1、页 1 第2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第四次考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（每小题 5分，共 60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1. 设全集 U=R， 集合 ， ，则( C B) A= （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得： , ， = ，( ) A=故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地
2、，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 已知a n是公比为 q 的等比数列，且 a1，a 3，a 2 成等差数列，则 q( )A. 1 或 B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：根据题意，有 ，因为 ，所以 ，解得 1 或.考点：等比数列的通项公式，等差中项的定义.3. 给出下列四个命题：“若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题； “平面向量 , 的夹角是钝角”的充分不必要条件 是页 2 第若命题 ，则 ；命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”.其中不正确的个数是 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C
3、4. 已知 ，其中 为锐角，若 与 夹角为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】略5. 已知 为 的导函数，则 的图像是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： ， ，为奇函数，图像关于原点对称，故只能选，当 时， ，故答案选考点：函数与导数，函数图像页 3 第6. 已知数列 的前 项和为 ,则数列 的前 10 项和为 （ ）A. 56 B. 58 C. 62 D. 60【答案】D【解析】试题分析：当 时， ，当 时，则前 10 项依次为 所以数列 的前 10 项和为 60.考点：数列的通项公式与求和.7. 定义运算 a 1a4a 2a3 , 将函数 f(x)
4、 的图象向左平移 n(n0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 n 的最小值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意，f(x) ，图象向左平移 n(n0)个单位，即得到 为偶函数，则 ，又 ，令 ，得 n 的最小值为 .考点：新定义、三角函数的图像与性质8. 在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边长分别为 ，且满足 ，则 的最大值是（）A. 1 B. C. D. 3【答案】C【解析】csinA= acosC，由正弦定理可得 sinCsinA= sinAcosC，tanC= ，即 C= ，则 A+B= ，B= A，0A ，sinA+sinB=sinA+sin （
5、 A）=sinA+ =sinA+ cos A= sin（A ），页 4 第0A ， A+ ，当 A+ = 时，sinA+sinB 取得最大值 ，故选：C9. 设函数 ，则满足 的实数 的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：令 ，则 ，当 时， ，由 的导数为，当 时， 在 递增，即有 ，则方程无解；当 时，成立，由 ，即 ，解得 且 ；或 解得 ，即为 ，综上所述实数 的取值范围是 ，故选 C.考点：分段函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类
6、讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数 ，利用新函数的性质是解答的关键.10. 已知点 P 是ABC 的中位线 EF 上任意一点，且 EFBC，实数 x,y 满足 +x +y = ，设ABC、 PBC、 PCA、PAB 的面积分别为 S、S 、S 、S ，记 , , , 则 取最大值时，3 x+y 的值为( )A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】由条件可知 ， ，那么 ，等号成立的条件为，说明点 P 在线段 EF 的中点处，此时， ，所有 x=y=，3x+y=2，故选 D.页 5 第11. 已知函数 ， ，若
7、 与 的图象上分别存在点 关于直线 对称，则实数 的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设 为函数 上的一点,则 关于直线 的对称点为 在函数 上,所以 , ,则 ,所以 在 上为减函数,在 上为增函数,所以当 时 ,当 时 ,故 ,选 B.考点：1.函数图象的对称；2.利用导数研究函数的最值.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的最值,属于中档题.在本题中,先由两函数的图象存在点关于直线 对称,则设点 为函数 上,关于直线 的对称点为 在函数上,得到 ,再利用导数求出 的范围来.本题注意从对称找突破口.12. 已知数列 满足 ，且 则 的整数部分是()A. 0
8、 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】由得 ， 因此m又 因此，即 的整数部分是 2，故选 C点睛：本题重点考查了裂项相消法求和，利用页 6 第，通过取倒数，然后裂项进行相消，化简后，研究数列的单调性来判断 与 1 的大小关系，以确定 的整数部分.二、填空题（每小题 5分，共 20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13. 若 ，则 =_.【答案】【解析】 .故答案为：14. 设曲线 与轴、 轴、直线 围成的封闭图形的面积为 ，若 在上单调递减，则实数 的取值范围是_. 【答案】k0【解析】试题分析：由题意，先用定积分求出 b，再由 g（x ）=2lnx-2bx 2-kx 在1，+）
9、上单调递减，利用其导数在1，+）上恒小于 0 建立不等式求出实数 k 的取值范围根据题意可知，函数在给定区间上的定积分 ,g（x）=2lnx-x 2-kxg（x）=-2x-k, g（x）=2lnx-2bx 2-kx 在1 ，+ ）上单调递减，g（x）=-2x-k0 在1，+ ）上恒成立 ,即 k-2x 在1 ， +）上恒成立,-2x 在1 ，+）上递减， -2x0,k0,由此知实数 k 的取值范围是 0，+）,故答案为：0，+） 考点：定积分在求面积中的应用点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用定积分求出 b，再利用导数与单调性的关系将函数递减转化为导数值恒负，由此不等式恒成立
10、求出参数的范围，本题综合性很强，需要多次转化变形，运算量较大，解题时一定要注意变形正确，运算严谨，避免因变形，运算出错页 7 第15. 对于 正项数列，定义 为 的“光”值，现知某数列的“光”值为则数列 的通项公式为_【答案】 【解析】根据“光” 值的定义 ，及 a 1+2a2+ +nan= a 1+2a2+ +（n-1）an-1= -得 nan ，16. 把边长为 1 的正方形 如图放置， 、 别在 轴、 轴的非负半轴上滑动则 的最大值是_【答案】2【解析】设 ，则 ，所以 点睛：处理数量积问题主要手段有：定义法、代数法、几何法、基底法、极化恒等式等等，本题引入角参数，利用坐标法把问题转化为
11、三角函数的最值问题.三、解答题(本大题共 70 分=10 分+125 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且 （1）若 ，求 的值；（2）若 ，且 的面积 ，求 和 的值【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用余弦定理求解；(2)借助题设运用正弦定理及三角变换公式和三角形面积公式探求.试题解析：（1 ）由题意知：页 8 第（2 ）由 可得：，化简得 ，因为 ，所以 .8 分由正弦定理可知： ，又因为 ，故 ，由于 ，所以 ，从而 ，解得 .12 分考点：三角形的面积公式余弦定理三角变换公式等有关知识的综合运用.18.
12、 设数列 的前 n 项和为 ， 为等比数列，且 （1）求数列 和 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 n 项和 【答案】(1) ;(2) .【解析】略19. 已知向量 ， ，且函数 .（1）当函数 在 上的最大值为 3 时，求 的值；（2）在（ 1）的条件下，若对任意的 ，函数 ， 的图像与直线 有且仅有两个不页 9 第同的交点，试确定 的值. 并求函数 在 上的单调递减区间.【答案】(1) 函数 在 上的最大值为 3 时， ;(2) 单调递减区间为 .【解析】试题分析：（1）首先根据两角和差公式得到 ，再求值域.(2) 由第一问知道表达式，根据单调区间求法 ，解出来即可.（1）由已知得，
13、时， 当 时， 的最大值为 ，所以 ；当 时， 的最大值为 ，故 （舍去）综上：函数 在 上的最大值为 3 时， （2）当 时， ，由 的最小正周期为 可知， 的值为 .又由 ，可得， ，函数 在 上的单调递减区间为 .20. 已知函数 ，其反函数为 y=f -1(x)， 直线 分别与函数 y=f(x),y= f -1(x)的图象交于 An、 Bn 两点（其中 ）;设 ， 为数列 的前 项和。求证：(1)当 时，(2) 当 时， 页 10 第【答案】(1)见解析 ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由题意解得： An、 Bn 两点的坐标，表示 ，利用 的关系证明结论；（2）由（1）知： ，
14、 ，累加后，利用放缩法转化求和形式，再利用裂项相消法求和即可.试题解析：（1） 联立 得交点 ，由此得 ， 所以 ， 当 时，（2） 由（1 ）易知 ，累加得: 又点睛：1、放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若 则 A 。2、使用放缩法时， “放” 、 “缩”都不要过头。3、放缩法是一种技巧性较强的不等变形，一般用于两边差别较大的不等式。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩” ，都是用于不等式证明中局部放缩。页 11 第21. 已知椭圆 ： 的上下两个焦点分别为 ， ，过点 与 轴垂直的直线交椭圆于 、 两点， 的面积为 ，椭圆 的离心率为 （1）求椭圆 的标准方程；（2）已知 为坐标原点，直
15、线： 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 ， 两个不同的点，若存在实数 ，使得 ，求 的取值范围【答案】(1) 椭圆 的标准方程为 ;(2) 的取值范围为 .【解析】 （）根据题目条件，由椭圆焦点坐标和对称性计算 的面积，建立等式关系，结合关系式，离心率计算公式，问题可得解；（）由题意，可分直线是否过原点，对截距 进行分类讨论，再利用椭圆对称性、向量共线、直线与椭圆有交点等性质、条件进行运算即可.试题解析：（）根据已知椭圆 的焦距为 ，当 时， ，由题意 的面积为 ，由已知得 ， ， ，椭圆 的标准方程为 （）若 ，则 ，由椭圆的对称性得 ，即 ， 能使 成立若 ，由 ，得 ，因为 ， ， 共线，所
16、以 ，解得 设 ， ，由得 ，由已知得 ，即 ，且 ， ，由 ，得 ，即 ， ，页 12 第 ，即 当 时， 不成立， ， ， ，即 ， ，解得 或 综上所述， 的取值范围为 点睛：此题主要考查椭圆方程及其性质，直线与椭圆位置关系，平面向量在解析几何中的应用等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.根据题意，在（）中联立椭圆方程、离心率、三角形的面积即求得椭圆方程，必要时可画草图辅助思考，在问题（）中联立椭圆与直线方程消去 ，由韦达定理求得直线与椭圆交点的横坐标和与积，再利用平面向量的共线关系，从而求出待定系数的取值范围.22. 已知函数 （1）若 且函数 在区间 上存在极值，求实数 的
17、取值范围；（2）如果当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；（3）求证 【答案】(1) ;(2) ；（3）见解析.【解析】试题分析：（）求出函数 的极值，在探讨函数在区间 （其中 a0）上存在极值，寻找关于 a 的不等式，求出实数 a 的取值范围；（）如果当 x1 时，不等式 恒成立，把 k 分离出来，转化为求函数最值 （）借助于（）的结论得 令 ，则有 ， ，累加，放缩即可证得结论.页 13 第证明不等式试题解析：（） ， 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时 单调递减又 ， 在 处取得极大值，若使得在区间 上存在极值，其中 ， ， 的取值范围为 （）不等式 ，即 恒成立，令 ， ，令 ， ， ， ， 在 上单调递增， ， ， 在 上也单调增， ， （）由（）知： 恒成立，即 ，令 ，则有， ， ，；，叠加得： ， ， ， ，得证点睛：考查应用导数研究函数的极值最值问题，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，证明数列不等式，借助函数的单调性或恒成立问题加以证明页 14 第
