1、第页 1河南省长葛市第一高级中学 2017-2018 学年高三 12 月月考数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合 ， ，则 中整数元素的个数为（ ）ABA. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】 ，所以 中整数元素为 3，4，5，6，个数为 4，选 B.AB AB2. 设 ，为虚数单位，且 ，则 （ ）xR11+i+x1iR x=A. B. C. D. 1 1 2【答案】B【解析】由条件知道 是实数，故 ，要求虚部为 0 即可，11+i+x1-i故答案为 B
2、。3. 已知向量 ， ，则“ ”是“与 反向”的（ ）b=(x,4)A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当向量 反向时，则有 且 ，即 ，解得 。a=(1,x),b=(x,4) x=1x=40故在区间 上一定有零点。(a,3)故答案为：C。9. 设变量 满足约束条件 ，则 的取值范围为（ ）x,yx+y0x10x303x+y2 z=xyA. B. C. D. 2,6 2,10【答案】D【解析】根据变量 满足约束条件 画出可行域，如图所示：x,y x+y0x-10x-303x+y2 由 得x=3x+y=0 由图得当 过点 时， 最
3、大为 6. 所求 的取值范围为z=x-y故选 D第页 410. 在正四棱锥 中，已知异面直线 与 所成的角为 ，给出下面三个命题：AD：若 ，则此四棱锥的侧面积为 ；AB=2：若 分别为 的中点，则 平面 ；E,F PC,AD：若 都在球 的表面上，则球 的表面积是四边形 面积的 倍.ABCD 2在下列命题中，为真命题的是（ ）A. B. C. D. p1(p2) p2(p3)【答案】A取 BC 的中点 G， 分别为 的中点故得 ，故平面 EFG/平面 PAB，从而得到 EF/平面PC,AD AB/FG,PB/EGPAB，故 是真命题；设 AB=a, AC 和 BD 的交点为 O，则 PO 垂
4、直于地面 ABCD，PA，AO ，PO O 为球心，球的半径为 ，表面积为 ,又正方形的面积为 ,故 为真。故 为真； 均为假。p1(p2) p2(p3)故答案为 A。11. 函数 在 上的图象为（ ）f(x)=sinx(2+cos2x)A. B. 第页 5C. D. 【答案】A【解析】由 得 为奇函数，所以舍去 B;f(x)由 得 关于 对称，所以舍去 D;f(x)=f(x) f(x)当 时令 得 在 取极大值 ，所以舍01 g(x)=x3+f(x)A. B. C. D. (94,+) (,0)94 (0,94) (,0)(94,+)【答案】A【解析】g(x)= x3+3x,x1当 时，由
5、得 ，所以当 时， 有一个零点x1 3=x3x1由 时 有三个零点，所以选 A.g(x)点睛：第页 6对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 函数 的定义域为_【答案】 .【解析】 ，定义域为44x0x+40 40,|0,|=4【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由 ，利用递推关系式求出数列的通项公式；（2
6、）首先根据题意求出数列的周期，进一步利用裂项相消法求出数列的和试题解析：（1）当 时， ，n2由于 也满足 ，则an=2n-1 an=2n-1 ， ， ，b2=a3=5 bn+1=bn+2 是首项为 3，公差为 2 的等差数列， .（2） ， 的前 5 项依次为 1,3,5,7,9. ， 的前 5 项依次为 3,5，7,9,1bn=2n+1易知，数列 与 的周期均为 5， 的前 20 项和.=412(1-13+13-15+15-17+17-19)+19=4(1289+19)=20919. 已知向量 ，函数 ， .a=(2sinx,1),b=(2cos(x+6),1) f(x)=ab（1）若 ,
7、 求 ；|a|= 2（2）求 在 上的值域；f(x)（3）将 的图象向左平移 个单位得到 的图象，设 ，判断 的图象是否关于直线f(x) g(x) h(x)对称，请说明理由.第页 10【答案】(1) 或 ;(2) ;(3)见解析.【解析】试题分析：（1）根据模长公式即可求解 的值；（2）根据函数 ，利用向量坐标的运算求解x f(x)=ab的解析式，化简，再求解内层函数的范围，即可求解值域；（3）根据平移变换的规律请 的解析式，f(x) g(x)可得 的解析式，结合三角函数的性质即可判断是否关于直线 对称.h(x)试题解析：(1) ， ，|a|= 4sin2x+1= 2又 ， 或 .（2） ，2
8、x+66,76) ，sin(2x+6)(-12,1故 在 上的值域为 .f(x)（3） ，g(x)=f(x+6)=2sin(2x+2)=2cos2x ，h(x)=cos(2x-2)+(x-1)2-1 的图象关于直线 对称 .h(x) x=120. 如下图，在三棱锥 中， ， 底面 ， ，且PACD PB BCAD,AC= 10,PC= 5.cosACP=210（1）若 为 上一点，且 ，证明:平面 平面 .BEAC PBE（2）若 为棱 上一点，且 平面 ，求三棱锥 的体积.Q BQ/ PAC QACD【答案】 （1）见解析；（2） .第页 11【解析】试题分析：（1）由 底面 ，得 ，又 ，
9、故 平面PB ACD PBAC AC PBE试题解析：（1）证明：由 底面 ，得 ，又 ，故 平面PB ACD PBAC AC PBE 平面 ，平面 平面 .PAC PBE PAC（2）解： ， ，则AP= 13 AB2+BC2=10BC2+PB2=5AB2+PB2=13 AB=3BC=1PB=2 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ，BQ/ BQ PAD过 作 ，交 于点 ，则 ， .VQ-ACD=13121241=1321. 已知函数 .f(x)=lnxa2x+2a(aR)（1）讨论 在 上的单调性；f(x)（2）是否存在实数 a，使得 在 上的最大值为 ,若存在，求满足条件的 a 的个数；
10、若不f(x)存在，请说明理由.【答案】 （1）当 时， 在 上递增；当 或 时， ， 在 上递减；当a=0 f(x) (1,+) a1 a1 f(x)1) a=0 f(x) (1,+) a1在 上递减,当 且 时，令 得 ,即可得 在 上递增，在 上递减. f(x) a0 f(x)=0 f(x) (1,1a2) (1a2,+)（2）由（1）知 即 ，即 ，2a-2ln|a|-1=a3+4a-2ln|a|设 ，易知 为增函数，且 ，所以 的唯一零点在 上,a 的个数即g(x)=x3+2x+1 g(x) g(-1)0 g(x) (-1,0)得解.试题解析：第页 12（1） ，f(x)=1-a2xx
11、(x1)当 时， 在 上递增f(x)当 即 或 时， ， 在 上递减a21 f(x)0 11a2 在 上递增，在 上递减.f(x) (1,1a2) (1a2,+)综上，当 时， 在 上递增；当 或 时， ， 在 上递减；当a=0 f(x) a-1 a1 f(x)且 时， 在 上递增，在 上递减 .a0 f(x)（2）易知 ， 在 上递增，在 上递减.f(x) (0,1a2) f(x)max=f(1a2)=ln1a2-1+2a=2a-2ln|a|-1 ，即 ，设 ，易知 为增函数，且 ，g(x) 的唯一零点在 上，存在，且的个数为 1.g(x) (-1,0)点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性
12、，考查利用导数求函数的最大值，考查零点存在性定理，考查分类讨论的思想，属于中档题.22. 已知函数 的图象与 轴相切，且切点在 轴的正半轴上.x（1）若函数 在 上的极小值不大于 ，求 的取值范围.g(x)=f(x)+mx (3,a) m1 m（2）设 ，证明： 在 上的最小值为定值 .F(x)=(x2)exkf(x)(k13) F(x) 0,+)【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由图像与 x 轴相切，可知 ，可求得 ,又 x0,所以 f(1)=0.可求得 a=2.所f(x)=0 x=1以 ， ，要有极小值所以 ，所以 在 处取得极小值，m-30 x 3-m3 g(x)
13、 x= 3-m3当 ，即 时， 在 上无极小值，3-m32 g(x) (-3 ， 2)故当 时， 在 上有极小值，-90 x1 F(x)0 0x1【点睛】可导函数 y=f(x)在 处的导数就是曲线 y=f(x)在 处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导x=x0 x=x0数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知 y=f(x)在处的切线是 ,若求曲线 y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点 ,把(m,n)代x=x0 yf(x0)=f(x0)(xx0) (x0,f(x0)入 ,求出切点，然后再确定切线yf(x0)=f(x0)(xx0) 方程.第页 14第（2）问，F(x)最小值是定值，显然不能与 k 有关，所以可以猜到 k 的系数必需为 0，即 ，x3-3x+2=0所以 ,x=1 再进行证明。(x1)2(x+2)=0
