1、页 1 第2018 届江西省赣州市寻乌中学高三上学期期中考试数学（理）试题试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选 C.2. 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量 ， ，由 ，得 ，解得： ，故选 B.3. 已知向量 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ， ，故选 C.考点：向量的运算.4. 已知 ，则 的值为（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】B页 2 第【解析】 ，则 ，故选 B.5. 莱因德纸草书 （Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把 100个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两分之和，则最小的 1 份为（ ）A. B. C. D. 【答案】C.6. 等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 ， ， ，若 ，则 ， 不成立；若 成立，则 ，又 ， ， ， 成立， 综合可知， “ ”是“ ”必要而不充分条件，故选 B.7
3、. 已知函数 （， ）的图象如图所示，它与 轴相切于原点，且 轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为 ，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C页 3 第考点：定积分在求面积中的应用【 思路点睛 】 由图可知 得到 的解确定出 的值，确定出 的解析式，由于阴影部分面积为 ，利用定积分求面积的方法列出关于的方程求出并判断的取舍即可8. 已知函数 是定义域为 的偶函数，且 ，若 在 上是减函数，记 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，函数是周期为 2 的周期函数； 为偶函数， 在 上是减函数， 在 上单调递增，并且 ， ， ， ，故选 A.点睛：本题主要
4、考查偶函数的定义，函数的单调性，首先根据 得函数为周期函数，偶函数在其对称区间内单调性相反，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间 上，根据单调性去比较函数值大小.9. 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数 在区间 和 上均单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，得，由 ，得 ，当 时，函数的增区间为 ，当 时，函数的增区间为 ，要使函数 在区间 和 上均单调递增，则，解得 ，故选 B.点睛：本题考查三角函数的图象变换，考查了 型函数的性质，是中档题；由函数的图象平移页 4
5、 第求得函数 的解析式，进一步求出函 的单调增区间，结合函数 在区间 和 上均单调递增列关于的不等式组求解.10. 已知数列 满足 （ ） ， ，且 ，若 为数列 的前 项和，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】数列a n满足 （ ） ， 为等差数列， ，且 ，设公差为 ，解得 ， ， ，设 ，则 ，当， ，函数单调递减，当 ， ，函数单调递增，当 时，当 时， ， 的最小值为 ，故选 D.11. 已知函数 （其中为自然对数的底数） ，则 的大致图象为（ ）A. B. 页 5 第C. D. 【答案】D【解析】令 ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，又， 有两个实数解
6、， ， ， ， ， ，且当时， ， ，当 时， ， ，当 时， ， ，只有选项C 符合，故选 C.12. 定义在 上的函数 满足： ， ， 是 的导函数，则不等式 （其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ，（ ） ，则 ， ， ， 在定义域上单调递增， ， ，又， ， ，不等式的解集为 ，故选 A.点睛：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键；构造函数 ，（ ） ，研究 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 .第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸
7、上）13. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是， ， ， ， ， ，则 _【答案】【解析】 ， ， ，由正弦定理 ，得 ， 可得 B 是锐角，页 6 第，因此， ，故答案为 .14. 已知 ， 满足 且 的最大值与最小值的比值为 ，则的值是_【答案】【解析】由 可得 ， ，不等式组表示的平面区域如图所示的 ，由 可得 ，则表示直线 在 轴上的截距，截距越大，越小，作直线 ： ，把直线向可行域平移，当直线经过 A 时最小，由 ，可得 ，此时 ，当直线经过点 B 时，最大， ，此时 ，故 ，解得 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步
8、骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 一艘海轮从 出发，以每小时 海里的速度沿东骗西 方向直线航行，30 分钟后到达 处，在 处有一座灯塔，海轮在 观察灯塔，其方向是东偏南 ，在 处观察灯塔，其方向是北偏东 ，则 ， 两点间的距离是_海里【答案】【解析】如图，页 7 第由已知可得， ， ， ，从而 ，在 中，由正弦定理可得，故答案为 .16. 数列 满足 （ ， ） ， 是 的前 项和，若 ，则 _【答
9、案】【解析】设 ，由 得： ， ， ，故，故答案为 4.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在 中，点 在边 上， ， ， （1）求 的值；（2）若 的面积为 7，求 的长【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求 ，由 ，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求 的值，再利用三角形面积公式求得 ，与余弦定理即可得解 的长度.试题解析：（1）因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 页 8 第（2）在 中，由正弦定理 ，故 又 ，解得 在 中，由余弦定
10、理得.18. 已知数列 的前 项和为 ， ， （ ） （1）求数列 的通项公式；（2）设 （ ） ，数列 的前 项和为 ，证明： （ ） 【答案】(1) (2)见解析.【解析】试题分析：（1）由数列递推式结合 ，可得 （ ） ，然后利用累积法求得数列通项公式；（2）把数列 的通项公式代入 ( )，然后利用裂项相消法求和，放缩得答案试题解析：（1）当 时， ，解得 ；当 时， ， ，以上两式相减，得 ， ， ，页 9 第（2）当 时， ；当 时， ， ， （ ） 点睛：本题主要考查了 这一常用等式，需注意 的范围，累乘法求通项公式以及数列求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法
11、有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于，其中 为等差数列， 为等比数列等.19. 在 中，内角 ， ， 所对边长分别为， ， ， ， ， （1）求 的最大值；（2）求函数 的值域【答案】(1) 的最大值为 16;(2) 值域为 .【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，代入余弦定理可得 ，由基本不等式可得，进而可得 的最大值；（ 2）结合（1）可得 ，进而可得的范围，利用辅助角公式将函数化为 ，由三角函数的知识可得所求 .试题解析：（1） ， ，即 ，又 ，所以 ，即 的最大值为 16，当且仅当 ， 时取得最大值（2）结合
12、（1）得， ，所以 ，又 ，所以 ，因为 ，所以 ，当 ，即 时， ，当 ，即 时， ，页 10 第所以，函数 的值域为 20. 已知数列 是公差为正数的等差数列，其前 项和为 ，且 ， （1）求数列 的通项公式；（2）数列 满足 ， .求数列 的通项公式；是否存在正整数 ， （ ） ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) ；存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列.【解析】试题分析：（1）直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）把数列 的通项公式代入 ，然后裂项，累加后即可求
13、得数列 的通项公式；假设存在正整数 ， （ ） ，使得 ， ， 成等差数列，则 ，由此列关于 的方程，求解得答案.试题解析：（1）设数列 的公差为 ，则 由 ， ，得 解得 或 （舍去） 所以 （2）因为 ， ，所以 ，即 ， ， ， （ ）累加得 ，所以 ，也符合上式，故 ， 假设存在正整数 、 （ ） ，使得 ， ， 成等差数列，则 又 ， ， ，所以 ，即 ，化简得： ，当 ，即 时， （舍去） ；页 11 第当 ，即 时， 符合题意所以存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列21. 已知为常数， ，函数 ， （其中是自然对数的底数）.（1）过坐标原点 作曲线 的切线，设切点为 ，求证
14、： ；（2）令 ，若函数 在区间 上是单调函数，求的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）先对函数求导， ，可得切线的斜率 ，即，由 是方程的解，且 在 上是增函数，可证；（2）由， ，先研究函数 ，则，由 在 上是减函数，可得 ，通过研究 的正负可判断的单调性，进而可得函数 的单调性，可求出参数范围.试题解析：（1） （ ） ，所以切线的斜率 ，整理得 ，显然， 是这个方程的解，又因为 在 上是增函数，所以方程 有唯一实数解，故 （2） ， ，设 ，则 ，易知 在 上是减函数，从而 当 ，即 时， ， 在区间 上是增函数，页 12 第 ， 在 上恒成立，即 在 上恒成立
15、 在区间 上是减函数，所以 满足题意 当 ，即 时，设函数 的唯一零点为 ，则 在 上递增，在 上递减，又 ， ，又 ， 在 内有唯一一个零点 ，当 时， ，当 时， .从而 在 递减，在 递增，与在区间 上是单调函数矛盾. 不合题意综上得， 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在极坐标系中，圆 的极坐标方程为： 若以极点 为原点，极轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系（1）求圆 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点 是圆 上动点，试求 的最大值，并求出此时点 的直角坐标【答案】(1) 圆 的参数方程为 ;(2) 点 的直角坐标为 .【解析】试题分析
16、：（1）极坐标转化为参数方程，先化为标准方程，再化为参数方程，利用 ，解题；（2）设 ，代入圆 ，得到 的最大值为 ，点 的直角坐标为 .试题解析：解：（1）因为 ，所以 ，即 为圆 的直角坐标方程，所以圆 的参数方程为 为参数）.（2）设 ，得 ，代入 ，整理得 ，则关于 的方程必有实数根，所以 ，页 13 第化简得 ，解得 ，即 的最大值为 ，将 代入方程得 ，解得 ，代入 ，得 ，故 的最大值为 时，点 的直角坐标为 .23. 已知 ， 都是实数， ， （1）若 ，求实数 的取值范围；（2）若 对满足条件的所有 ， 都成立，求实数 的取值范围【答案】(1) 实数 的取值范围为 ;(2)
17、实数 的取值范围为 【解析】试题分析：（1）化简函数 的解析式，由 得 或 求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由题可得 ，由绝对值不等式可得 的最小值为 2，可得 ，再根据 的解集，求得 的解集.试题解析：（1） ，由 得 或解得 或 ，故所求实数 的取值范围为 （2）由 且 ，得 ，又 ， ， 的解集为 ， 的解集为 ，所求实数 的取值范围为 点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
