1、第二节 用数学归纳法证明不等式举例一、选择题 1用数学归纳法证明：1 1)，第二步证明从12 13 12n 1“k 到 k1” ，左端增加的项数是 ( )A2 k1 B2 k C2 k1 D2 k1答案 B2用数学归纳法证明不等式 1 成立时，起始值 n0 至少12 14 12n 112764应取 ( )A7 B8 C9 D10解析 1 ，12 14 18 116 164 12764n16，n7，故 n08.答案 B3已知 xR ，不等式 x 2，x 3，可推广为 x n1，则1x 4x2 axna 的值为 ( )A2 n Bn 2 C2 2(n1) Dn n答案 D4如果命题 P(n)对 n
2、k 成立，则它对 nk2 亦成立，又若 P(n)对 n2 成立，则下列结论正确的是 ( )AP(n)对所有正整数 n 成立BP(n)对所有正偶整数 n 成立CP(n)对所有正奇整数 n 成立DP(n)对所有比 1 大的自然数 n 成立答案 B二、填空题5用数学归纳法证明：1 1)，第一步要证明12 13 12n 1的不等式是_答案 n2 时，左边1 1 (n1，nN *)1n 1n 1 1n 2 1n2证明 (1)当 n2 时， 1，12 13 14 6 4 312 1312即 n2 时命题成立. (2)设 nk (k2)时，命题成立，即 1，1k 1k 1 1k 2 1k2当 nk1 时，左
3、边 1k 1 1k2 ( 1k2 1 1k 12)1(2k1) 1 .1k 12 1k k2 k 1kk 12k2，令 f(k)k 2k 1 ，对称轴为 k ，12(2， ) 为 t 的增区间，f(k)f (2)，即 k2k 12 2211， 0，nk1 时，命题也成立k2 k 1kk 12由(1)(2)知，当 n1，nN *时，命题都成立10设数列a n的前 n 项和为 Sn，且方程 x2a nxa n0 有一根为Sn1(n1,2,3，) (1)求 a1、a 2.(2)求数列a n的通项公式解 (1)当 n 1 时，x 2a 1xa 10 有一根为 S1 1a 11，于是(a 11)2a 1
4、(a11) a10，解得 a1 .当 n2 时，x 2a 2xa 20 有一根为12S21a 2 ，于是 2a 2 a 20，解得 a2 .12 (a2 12) (a2 12) 16(2)由题设(S n1) 2a n(Sn 1)a n0，即 S 2S n1a nSn0.2n当 n2 时，a nS nS n1 ，代入上式得 Sn1 Sn2S n10.(*)由(1)知 S1a 1 ，S 2a 1a 2 .12 12 16 23由(*)可得 S3 .34由此猜想 Sn ，n1,2,3，.nn 1下面用数学归纳法证明这个结论n1 时已知结论成立假设 nk 时结论成立，即 Sk .kk 1当 nk1 时
5、，由 (*)得 Sk1 ，12 Sk即 Sk 1 ，故 nk1 时结论也成立k 1k 2综上，由可知，S n 对所有正整数 n 都成立nn 1于是当 n2 时，a nS nS n1 ，又 n1 时，a 1 nn 1 n 1n 1nn 1 12，所以a n的通项公式为 an ，n1,2,3，.112 1nn 111在数列a n中，a 12 ，a n1 (n1) an2 1an证明： 成立2(1)当 n1 时， a12 成立2(2)假设 nk (k1)时，a k 成立，2当 nk1 时，由题意知 ak1 2 ，ak2 1ak ak21ak 2即 ak 1 ，当且仅当 即 ak 时，等号成立2ak2 1ak 2这与 ak 矛盾，所以只有 ak1 .2 2由(1)，(2)知，不等式 an (nN *)成立2其次，证明不等式 an ，得 21ak 22由，得 ，ak2 1ak 22 12k 22 2 12k即 ak 1 ，212k 2 1k k 2 1k 1即 ak 1 成立21k 1由(1)，(2)得不等式 an (nN *)成立21n综上所述， an (nN *)成立2 21n
