1、页 1 第2018 届天津市第一中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ，则 ( )A. (-1，1) B. (0，1) C. D. 【答案】B【解析】 故选 B2. 如果实数 满足条件 ，那么 的最大值为（ ）A. 2 B. 1 C. -2 D. -3【答案】B【解析】试题分析：如图，建立可行域：目标函数 ，当过点 时，函数取得最大值，最大值是 ，故选 B.考点：线性规划3. 已知等比数列 的前 项和为 ，则 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要
2、不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C页 2 第【解析】若公比 ，则当 时 成立；若公比 ，则 与 符号相同与 的符号相同，故即 是 的充要条件故选 C4. 已知函数 在 上单调，且函数 的图象关于 对称，若数列 是公差不为 0 的等差数列，且 ，则 等于（ ）A. 2 B. -2 C. 0 D. -1【答案】B【解析】由题意已知函数 在 上单调，且函数 的图象关于 对称，可得 的图象关于 对称，由数列 是公差不为 0 的等差数列，且 ，可得 ，又 是等差数列，所以 ，则 的前 100 项的和为故选：B5. 函数 在点 处的切线斜率为 2，则 的最小值是（ ）A. 1
3、0 B. 9 C. 8 D. 【答案】B【解析】函数求导可得 , , =,等号成立条件 即 ，选 B.6. 已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A. 13 B. 15 C. 19 D. 21页 3 第【答案】A【解析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则 ， ， ，即 ，所以 ， ，因此，因为 ，所以 的最大值等于 ，当 ，即 时取等号考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式7. 已知函数 ，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，, 函数 在区间 内没有零点(1) ，则 ，则 ，取 ， ；（2） ，则
4、，解得： ，取 ，页 4 第；综上可知： 的取值范围是 ，选 .【点睛】有关函数 求 的值及取值范围问题是近几年高考的重点考题，应引起足够的注意.本题首先利用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化为标准 型，函数 在区间内没有零点，根据 的范围求出 的范围，使其在 或在 内，恰好函数无零点，求出 的范围.8. 已知函数 ，若 有三个互不相等的实根 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于 ，不妨设 ，则 ，则 ， ， ， ， ，由于 ，则 ， 有 3 个零点， 在上为增函数，而 ， ，则 .选 B.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）9.是
5、虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为_.【答案】 即答案为10. 有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】页 5 第【解析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为 1，可得 故 故半球的体积为： 棱锥的底面面积为：1，高为 1，故棱锥的体积 故组合体的体积为即答案为【点睛】本题考查由三视图还原几何体，并求其体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键11. 在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为_.【答案】2【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点【
6、考点】极坐标【名师点睛】再利用公式 把极坐标方程化为直角坐标方程，再解联立方程组根据判别式判断出交点的个数，极坐标与参数方程为选修课程，要求灵活使用公式进行坐标变换及方程变换.12. 函数 的最大值是_ .【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则 ，由 可得 ，当 时，函数 取得最大值 113. 数列 满足 ，则数列 的前 100 项和为_【答案】2550页 6 第【解析】由 ，可得；同理可得 ； ； 数列 的前 100 项满足 是以 12 为首项，16 为公差的等差数列，则数列 的前 100 项和为 故答案为 250014. 如图直角梯形 中， ， ,在等腰直角三角形 中， ,点 分别为线
7、段 上的动点，若 ，则 的取值范围是_【答案】【解析】以直线 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，如图，则 ， ， ， ，设 ， ， ，则 ， ， ，由 知 ，所以 ，易知页 7 第，当且仅当 时，取等号，又 时， ， 时，所以 点睛：求平面图形中向量数量积一般有两种方法：（1）选取图中不共线的两个向量为基底，把其他向量用基底表示，最后把所求向量的数量积转化为基底的数量积；（2）在图形中确定两相互垂直的直线，以它们为轴建立平面直角坐标系，写出（或设出）各点坐标，把向量用坐标表示，这样向量的数量积可以用坐标运算，把形转化为数本题利用第二种方法，可以很讯速地确定题中已知条件，并把待求式与已知建立关
8、系，从而求得结论在几何关系不容易确定时可以用这种方法，能减少思维量三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知 ,角 所对的边分别为 ，且 ，点 在线段 上， .(1)若 的面积为 24，求 的长；(2)若 ，且 ，求 的长.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据三角形面积公式求得 ，再根据余弦定理求 的长；（2）先根据三角函数同角关系求得 ，再根据正弦定理求得 ，根据两角和正弦公式求得 ，最后根据正弦定理解得 的长.试题解析：解：（）由 ，解得 .在 中， ，即 ，.（）因为 ，且 ，可以求得 ， .依题意， ，即 ，
9、解得 .因为 ，故 ，故 .在 中，由正弦定理可得 ，解得 .页 8 第16. 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2，3,4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为 3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球。(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；(2)若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量 ，求 的分布列和期望.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：(1)根据古典概型及对立事件的概率公式可得结果； (2) 依题意, 的可能取值为 .
10、分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果.试题解析：(1)设事件 为“两手所取的球不同色”,则 =(2)依题意, 的可能取值为 .左手所取的两球颜色相同的概率为右手所取的两球颜色相同的概率为所以 的分布列为:.17. 如图，正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，为 的中点.求证： 平面 ；求证： 平面 ；求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.页 9 第【答案】(1)详见解析(2) 详见解析（3）【解析】试题分析：(1) （I）取 中点 ，连 ，由三角形中位线定理，结合已知中，易得四边形 是平行四边形，所以 ，再由线面平面的判定定理，可得 ；（2）由已知中正方形 与梯形 所在的
11、平面互相垂直，易得 平面 ，进而 ，由勾股定理的逆定理判断出 中， ，由线面垂直的判定定理可得 ；（3）以 为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值试题解析：(1)取 中点 ，连是平行四边形(2)(3)如图建系设面 的法向量面 法向量 ，页 10 第【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解题的关键18. 已知数列 满足 且 ， ，数列 满足 .求数列 的通项公式；求数列
12、的前 项和 ；对任意的正整数 ，当 时，不等式 恒成立，求实数的取值范围.【答案】 （1）详见解析（2） （3） 或【解析】试题分析：（1）利用已知条件推出 是首项为 3，公比为 3 的等比数列然后求解 的通项公式（2） ，由错位相减法可求出数列 的前 项和（3）判断数列 单调递减，推出当 时， 取得最大值为 ，则不等式恒成立转化为 ，对任意 恒成立，列出不等式求解即可试题解析：(1)是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列，(2) ， ，页 11 第(3) 单调减， 或19. 已知函数 （其中为自然对数的底数） ， .求函数 的单调区间；设 ，已知直线 是曲线 的切线，且函数 在 上是增函
13、数.求实数的值；求实数的取值范围.【答案】 （1）详见解析（2） 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据切线方程求出的值即可；问题转化为 在 上恒成立，根据函数的单调性求出的范围即可试题解析：(1) ， 或当 时，0 （0,2） 2 当 时，页 12 第0 （0,2） 2 (2)设切点（ ）， 令 ， ，时时 ， ， 在使， 在 上页 13 第恒成立， 恒成立令 ， ，当 时，综上：20. 已知数列 满足 ，且 .求 的通项公式；设 ，求数列 的前 项和 ；设 ，证明：【答案】 （1） （2） （3）详见解析【解析】试题分析：（1）由数列 满足 ，且 .当 为奇数时，此时数列 成等差数列当 当为偶数时， ，此时数列 成等比数列，即可得出（2） 可得： 利用“错位相减法”与分组求和即可得出（3） 可得 为奇，为偶，即可证明页 14 第试题解析：（1）当 为奇数时 ， ，此时数列 成等差数列 当 当为偶数时， ，此时数列 成等比数列 （2）(3)为奇为偶
