1、页 1 第2018 届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在复平面内，复数的对应点为（1，-1） ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为复数的对应点为（1，-1） ，所以 ，故 .所以选 D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要
2、的失分2. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 或 ， ，所以 ，故选 B.3. “ ”是“ ”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，因为 ，所以，必要性成立，因为 或 ，则当 时，充分性不成立，故选 B.4. 直线 l1：2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y-2=0 平行，则 m 的值为( )A. 2 B. -3 C. 2 或-3 D. -2 或-3【答案】C【解析】因为直线 : 与直线 : 平行，则斜率相等，即页 2 第，选 C5. 记 为等差数
3、列 的前 项和若 ， ，则 的公差为A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】C【解析】设公差为 ， ， ，联立解得 ，故选 C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 为等差数列，若，则 .6. 在 中， ， 分别为边 ， 上的点，且 ， ，若 ， ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 7. 一个几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体的为组合体，左边为三棱柱，右边为半圆柱，其体积为。故选 A。点睛：由三视图求解几何体体积的解题策略(1)以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象
4、原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解页 3 第(2)求几何体的体积时，若所给定几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解，若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等方法求解8. 数列 中，已知对任意正整数 ，有 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 （ ）当 也适合 ，故所以 是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，所以 ，故选 B.9. 函数 ， （其中 ， ， ）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）A. B
5、. C. D. 【答案】A【解析】由图象可知 A=1，周期 ，所以 ，又过点 ，所以 ，即 ，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 ，故选 A.10. 某校高三(1)班每周都会选出两位“进步之星” ，期中考试之后一周“进步之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋” ，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星” ，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“进步之星”是（ ）A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、 小谭 D. 小赵、小宋页 4 第【答案】A【解析】
6、小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星” ，是真话；小谭说：“小赵说的对” ，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭故选：A11. 已知实数 满足 若 的最大值为 10，则 （ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C【解析】作出可行域如图：目标函数 可化为 ，作出直线 ，移动直线，当直线过点 B 时，取得
7、最大值 10，所以 ，解得 ，故选 B.点睛：本题考查线性规划问题，涉及到目标函数中有参数问题，综合性要求较高，属于难题解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题参数为直线的斜率，所以可以考虑斜率的正负进行讨论， ，显然直线越上移越大，当直线过 B 时最大12. 已知函数 的图象上存在点 .函数 的图象上存在点 ，且 关于原点对称，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题知 有解，令 ， ，故函数在 递减，在 递增，所以 ，解得 .点睛：本题主要考查图像的对称性，考查函数导数与单调区间、极值的求解.题目论述两个函数图像上存页 5 第在点
8、关于原点对称，即其中一个函数对称之后和另一个函数有交点，将分离常数后利用导数，即可求得的取值范围.在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围.二、填空题:(本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分.)13. 若 ，则 =_.【答案】【解析】因为 ，所以 ，所以 ，故填 .14. 已知实数 ， ，则 的取值范围是_【答案】(-24,8)【解析】当 时, ;当 时, ;即 的取值范围是15. 长方体的长，宽，高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_.【答案】【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ，则球 的表面积为.16. 在研究函数 的性质时，某
9、同学受两点间距离公式启发将 变形为，并给出关于函数 以下五个描述：函数 的图像是中心对称图形； 函数 的图像是轴对称图形；函数 在0,6上是增函数； 函数 没有最大值也没有最小值；无论 m 为何实数，关于 x 的方程 都有实数根.其中描述正确的是_.【答案】【解析】由 得，故函数 的图象关于 对称，故正确；由意义知当 时， ，当 时， ，故函数 的图像是轴对称图形不成立，故不正确；当 时， 单调增,单调减，故 单调增，故正确；设 ， ， ，由其几何意义可得 表示 ，故当 时， ，当 时， ，故函数 没有最大值也没有最小值，故 正确；当页 6 第时，由可知，方程 无解，则错误；故答案为.点睛：本
10、题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，综合考查学生的分析能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用；利用中心对称和轴对称的定义和性质可准确判断出的正确性；利用函数单调性的定义可得增减型，结合三角形中两边之差小于第三边，可得到后三者的准确性.三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上.（1）求证：数列 为等差数列；（2）设 是数列 的前 项和，求 .【答案】(1)见解析;（2） .【解析】试题分析：(1)先求出 ,然后利用 时， 代入求解,最后验证首项即可;(2)将 进行裂项,即 ,然后
11、进行求和,消去一些项即可求出数列 的前 n项和.试题解析：(1)依题意， ，即 ，时， 当 时， 符合上式，所以 .又 ， 是一个以 1 为首项，6 为公差的等差数列. （2）由（1）知，故 .18. 在 中， ， 页 7 第（1）若 ，求 的长（2）若点 在边 上， ， ，为垂足， ，求角 的值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析: 先求 CD，在BCD 中，由正弦定理可得： 结合BDC=2A，即可得结论解：（1）设 ，则由余弦定理有：即解得：所以（2）因为 ，所以 .在 中，由正弦定理可得： ，因为 ，所以 .所以 ，所以 .19. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销
12、费用为 万元时，销售量万件满足 ，现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本 万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为 万元/万件.（1）将该产品的利润 万元表示为促销费用 万元的函数；（2 ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.【答案】 （1）y=25（ +x） ， （ ） （2）促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大。页 8 第【解析】试题分析：（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得 y=t(5+ ）)(10+2t）x=3t+10x，又销售量 t 万件满足t=5 ，整理化简可得 y=25（ +x）；（2）将函数方程整理为对勾函数形式 y =28（ +x+3）
13、，利用基本不等式得到 = x +3，即 x =3 时，得到利润最大值为 。试题解析：（1）由题意知，利润 y=t(5+ ）)(10+2t）x=3t+10x由销售量 t 万件满足 t=5 （其中 0xa， a 为正常数） 代入化简可得：y=25（ +x），（0xa， a 为正常数）（2）由（1）知 y =28（ +x+3） ，当且仅当 = x +3，即 x =3 时，上式取等号当 a3 时，促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大； 当 0a3 时，y 在 0x a 上单调递增，x = a，函数有最大值促销费用投入 x = a 万元时，厂家的利润最大 综上述，当 a3 时，促销费用投入 3 万元
14、时，厂家的利润最大；当 0a3 时，促销费用投入 x = a 万元时，厂家的利润最大20. 在三棱锥 中， 和 是边长为 的等边三角形， ， 分别是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证: 平面 ；（3）求三棱锥 的体积 .页 9 第【答案】 （1）见解析（2）见解析（3） .【解析】试题分析：（1）欲证 OD平面 PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 OD 与平面 PAC 内一直线平行，而 ODPA，PA平面 PAC，OD平面 PAC，满足定理条件； （2）欲证平面 PAB平面 ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面 PAB 内一直线与平面 ABC 垂直，而根据题意可得 PO
15、平面 ABC； （3）根据 OP 垂直平面 ABC 得到 OP 为三棱锥 P-ABC 的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥 P-ABC 的体积又因为 D 为 PB 中点，所以高是 PO 的一半. 试题解析：（1） 分别为 的中点， .又 平面 , 平面 ， 平面 .（2）连接 , 为 中点， , .同理， .又 ， ， . . ， 平面 .（3）由（2）可知 平面 ， 为三棱锥 的高，且 . .21. 已知函数 .(1）若函数 在 上单调递增，求实数的取值范围.(2）记函数 ，若 的最小值是 ，求函数 的解析式.【答案】 （1） ；（2）页 10 第【解析】试题分析：（1）由 ，知 在 上恒
16、成立，构造函数，利用导数性质，能求出实数的取值范围（2）由 ，知 ，由 时， 恒成立知 ，由此能求出函数 的解析式试题解析： 在 上恒成立令 恒成立, 在 单调递减， (2) 易知 时, 恒成立 在 单调递增，无最小值 ,不合题意 令 ,则 (舍负) ，由此可得,在 上单调递减，在 上单调递增，则 是函数的极小值点， 解得 ， 22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数） 是 上的动点， 点满足点的轨迹为曲线 （1）求曲线 的普通方程；页 11 第（2）在以 为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与曲线 的异于极点的交点为 ，与曲线的异于极点的交点为 ，求 【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：(1)通过 消参,化为普通方程； (2)利用直线方程的极坐标的集合意义求.试题解析：（1）设 ，则由条件知 ，由于 点在 上，所以 即 消去参数，得 ，即 的普通方程为 （2 ）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，射线 与 的交点 的极径为 ，射线 与 的交点 的极径为 所以 考点：1.参数方程化为普通方程；2.直线的极坐标方程的几何意义.
