1、2017 届重庆市綦江区八校联盟高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 A=x|1x2 ，B=x |0x4，则 AB=（ ）Ax |0x2 Bx|1x2 Cx|0x 4 Dx|1x 42命题“x0，x 22x+10”的否定是（ ）A x0，x 22x+10 Bx0，x 22x+10C x0 ，x 22x+10 Dx0，x 22x+103在复平面内，复数 Z= （i 是虚数单位） ，则复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（
2、 ）A4 B5 C6 D75如果 cos= ，且 是第四象限的角，那么 cos（+ ）=（ ）A B C D6已知 a=log23，b=log 3，c= ，则（ ）Acba Bcab Cab c Dacb7如果实数 x，y 满足条件 ，那么 2xy 的最大值为（ ）A2 B1 C2 D 38已知数列a n的通项公式为 an= ，那么数列a n的前 99 项之和是（ ）A B C D9某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D10已知ABC 的三个内角为 A，B ，C，若函数 f（x ）=x 2xcosAcosBcos2 有一零点为 1，则ABC 一定是（ ）A等腰三角
3、形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形11已知函数 ，则关于 a 的不等式 f（a2）+f（a 24）0 的解集是（ ）A B （ 3，2） C （1，2） D12设函数 f（x ）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x ） ，且有2f（x）+xf（ x）0 ，则不等式（x+2016） 2f（x+2016）4f（2）0 的解集为（ ）A （ ，2016） B （ 2018，2016） C （ 2016，2） D （2，0）二.填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13已知向量 =（1，m） ， =（3， 2）且（ + ）
4、，则 m= 14在等差数列a n中，已知 a1+a2=5，a 4+a5=23，则该数列的前 10 项的和 S10= 15已知 A（ 1，3） ，B （a，1） ，C（b ，0） ， （a0，b 0） ，若 A，B，C 三点共线，则 + 的最小值是 16设函数 f（x ）= ，若 f（x ）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数 f（x ）=2cos（ x）cos （x+ ）+ （）求函数 f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）求函数 f（x）在区间 0， 上的值域18已知数列a n是等
5、差数列，前 n 项和为 Sn 且满足 a3a1=4，S 3=12（1）求数列a n的通项公式； （2）设 bn=an2n1，求数列b n的前 n 项和 Tn19在ABC 中，角 A，B ，C 对边分别为 a，b，c ，若 bcosA+acosB=2ccosC（）求角 C 的大小；（）若 a+b=6，且ABC 的面积为 2 ，求边 c 的长20如图，ADM 是等腰直角三角形，ADDM ，四边形 ABCM 是直角梯形，ABBC，MCBC，且 AB=2BC=2CM=2，平面 ADM平面 ABCM（1）求证：AD BD ；（2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，三棱锥 MADE
6、 的体积为 ？21已知函数 f（x ）=xlnx，g（x）=ax 3 （1）求 f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数 y=f（x）与函数 y=g（x ）在交点处存在公共切线，求实数 a 的值；（3）若 x（0，e 2时，函数 y=f（x ）的图象恰好位于两条平行直线l1：y=kx ；l 2：y=kx +m 之间，当 l1 与 l2 间的距离最小时，求实数 m 的值请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点为极点，X 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直
7、线 l 的极坐标方程为sin（ ）= （1）求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；（2）若 l 和 C 交于 A，B 两点，且 Q（2，3） ，求| QA|+|QB|选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 0 分）23设不等式2|x1|x +2|0 的解集为 M，a、bM，（1）证明：| a+ b| ；（2）比较|14ab |与 2|ab|的大小，并说明理由2017 届重庆市綦江区八校联盟高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 A=x|1x2 ，B=x |0x4，则 AB=
8、（ ）Ax |0x2 Bx|1x2 Cx|0x 4 Dx|1x 4【考点】交集及其运算【分析】找出 A 和 B 解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集【解答】解：A=x|1x2，B=x |0x4，AB=x |0x2故选 A2命题“x0，x 22x+10”的否定是（ ）A x0，x 22x+10 Bx0，x 22x+10C x0 ，x 22x+10 Dx0，x 22x+10【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：特称命题的否定是全称命题命题“x 0，x 22x+10 的否定是x 0，x 22x+10故选：C3在复平面内，复数 Z= （i 是虚数单位） ，则
9、复数 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出 ，再进一步求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：Z= = ，则 则 在复平面内对应的点的坐标为：（1，1） ，位于第一象限故选：A4执行如图所示的程序框图，输出的 k 值是（ ）A4 B5 C6 D7【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出 k 的值【解答】解：第一次循环：n=35+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n= =8，k=1+1=2
10、，继续循环；第三次循环：n= =4，k=2+1=3 ，继续循环；第四次循环：n= =2，k=3+1=4 ，继续循环；第五次循环：n= =1，k=4+1=5 ，结束循环输出 k=5故选 B5如果 cos= ，且 是第四象限的角，那么 cos（+ ）=（ ）A B C D【考点】三角函数的化简求值【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sin，进而利用两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可得解【解答】解：cos= ，且 是第四象限的角，sin= = ，cos（+ ）=coscos sinsin = + = 故选：C6已知 a=log23，b=log 3，c= ，则（ ）Acba Bca
11、b Cab c Dacb【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的图象与性质，得 a1，b0；利用幂的运算法则，得出 0c 1；即可判定 a、b 、c 的大小【解答】解：由对数函数 y=log2x 的图象与性质，得 log23log 22=1，a 1；由对数函数 y= x 的图象与性质，得 3 1=0，b0；又c= = ，0c1；a cb故选：D7如果实数 x，y 满足条件 ，那么 2xy 的最大值为（ ）A2 B1 C2 D 3【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2xy 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可
12、【解答】解：先根据约束条件 画出可行域，当直线 2xy=t 过点 A（0，1）时，t 最大是 1，故选：B8已知数列a n的通项公式为 an= ，那么数列a n的前 99 项之和是（ ）A B C D【考点】数列的求和【分析】由 an= = =2（ ） ，利用裂项求和法能求出数列a n的前 99 项之和【解答】解：数列a n的通项公式为 an= = =2（ ） ，数列a n的前 99 项之和：S99=2（1 ）=2（1 ）= 故选：C9某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出
13、几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥 PABCD 中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以 2 为边长的正方形、高是 2，圆锥的底面半径是 1、高是 2，所求的体积 V= = ，故选：B10已知ABC 的三个内角为 A，B ，C，若函数 f（x ）=x 2xcosAcosBcos2 有一零点为 1，则ABC 一定是（ ）A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形【考点】三角形的形状判断；三角函数的化简求值【分析】利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简表达式求解即可【解答】解：知ABC 的三个内角为 A，B ，C，函数 f（x ）=x
14、2xcosAcosBcos2有一零点为 1，可得 1cosAcosBcos2 =0，即：cosAcosB+ =0可得 2cosAcosB=1+cos（A+B ） ，即 cosAcosB+sinAsinB=1，cos（AB ）=1，ABC 的三个内角为 A，B，C ，可得 A=B，三角形是等腰三角形，故选：A11已知函数 ，则关于 a 的不等式 f（a2）+f（a 24）0 的解集是（ ）A B （ 3，2） C （1，2） D【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式 f（a2）+f（a 24）0 化为1a 2
15、4a 21，解不等式组可得答案【解答】解：函数的定义域为（1，1）f（ x）= sinx=f（x ）函数 f（x ）为奇函数又f（x）= +cosx0，函数 在区间（1，1）上为减函数，则不等式 f（a 2）+f（a 24）0 可化为：f（a2）f（a 24）即 f（a2）f（4a 2） ，即 1a 24 a21解得 a2故关于 a 的不等式 f（a 2）+f（a 24）0 的解集是（ ，2） 故选：A12设函数 f（x ）是定义在（ ，0）上的可导函数，其导函数为 f（x ） ，且有2f（x）+xf（ x）0 ，则不等式（x+2016） 2f（x+2016）4f（2）0 的解集为（ ）A （
16、 ，2016） B （ 2018，2016） C （ 2016，2） D （2，0）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：构造函数 g（x）=x 2f（x） ，g（x）=x（2f（x）+xf（x ） ） ；x0 时，2f（x）+xf （x）0，g（x）0，g （x）在（，0）上单调递减，（x+2016 ） 2f（x +2016） 4f（ 2）0，（x+2016 ） 2f（x +2016）4f（2） ，g （x+2016 ）g（2） ， ，解得：2018 x2016，故选：B二.填空题：（本大题共 4
17、 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13已知向量 =（1，m） ， =（3， 2）且（ + ） ，则 m= 8 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为 0 进行求解即可【解答】解：（ + ） ，（ + ） =0，即（4，m2）（3，2）=0 即 122（m2）=0，得 m=8，故答案为：814在等差数列a n中，已知 a1+a2=5，a 4+a5=23，则该数列的前 10 项的和 S10= 145 【考点】等差数列的前 n 项和【分析】利用等差数列的通项公式先求出首面和公差，由此能求出该数列的前10 项的和【解答】解：在等
18、差数列a n中，a 1+a2=5，a 4+a5=23， ，解得 a1=1，d=3， =145故答案为：14515已知 A（ 1，3） ，B （a，1） ，C（b ，0） ， （a0，b 0） ，若 A，B，C 三点共线，则 + 的最小值是 11+6 【考点】基本不等式；三点共线【分析】由 A（1，3） ，B（a，1） ，C（ b，0） ， （a0，b 0） ，A，B，C 三点共线，可得 kAB=kAC，化为 3a+2b=1再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：A（1，3） ，B （a，1） ，C（ b，0） ， （a0，b 0） ，A，B，C 三点共线，k AB=kAC，
19、= ，化为 3a+2b=1则 + =（3a+2b） =11+ 11 +32 =11+6 ，当且仅当 a= b 时取等号故答案为：11+6 16设函数 f（x ）= ，若 f（x ）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 3，+） 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令 y=3xa=0，则 x=log3a，令 y=（x 3a） （x2a）=0 ，则 x=2a，或x=3a，根据 f（x）恰有 2 个零点，分类讨论满足条件的 a 值，可得答案【解答】解：令 y=3xa=0，则 x=log3a，令 y=（x3a） （x2a）=0，则 x=2a，或 x=3a，若 a0 时，则 x=log3a 无
20、意义，此时函数无零点；若 0a3 ，则 x=log3a1 必为函数的零点，此时若 f（x）恰有 2 个零点，则，解得：a ，若 a3，则 x=log3a1 必不为函数的零点，2a1，3a1 必为函数的零点，此时 a3，+） ，综上可得实数 a 的取值范围是： 3，+ ） ，故答案为： 3，+）三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知函数 f（x ）=2cos（ x）cos （x+ ）+ （）求函数 f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）求函数 f（x）在区间 0， 上的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】 （）
21、利用诱导公式、辅助角公式化简函数，即可求函数 f（x ）的最小正周期和单调递减区间；（）x0， ，2x + ， ，由此求函数 f（x）在区间0， 上的值域【解答】解：（） f（x ）=2cos （ x）cos（x+ ）+ =sinxcosx sin2x+=sin（2x+ ） T= = 由 2k+ 2x+ 2k+ ，可得单调递减区间为 k+ ，k+ （kZ ） （）x0， ，2x + ， 当 2x+ = ，即 x= 时，f（x） max=1当 2x+ = m 即 x= 时，f （x）min=f（ x）值域为 ，118已知数列a n是等差数列，前 n 项和为 Sn 且满足 a3a1=4，S 3=1
22、2（1）求数列a n的通项公式； （2）设 bn=an2n1，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （1）令 n=1，求出首项，再由当 n2 时，2a n=2Sn2Sn1，即可得到an=an1+1，由等差数列的通项公式，即可得到通项；（2）运用数列的求和方法：错位相减法，注意运用等比数列的求和公式，化简整理，即可得到【解答】解：（1）设等差数列a n为 d，a 3a1=4，S 3=12，2d=4，3a 1+3d=12，解得 a1=2，d=2，故 an=2+2（n 1）=2n ；（2）b n=an2n1=n2n，则 Tn=12+222+323+n2n，2Tn=1
23、22+223+324+（n 1）2 n+n2n+1得，T n=2+22+23+2nn2n+1= n2n+1则 Tn=（n1）2 n+1+219在ABC 中，角 A，B ，C 对边分别为 a，b，c ，若 bcosA+acosB=2ccosC（）求角 C 的大小；（）若 a+b=6，且ABC 的面积为 2 ，求边 c 的长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】 （）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB= 2sinCcosC，化简可得 cosC= ，结合 C 的范围求 C 的值；（）由 a+b=6 得 a2+b2+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出 ab 的值，进而求出 a2
24、+b2 的值，利用余弦定理求出 c 的值【解答】解：（）由题意知，bcosA+acosB= 2ccosC，正弦定理可得 sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，sin（ A+B）=2sinCcosC，由 A，B，C 是三角形内角可知，sin（A +B）=sinC 0，cosC= ，由 0C 得，C= ；（）a+b=6，a 2+b2+2ab=36，ABC 的面积为 2 ， ，即 ，化简得，ab=8，则 a2+b2=20，由余弦定理得，c 2=a2+b22absinC=202 =28，所以 c= 20如图，ADM 是等腰直角三角形，ADDM ，四边形 ABCM 是直角梯形，ABBC
25、，MCBC，且 AB=2BC=2CM=2，平面 ADM平面 ABCM（1）求证：AD BD ；（2）若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点 E 在何位置时，三棱锥 MADE 的体积为 ？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】 （1）根据平面几何知识可证明 AMBM，故而 BM平面 ADM，于是BMAD，结合 ADDM 可得 AD平面 BDM，于是 ADBD；（2）令 ，则 E 到平面 ADM 的距离 d=BM= ，代入棱锥的体积公式即可得出 ，从而确定 E 的位置【解答】证明：（1）四边形 ABCM 是直角梯形，ABBC，MCBC，AB=2BC=2MC=2，B
26、M=AM= ，BM 2+AM2=AB2，即 AMBM平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM，BM 平面 ABCM，BM 平面 DAM，又 DA平面 DAM，BM AD，又 ADDM，DM平面 BDM，BM平面 BDM，DM BM=M，AD平面 BDM，BD 平面 BDM，ADBD（2）由（1）可知 BM平面 ADM，BM= ，设 ，则 E 到平面 ADM 的距离 d= ADM 是等腰直角三角形，ADDM ，AM= ，AD=DM=1，V MADE=VEADM= = 即 = E 为 BD 的中点21已知函数 f（x ）=xlnx，g（x）=ax 3 （1）求 f（x）的单调增
27、区间和最小值；（2）若函数 y=f（x）与函数 y=g（x ）在交点处存在公共切线，求实数 a 的值；（3）若 x（0，e 2时，函数 y=f（x ）的图象恰好位于两条平行直线l1：y=kx ；l 2：y=kx +m 之间，当 l1 与 l2 间的距离最小时，求实数 m 的值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （1）求出 f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（2）分别求出导数，设公切点处的横坐标为 x，分别求出切线方程，再联立解方程，即可得到 a；（3）求出两直线的距离，再令 h（x）=xlnx（lnx +1）xx ，求出导数，运用单调性即可得到最
28、小值，进而说明当 d 最小时，x =e，m= e【解答】解：（1）因为 f（x ）=lnx +1，由 f（x）0，得 ，所以 f（ x）的单调增区间为 ，又当 时，f（x）0，则 f（x）在 上单调减，当 时，f（x）0，则 f（x）在 上单调增，所以 f（ x）的最小值为 （2）因为 f（ x）=lnx+1， ，设公切点处的横坐标为 x，则与 f（ x）相切的直线方程为： y=（lnx +1）xx ，与 g（ x）相切的直线方程为： ，所以 ，解之得 ，由（1）知 ，所以 （3）若直线 l1 过（e 2，2e 2） ，则 k=2，此时有 lnx+1=2（x 为切点处的横坐标） ，所以 x=e
29、，m=e，当 k2 时，有 l2：y=（lnx +1）xx ，l 1：y= （lnx +1）x ，且 x2，所以两平行线间的距离 ，令 h（x）=xlnx（lnx +1）x+x ，因为 h（x）=lnx+1lnx 1=lnxlnx，所以当 xx 时，h （x）0，则 h（x）在（0，x ）上单调减；当 xx 时， h（x）0，则 h（x）在 上单调增，所以 h（x）有最小值 h（x ）=0，即函数 f（x ）的图象均在 l2 的上方，令 ，则 ，所以当 xx 时，t（x） t（x ） ，所以当 d 最小时，x =e，m=e 请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
30、分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原点为极点，X 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为sin（ ）= （1）求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；（2）若 l 和 C 交于 A，B 两点，且 Q（2，3） ，求| QA|+|QB|【考点】参数方程化成普通方程【分析】 （1）消去参数求 C 的普通方程；求出 l 的直角坐标方程，即可求出 l 的倾斜角；（2）若 l 和 C 交于 A，B 两点，求出 A，B 的坐标，利用 Q（2，3） ，求|OA|+|QB|【解答】解：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参
31、数） ，普通方程是=1 由 sin（ ）= ，得 sincos=1 所以：xy+1=0，即直线 l 的倾斜角为：45 （2）联立直线与椭圆的方程，解得 A（0，1） ，B（ ， ） 所以|QA |=2 ，|QB|= 所以|QA |+|QB|= 选修 4-5：不等式选讲（共 1 小题，满分 0 分）23设不等式2|x1|x +2|0 的解集为 M，a、bM，（1）证明：| a+ b| ；（2）比较|14ab |与 2|ab|的大小，并说明理由【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法【分析】 （1）利用绝对值不等式的解法求出集合 M，利用绝对值三角不等式直接证明：| a+ b| ；（2）利用（1）的结果，说明 ab 的范围，比较|1 4ab|与 2|ab|两个数的平方差的大小，即可得到结果【解答】解：（1）记 f（x ）=|x1| |x+2|= ，由2 2x1 0 解得 x ，则 M=（ ， ） a 、b M， ，所以| a+ b| |a|+ |b| + = （2）由（1）得 a2 ， b2 因为|14ab |24|ab|2=（1 8ab+16a2b2）4（a 22ab+b2）=（ 4a21） （4b 21）0 ，所以|14ab |24 |ab|2，故 |14ab|2|a b|
