应届生与复读生的比例关系也是 91，从抽取的80，90），90，100两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的80，90）的人数为随机变量 ，求 的分布列与期望值20（12 分）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ADBC，BCD=90，PA底面 ABCD，ABM 是边长为 2 的等边三角形，（）求证：平面 PAM 平面 PDM；（）若点 E 为 PC 中点，求二面角 PMDE 的余弦值21（12 分）已知椭圆 C
7、： + =1（ab 0），过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l，与圆 x2+y2= 相切，且椭圆 C 的右焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合；（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 O 作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，求OAB 面积的最小值22（12 分）已知 f（x）=xlnx+mx ，且曲线 y=f（x）在点（1，f （1）处的切线斜率为 1（1）求实数 m 的值；（2）设 在定义域内有两个不同的极值点 x1，x 2，求 a 的取值范围；（3）已知 0，在（2）的条件下，若不等式 恒成立，求 的取值范围2017 届河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题
8、解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1已知集合 M=1，2，3，4，则集合 P=x|xM，且 2xM的子集个数为（ ）A2 B3 C4 D8【考点】集合中元素个数的最值【分析】根据题意，写出集合 P 即可【解答】解：根据题意，若 1P，则 21=2M，故不满足题意；若 2P，则 22=4M，故不满足题意；若 3P，则 23=6M，故满足题意；若 4P，则 24=8M，故满足题意；综上，P=3， 4，所以集合 P 的子集有： ， 3，4，3，4，故选：C【点评】本题考查集合的定义及子集，属于基础题2己知复数 z
9、=cos+isin（i 是虚数单位），则 =（ ）Acos+isin B2cos C2sin Disin2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】z=cos+isin 代入 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=cos+isin， = = = 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了三角函数的化简求值，是基础题3直线 x+（1+m）y=2m 和直线 mx+2y+8=0 平行，则 m 的值为（ ）A1 B2 C1 或2 D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由直线平行可得 12（1+m）m=0，解方程排除重合可得【解答】解：直线 x+（ 1+m）y=2
10、 m 和直线 mx+2y+8=0 平行，12（1 +m）m=0，解得 m=1 或2，当 m=2 时，两直线重合故选：A【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题4已知公差不为 0 的等差数列a n满足 a1，a 3，a 4 成等比数列，S n 为数列a n的前 n 项和，则 的值为（ ）A2 B3 C2 D 3【考点】等比数列的性质；等差数列的性质【分析】由题意可得：a 3=a1+2d，a 4=a1+3d结合 a1、a 3、a 4 成等比数列，得到a1=4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案【解答】解：设等差数列的公差为 d，首项为 a1，所以 a3=a1+2d，
11、a 4=a1+3d因为 a1、a 3、a 4 成等比数列，所以（a 1+2d） 2=a1（a 1+3d），解得：a 1=4d所以 = =2，故选：A【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的性质，利用性质解决问题5五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）A B C D【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】五位同学站成一排照相留念，且甲乙相邻，先求出基本事件种数，再求出甲丙也相邻包含的基本事件个数，由此能求出甲丙也相邻的概率【解答】解：五位同学站成一排照相留念，且甲乙相邻，基本事件种数 n= =48，其中甲丙也相邻包含的基本事件个数 m= =12，
12、甲丙也相邻的概率 p= 故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用6若如图框图所给的程序运行结果为 S=41，则图中的判断框（1）中应填入的是（ ）Ai6？ Bi6？ Ci5？ Di5？【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，当 k=5 时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论【解答】解：模拟执行程序，可得i=10，S=1满足条件，执行循环体，第 1 次循环，S=11，K=9，满足条件，执行循环体，第 2 次循环，S=20，K=8，满足条件，执行循环体，第 3 次循环，S=28，K=7，满足条件，执行循环体，第 4 次循环，S=35
13、，K=6，满足条件，执行循环体，第 5 次循环，S=41，K=5，此时 S 不满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为 k5故选：C【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题7已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，左视图是有一条直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为（ ）A B C D【考点】简单空间图形的三视图【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，即可得出结论【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下所示：从而该三棱锥的
14、主视图可能为 ，故选 A【点评】本题考查的知识点是三视图，解决本题的关键是得到该几何体的形状8将函数 f（x）=sin（2x ）的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x），则 g（ x）具有性质（ ）A最大值为 1，图象关于直线 x= 对称B在（0， ）上单调递减，为奇函数C在（ ， ）上单调递增，为偶函数D周期为 ，图象关于点（ ，0）对称【考点】函数 y=Asin（x+ ）的图象变换【分析】有条件利用 y=Asin（x+ ）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦函数周期性、单调性，以及它的图象的对称性，得出结论【解答】解：将函数 f（x ）=sin（2x ）的图象向右平移 个单位
15、后得到函数 g（x ）=sin 2（x ） =sin（2x）= sin2x 的图象，当 x= 时，求得 g（x ）=0 ，不是最值，故 g（x ）的图象不关于直线 x= 对称，故排除 A在（0， ）上，2x （0， ），sin2x 单调递增，故 g（x）单调递减，且g（ x）为奇函数，故 B 满足条件，C 不满足条件当 x= 时，g （x ）= 0 ，故 g（x ）的图象不关于点（ ，0）对称，故选：B【点评】本题主要考查 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数周期性、单调性，以及它的图象的对称性，属于基础题9已知实数 x，y 满足 ，若目标函数 z=mx+y 的最大值为2m+10，最
16、小值为2m2，则实数 m 的取值范围是（ ）A 1，2 B2，1 C2，3 D 1，3【考点】简单线性规划的应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=mx+y 的最大值为2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，2）时，取得最小值，利用数形结合确定 m 的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）由目标函数 z=mx+y 得 y=mx+z，则直线的截距最大，z 最大，直线的截距最小， z 最小目标函数 z=mx+y 的最大值为2m +10，最小值为2m2，当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2
17、，2）时，取得最小值，目标函数 z=mx+y 的目标函数的斜率 m 满足比 x+y=0 的斜率大，比 2xy+6=0的斜率小，即1 m2，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，确定目标函数的斜率是解决本题的关键，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法10已知函数 ，则关于 x 的不等式 f（3x+1 ） +f（x ）1 的解集为（ ）A B C（0， +） D（，0）【考点】指、对数不等式的解法【分析】设 g（x）=2016 x+log2016（ +x） 2016x，判断 g（x）的奇偶性及其单调性，求出 g（x）= g（x ），通过求 g（x ），并判断
18、其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）g（ x），而根据 g（x ）的单调性即可得到关于 x 的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集【解答】解：设 g（x）=2016 x+log2016（ +x）2016 x，g（ x）=2016 xlog2016（ +x） 2016x=g（x）g（x ）=2016 xln2016+ +2016xln20160；g （x）在 R 上单调递增，由 f（ 3x+1）+f （x ）1，得 g（3x+1）+2 +g（x ）+24则 g（ 3x+1）g （x）3x+1x，解得 x 原不等式的解集为（ ，+）故选：A【点评】本题考查对数的运算性质
19、，考查奇函数的判断方法，训练了利用导数研究函数的单调性，体现了数学转化思想方法，是中档题11过双曲线 x2 =1 的右支上一点 P，分别向圆 C1：（x+4） 2+y2=4 和圆C2：（x 4） 2+y2=1 作切线，切点分别为 M，N，则|PM| 2|PN|2 的最小值为（ ）A10 B13 C16 D19【考点】双曲线的简单性质【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线 x2 =1 的左右焦点为 F1（4，0），F2（4 ，0），连接 PF1，PF 2，F 1M，F 2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值【解答】解：圆 C1：（x+4） 2+y
20、2=4 的圆心为（ 4， 0），半径为 r1=2；圆 C2：（x 4） 2+y2=1 的圆心为（4，0），半径为 r2=1，设双曲线 x2 =1 的左右焦点为 F1（4，0），F 2（4，0），连接 PF1，PF 2，F 1M，F 2N，可得|PM|2|PN|2=（|PF 1|2r12）（|PF 2|2r22）=（ |PF1|24）（|PF 2|21）=|PF1|2|PF2|23=（|PF 1|PF2|）（|PF 1|+|PF2|）3=2a（|PF 1|+|PF2|3=2（|PF 1|+|PF2|） 322c3=283=13当且仅当 P 为右顶点时，取得等号，即最小值 13故选 B【点评】本题
21、考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题12定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（x ） f（x）=xe x，且 ，则 的最大值为（ ）A1 B C1 D0【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的最值及其几何意义【分析】先构造函数，F（x ）= ，根据题意求出 f（x）的解析式，即可得到 = ，再根据基本不等式即可求出最大值【解答】解：令 F（x）= ，则 F（x）= =x，则 F（x）= x2+c，f（ x）=e x（ x2+c），f（ 0）= ，c= ，f（ x）=e x（ x2+ ）， = ，x0， = = 1， 的最大值为
22、 1，故选：A【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用基本不等式求函数的值域，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13若命题“x 0R，x 02+mx0+2m30” 为假命题，则实数 m 的取值范围是 【考点】特称命题；复合命题的真假【分析】由于命题 P：“ ”为假命题，可得P：“xR， x2+mx+2m30”为真命题，因此0，解出即可【解答】解：命题 P：“ ”为假命题，P： “xR，x 2+mx+2m30”为真命题，0，即 m24（2m3）0，解得 2m6实数 m 的取值范围是2，6故答案为：2，6【点评】本题考查了非命
23、题、一元二次不等式恒成立与判别式的关系，属于基础题14已知 ，则二项式 的展开式中 x3 的系数为 160 【考点】二项式定理的应用【分析】求定积分得 a 的值，在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于3，求出 r 的值，即可求得展开式中 x3 的系数【解答】解： =cosx =2，则二项式 = 的展开式的通项公式为 Tr+1= （2） rxr，令r=3，可得 r=3，故展开式中 x3 的系数为 （2） 3=160，故答案为：160【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15已知ABC 中， ，D 为边 BC 的中点，则 = 【考
24、点】平面向量数量积的运算【分析】利用数量积的性质和向量的平行四边形法则即可得出【解答】解：如图，= ， = = = 故答案为： 【点评】本题考查了数量积的性质和向量的平行四边形法则，属于中档题16在正三棱锥 VABC 内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为 2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高 h 的函数 V（h），利用导数与函数的最值得关系计算 V（h）的极小值点，
25、然后转化为底面边长得答案【解答】解：设ABC 的中心为 O，取 AB 中点 D，连结 OD，VD，VO，设 OD=a，VO=h，则 VD= = AB=2AD=2 a过 O 作 OEVD，则 OE=2，S VOD = ODVO= VDOE，ah=2 ，整理得 a2= （h2）V（h）= SABC h= a2h= a2h= V（h）=4 =4 令 V（h）=0，得 h212=0，解得 h=2 当 2h2 时，V（h）0，当 h2 时，V（h）0，当 h=2 ，即 a= ，也就是 AB= 时， V（h）取得最小值故答案为： 【点评】本题考查了球与外切多面体的关系，棱锥的体积计算，导数与函数的最值，属
26、于中档题三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10 分）（2016 秋南阳期末）设 ，令a1=1，a n+1=f（a n），又 （1）证明：数列 为等差数列，并求数列a n的通项公式；（2）求数列b n的前 n 项和【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由题意可得：a n+1= 将其变形可得 = ，由等差数列的定义进而得到答案，进而求得数列a n的通项公式；（2）设 Sn 是数列 bn的前 n 项和由（1）可得bn=anan+1=a2（ ）利用“ 裂项求和”的方法求出答案即可【解答】解：（1）证明：a n+1=f（a n）=
27、 ， = 是首项为 1，公差为 的等差数列， =1+（n1） 整理得 an= ；（2）b n=anan+1= =a2（ ）设数列b n的前 n 项和为 Tn，则 Tn=a2（ + + ）=a 2（ ）=a 2（ ）=a 2 = 数列b n的前 n 项和为 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12 分）（2016贵阳校级模拟）已知ABC 的面积为 S，且 =S，| |=3（）若 f（x）=2cos（x+B ）（0）的图象与直线 y=2 相邻两个交点间的最短距离为 2，且 f（ ）=1，求ABC 的面积 S；（
28、）求 S+3 cosBcosC 的最大值【考点】余弦函数的图象；平面向量数量积的运算【分析】（）由条件利用余弦函数的图象特征求出 ，可得 f（x）的解析式，再根据 f（ ）=1 求得 B，再利用条件求得 A，从而 ABC 是直角三角形，从而计算ABC 的面积 S（）利用正弦定理求得ABC 的外接圆半径 R，再化减 S+3 cosBcosC 为 3cos（BC），从而求得它的最大值【解答】解：（）f（x ）=2cos（x+B ）（0）的图象与直线 y=2 相邻两个交点间的最短距离为 T，T=2，即： ，解得 =，故 f（x）=2cos （x+B）又 ，即： ，B 是ABC 的内角， ，设ABC
29、的三个内角的对边分别为 a，b，c， ， ，解得 ， ，从而ABC 是直角三角形，由已知 得， ，从而 ， （）由（）知 ，设ABC 的外接圆半径为 R，则 2R= = =2 ，解得 R= ，S+3 cosBcosC= bcsinA+3 cosBcosC= bc+3 cosBcosC=3 sinBsinC+3 cosBcosC=3 cos（B C），故 的最大值为 【点评】本题主要考查余弦函数的图象特征，正弦定理，两个向量的数量积的运算，属于中档题19（12 分）（2016衡阳校级模拟）某校高三学生有两部分组成，应届生与复读生共 2000 学生，期末考试数学成绩换算为 100 分的成绩如图所示
30、，从高三的学生中，利用分层抽样，抽取 100 名学生的成绩绘制成频率分布直方图：（1）若抽取的学生中，应届生与复读生的比为 91，确定高三应届生与复读生的人数；（2）计算此次数学成绩的平均分；（3）若抽取的80，90），90，100的学生中，应届生与复读生的比例关系也是 91，从抽取的80，90），90，100两段的复读生中，选两人进行座谈，设抽取的80，90）的人数为随机变量 ，求 的分布列与期望值【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）因为抽取的应届生与复读生的比为 91，求出应届生抽取 90 人，复读生抽取 10 人，由此能确定确定高三应
31、届生与复读生的人数（2）由频率分布图中小矩形面积之和为 1，得 a=0.04，由此能求出此次数学成绩的平均分（3）根据频率分布直方图可知抽取的复读生的人数分别为 2，3 人抽取的80，90）的人数为随机变量 ，可知 =0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列与期望值【解答】解：（1）抽取的应届生与复读生的比为 91，应届生抽取 90 人，复读生抽取 10 人，应届生的人数为 9020=1800，复读生的人数为 20001800=200（2）10 （0.01+a +0.02+0.03）=1，a=0.04，平均分为 10（0.0165+0.04 75+0.0285+0.0395）=82
32、（3）根据频率分布直方图可知，抽取的80，90），90，100的学生分别为1000.2=20，100 0.3=30，抽取的复读生的人数分别为 2，3 人抽取的80，90）的人数为随机变量 ，可知 =0，1，2，可知 ， 的分布列为： 0 1 2p 【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用20（12 分）（2016 秋南阳期末）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ADBC，BCD=90，PA 底面 ABCD，ABM 是边长为 2 的等边三角形，（）求证：平面 PAM 平面 PDM；（）
33、若点 E 为 PC 中点，求二面角 PMDE 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）证明 DMAM DMPA，推出 DM平面 PAM，即可证明平面 PAM平面 PDM（）以 D 为原点， DC 所在直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴，过 D 且与 PA 平行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，求出平面 PMD 的法向量，平面MDE 的法向量，利用向量的 数量积求解二面角 PMDE 的余弦值【解答】解：（）证明：ABM 是边长为 2 的等边三角形，底面 ABCD 是直角梯形， ，又 ，CM=3，AD=3+1=4，AD 2=DM2+AM2，DMAM
34、又 PA 底面 ABCD，DMPA，DM平面 PAM，DM平面 PDM，平面 PAM平面 PDM（）以 D 为原点， DC 所在直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴，过 D 且与 PA 平行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 ， ， ，设平面 PMD 的法向量为 ，则 ，取 x1=3， （8 分）E 为 PC 中点，则 ，设平面 MDE 的法向量为 ，则 ，取 x2=3， （10 分）由 二面角 PMDE 的余弦值为 （12 分）【点评】本题考查二面角的平面镜的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力21（12 分）（2016衡阳校级模拟）已知椭圆
35、 C： + =1（ab0），过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l，与圆 x2+y2= 相切，且椭圆 C 的右焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合；（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 O 作两条互相垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，求OAB 面积的最小值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）写出过椭圆的上顶点与右顶点的直线方程，由的到直线的距离得到关于 a，b 的等式，由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆的半焦距长，结合隐含条件联立可得 a，b 的值，则椭圆方程可求；（2）当两射线与坐标轴重合时，直接求出OAB 面积，不重合时，设直线 AB方程为 y=kx+m，与椭圆方程联立，结合 OAO
36、B 得到 k 与 m 的关系，进一步由点到直线的距离得到 O 到 AB 的距离，再利用基本不等式求得 AB 的最小距离，代入三角形面积公式求得最小值【解答】解：（1）过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l 为 ，即bx+ayab=0，由直线与 相切，得 ，抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0），c=1即 a2b2=1，代入得 7a431a2+12=0，即（7a 23）（a 24）=0，得 （舍去），b 2=a21=3故椭圆 C 的方程为 ；（2）当两射线与坐标轴重合时， ；当两射线不与坐标轴重合时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），与椭圆 联立消去
37、 y，得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m212=0OAOB，x 1x2+y1y2=0，x 1x2+（kx 1+m）（kx 2+m）=0即 ，把 代入，得，整理得 7m2=12（k 2+1），O 到直线 AB 的距离 OAOB，OA 2+OB2=AB22OAOB，当且仅当 OA=OB 时取“=”号由 dAB=OAOB，得 ， ，即弦 AB 的长度的最小值是 三角形的最小面积为 综上，OAB 面积的最小值为 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查推理论证能力与计算能力，考查三角形面积最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题22（12 分）（20
38、16 秋南阳期末）已知 f（x）=xlnx+mx，且曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为 1（1）求实数 m 的值；（2）设 在定义域内有两个不同的极值点 x1，x 2，求 a 的取值范围；（3）已知 0，在（2）的条件下，若不等式 恒成立，求 的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出原函数的导函数，得到 f（1），由 f（1）=1 求得 m 值；（2）求出函数 g（x）的导数，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性确定 a的具体范围即可；（3）求出 g（ x），求其导函数，可得 lnx1=ax1
39、，lnx 2=ax2，原式等价于 ln 恒成立令 t= ，t （0，1），则不等式 lnt在 t（0，1）上恒成立，令 h（t）=lnt ，根据函数的单调性求出 的范围即可【解答】解：（1）f（x）=1+lnx+m，由题意知，f（1）=1 ，即：m+1=1，解得 m=0；（2）因为 g（ x）在其定义域内有两个不同的极值点 x1，x 2，所以 g（x）=f （x）ax1=lnxax=0 有两个不同的根 x1，x 2，设 （x）=g（x ）=lnx ax，则 （x）= （x0），显然当 a0 时 （x）0，（x ）单调递增，不符合题意，所以 a0，由 （ x）=0，得：x= ，当 0x 时， （
40、x）0，（x）单调递增，当 x 时， （x）0，（x）单调递减，所以 （ ）0，从而得 0a ，又当 x0 时， （x） ，所以 （x ）在（0， ）上有一根； e， ，取 x= ，（ ）=2lna ，设 r（a）=2lna ，则 r（a）= 0，r（a）在（0， ）上单调递增，r（a）r （ ）=2e0，所以 （x ）在（ ， ）上有一根；综上可知，当 0a 时，g （x ）=0 有两个不同的根所以 a 的取值范围为（0， ）（3）e 1+ x1x2 等价于 1+lnx 1+lnx2g（ x）=f（x） x2x+a=xlnx x2x+a，由题意可知 x1，x 2 分别是方程 g（x）=0，即
41、：lnx ax=0 的两个根，即 lnx1=ax1， lnx2=ax2原式等价于 1+ax 1+ax2=a（x 1+x2），0，0x 1x 2，原式等价于 a ，又由 lnx1=ax1，lnx 2=ax2作差得，ln =a（x1x2），即 a= ，原式等价于 ，0x 1x 2，原式恒成立，即 ln 恒成立令 t= ，t（0，1），则不等式 lnt 在 t（0，1）上恒成立令 h（t）=lnt ，又 h（t ）= ，当 21 时，可得 t（0，1）时，h（t）0，h（t）在 t（0，1）上单调增，又 h（1）=0，h（t）0 在 t（0，1）恒成立，符合题意当 21 时，可得 t（0， 2）时，h（t）0，t （ 2，1）时，h（t）0，h（t）在 t（0， 2）时单调增，在 t（ 2，1）时单调减，又 h（1）=0，h（t）在 t（0，1）上不能恒小于 0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式 e1+x 1x2 恒成立，只须 21，又 0，1【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想方法，训练了学生的灵活变形能力和应用求解能力，属压轴题
