1、【课题研究】 1、3、1 柱体、椎体、台体的表面积与体积【讲师】 孟老师小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在 1889 年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230 米，塔高 146.5 米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？要求： 新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式） ，也就是说对体积和面积公式的推导、证明
2、和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.一、 【学习目标】1、了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆） ，提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣；2、掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.二、 【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材 2325 页内容，回答问题（柱、锥、台表面积）在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道上 述几何体的展开图与其表面积的关系吗？棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如
3、何计算它们的表面积？如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是 r,r，母线长为 ，你计算出它的表面积吗？l结论：正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的， 其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的 侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围 成棱台的各
4、个面的面积的和.它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为 r,母线长为 l，那么圆柱的底面面积为 r 2,侧面面积为 2rl.因此，圆柱的表面积 S=2r 2+2rl=2r(r+l).圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为 r,母线长为 l，那么它的表面积S=r 2+rl=r(r+l).圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即. )2 rlrS（思
5、考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？练习一：完成教材例 1、例 2，体会例 1、2 所蕴含的解题技巧；完成教材第 27 页练习 1；把一个棱长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是 .【教学效果】：学生们的学习效果不错，对于圆台的表面积公式的推导，我做了这样的处理：只是提示推导过程，而没有在课堂上一步一步的推导.2、阅读教材第 2527 页内容，回答问题（柱、锥、台体积）回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一 种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体 =Sh(S 为底面积，h 为 柱体的高
6、)；V 锥体 = (S 为底面积，h 为锥体的高)；S)3/1（V 台体 = h(S,S 分别为上、下底面积，h 为台体的(S高).你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特 殊”形式？结论：棱长为 a 的正方体的体积 V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为 a,b,c，其体积为 V=abc=(ab)c=Sh；底面半径为 r 高为 h 的圆柱的体积是 V=r 2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是 V=Sh，其中 S 是底面面积，h 为柱体的高.圆锥的体积公式是 V= (S 为底面面积，hS)/1(为高)，它是同底等高
7、的圆柱的体积的 .棱锥的体积也是同底等高的棱3/柱体积的 ,即棱锥的体积 V= (S 为底面面积，h 为高).由此可3/1S)1(见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的 .由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）/截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V= (S+ +S)h,其中 S，S 分别为上、下底面面积， h 为圆台)3/1(S（棱台）高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当 S=0 时，台体的体积公式
8、变为锥体的体积公式;当 S=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图：练习二：完成教材 26 页例 3，体会例 3 中蕴含的解题技巧；完成教材 27 页练习 2；把长和宽分别为 6 和 3 的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥 O-ABC 中，OA、OB、OC 两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，且 x+y=4，则三棱锥体积的最大值是 ；已知正三棱台（上、下底面是
9、正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心）的上下底面边长分别是 2cm 和 4cm，侧棱长是 cm，试求该三棱台的表面积与体积；6：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为 （根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图 12 所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱 PAAB，PAAC，ABAC.结果：1/6)【教学效果】：对于体积公式，推导过程比较繁琐，教材采取了直接给出的模式，教师不要过多的渗入推导，加重学生负担.3、 【作业】1、必做题：教材第 29 页习题 1.3A 组第 1、2、3 题；2、选做题：养路处建造圆锥形仓库用于存储食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的底面直径为 12m，高 4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4m（高不变） ；二是高度增加 4m（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；分别计算按这两种方案所建仓库的表面积；哪个方案更经济些？（比较表面积和体积，体积大、表面积好更实惠经济）.
