1、 等差数列的前 n 项和(二)教学目标：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式，了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；提高学生的应用意识.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：.复习回顾通项公式：a na 1(n1)d，求和公式：S n na1 dn（a1 an）2 n（ n 1）2.讲授新课下面结合这些例子，来看如何应用上述知识解决一些相关问题.例 1求集合 Mmm7n，nN *，且 m100的元素个数，并求这些元素的和.分析：满足条件的 n 的取值个数即为集合 M 的元素个数，这些元素若按从小到大排列，则是一等差数列.
2、解：由 m100，得 7n100 ，即 n 141007 27所以满足上面不等式的正整数 n 共有 14 个，即集合 M 中的元素共有 14 个，将它们从小到大可列出，得：7，72，73，74，714，即：7，14，21，28，98这个数列是等差数列，记为a n，其中 a17，a 1498， n14则 S14 73514（7 98）2答：集合 M 中共有 14 个元素，它们和等于 735.这一例题表明，在小于 100 的正整数中共有 14 个数是 7 的倍数，它们的和是 735.例 2已知一个等差数列的前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220，由此可以确定求其前 n 项和的公式
3、吗?分析：将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后，可得到两个关于 a1 与 d 的关系，然后确定 a1 与 d，从而得到所求前 n 项和的公式.解：由题意知 S10310，S 201220将它们代入公式 Snna 1 d，得到n（ n 1）210a1 45d 31020a1 190d 1220)解这个关于 a1 与 d 的方程组，得到 a14，d6所以 Sn4n 63n 2nn（n 1）2这就是说，已知 S10 与 S20，可以确定这个数列的前 n 项和的公式，这个公式是 Sn3n 2n.下面，同学们再来思考这样一个问题：例 3已知数列a n是等差数列，S n是其前 n 项和.求证：S 6
4、，S 12S 6，S 18S 12 成等差数列，设其 kN *，S k，S 2kS k，S 3kS 2k成等差数列吗?解：设a n的首项是 a1，公差为 d，则 S3a 1a 2a 3S6S 3a 4a 5a 6(a 13d )(a 23d) (a 33d)( a1a 2a 3)9dS 39dS9S 6a 7a 8a 9(a 43d )(a 53d) (a 63d)(a 4a 5a 6)9d( S6S 3)9dS 318dS3， S6S 3，S 9S 6 成等差数列.同理可得 Sk,S2kS k,S3kS 2k成等差数列.Ska 1 a2 a k(S2kS k)a k+1a k+2a 2k(a
5、 1kd)( a2kd )(a kkd)(a 1a 2a k)k 2dS kk 2d(S3kS 2k)a 2k+1a 2k+2a 3k(a k+1kd )(a k+2kd ) (a 2kkd)(a k+1 ak+2 a 2k)k 2d(S 2kS k)k 2dS k，S 2kS k，S 3kS 2k是以 Sk为首项，k 2d 为公差的等差数列.例 4已知数列a n是等差数列，a 10，S 9S 17，试问 n 为何值时，数列的前 n 项和最大？最大值为多少？分析：要研究一个等差数列的前 n 项和的最大（小）问题，有两条基本途径；其一是利用 Sn是 n 的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的
6、单调性来解决.解法一：S 9S 17，S 99a 136d，S 1717a 1136d9a136 d17a 1136d，8a 1100d，即 d a10225Snna 1 dna 1 ( a1)n（ n 1）2 n（ n 1）2 225na 1 a1 a1 (n226n) a1 (n13) 2 a1n（ n 1）2 125 125 16925a1 0， 当 n13，S n有最大值.最大值为 a1. 16925解法二：由 a10,d0，可知此数列为从正项开始的递减数列：a 1a 2a 3a 4故 n 在某一时刻，必然会出现负项，此时前 n 项的和开始减少，因此，要使 Sn最大，n 必须使得 an
7、0，且 an+10.即 解得 n . n13252 272此时，S n最大，S 1313a 1 d a1.13122 16925评述：解法一利用 Sn是 n 的二次函数关系，归纳为求二次函数的最值问题，不过要注意自变量 n 是正整数；解法 2 是从研究数列的单调性及项的正负进而研究前 n 项和 Sn的最大值，方法更具有一般性.例 5在数列a n中，a 11，a n+1 ，求数列a nan+1的前 n 项和.2anan 2分析：要求数列a nan+1的前 n 项和，需要先求数列a n的通项公式.解：由已知得 1an 1 1an 12 为首项为 1，公差为 的等差数列.1an 1a1 12 1(n
8、1) ，a n1an 12 n 12 2n 1Sna 1a2a 2a3a nan+1 423 434 4n（ n 1）4( )（ ）( )4( ) .12 13 13 14 1n 1n 1 12 1n 1 2(n 1)n 1例 6设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a312， S120，S 130.(1)求公差 d 的取值范围；（2）指出 S1，S 2，S 12 中哪一个值最大？并说明理由 .（1）分析：由 S120，S 130 列不等式组求之.解：依题设有即 将 a312，即 a1122d 代入上式得2a1 11d 0a1 6d 0) 24 7d 03 d 0)解得 d3247(2
9、)分析一：写出 Sn的表达式 Snf(n) An 2Bn.配方确定 Sn的最大值.解法一：S nna 1 dn(122d) dn（ n 1）2 n（ n 1）2 n （5 ） 2 （5 ） 2 d2 12 24d d212 24dd0，n (5 ） 2 最小时，S n最大.12 24d当 d3 时，6 (5 )6.5247 12 24d正整数 n6 时，n (5 )2y 最小，S 6 最大.12 24d分析二：由 d0 知a n是单调递减的，要使 Sn最大，应有 an0，a n+10.解法二：由 d0，可知 a1a 2a 12a 13要使 1n12 中存在自然数 n，使得 an0，a n+10
10、，则 Sn就是 S1，S 2，S 12 中的最大值.由 S12 6（ a6 a7） 0S13 13a7 0 )知 a6a 70，a 70a 6a 70，a 60，a 70.故在 S1，S 2，S 12 中 S6 的值最大.解法三：由 S120，S 130得 , 即也即 a60 且 a70，S 6 最大.解法四：由 a1122d， d3247得 ，即 5.5n7an 12 （n 3）d 0an 1 12 （n 2）d 0)nN*，n6，即 S6 最大 .例 7首项为正数的等差数列a n，它的前三项之和与前十一项之和相等，问此数列前多少项之和最大？解法一：由 S3S 11得：3a 1 d11a 1
11、 d,322 11102解之得 d a10，a 80 且 an+10由（1）知 a840，a 85S85S86(S n)maxS 84 5084 (0.6)2108.4.84832解法二：S n50n (0.6)0.3n 250.3n 0.3(n )2n（n 1）2 5036 5032120当 n 取接近于 的自然数，即 n84 时，S n达到最大值 S842108.45036评述：不是常数列的等差数列，不递增必递减，因而若有连续两项 ak,ak+1 异号，则 Sk必为 Sn的最大或最小值.下面对此类问题作一下较为深入的探究.在非常数列的等差数列中，当 d0，d0，且 a10，则有 0a 10
12、，且 a1S1S2Sk,且 Sk0，必存在自然数 k 使 a1a2a3ak0a k+1ak+2an或a1a2a3ak0a k+1ak+2an则 S1Sk+1SnS n的最大值是 Sk.(4)若 da2a3an1 anS 1S2S3Sn1 SnS n的最大值是 S1.第二种思考：Snna 1 d n2(a 1 )n n（ n 1）2 d2 d2 n 2 n（ ） 2 （ ） 2d2 d2 12 a1d d2 12 a1d由二次函数的最大、最小值知识及 nN *,知：当 n 取最接近 的自然数时，S n取12 a1d到最大值（或最小值） ，值得注意的是最接近 的自然数有时 1 个，有时 2 个.1
13、2 a1d例 9有 30 根水泥电线杆，要运往 1000 米远的地方开始安装，在 1000 米处放一根，以后每 50 米放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少公里？解法一：如图所示：假定 30 根水泥电线杆存放 M 处.a1|Ma|1000(M)a2|Mb|1050(M)a3|MC |1100(M)a6a 35031250(M)a30a 31509(M)由于一辆汽车每次只能装 3 根，故每运一次只能到 a3，a 6，a 9，a 30 这些地方，这样组成公差为 150 M，首项为 1100 的等差数列，令汽车行程为 S，则有：S2（a 3a 6a 30
14、)2(a 3a 31501a 31509)2(10a 3150 9)2(110006750)m35.5(公里）291答：这辆汽车行程共有 35.5 公里.解法二：根据题设和汽车需运送十次，可得一等差数列a n，其中a1100，d150，n10则 S1010a 1 d7750 m10（10 1）2所以总共行程为(77502100020)m35.5 公里答：略.解法三：根据题意和汽车每次走的路程可构成一个等差数列，其中 a1(1000502)2 2200 m，a 2(1000 505)22500 md1502300 m 项数共有 10 项.S n10a 1 d102200 m 59300 m 35
15、.5(公里）10（10 1）2答：略.例 10有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同金额，这是零存；则到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取，它的本利和公式如下：本利和每期存入金额存期 存期 （存期1）利率.12（1）试解释这个本利和公式；（2）若每月初存入 100 元，月利率 5.1，到第 12 个月底的本利和是多少？（3）若每月初存入一笔金额，月利率是 5.1，希望到第 12 个月底取得本利和 2000元，那么应每月存入多少金额？分析：存款储蓄不是复利计息，若存入金额为 A，月利率为 p，则 n 个月后的利息是nAp.解：（1）设每期存入金额 A，每期利率 p，存的期
16、数为 n，则各期利息之和为：Ap2Ap3ApnAp n(n1)Ap.12连同本金，就得本利和nA n(n1) ApA n n(n1) p.12 12(2)当 A 100，p5.1，n12 时，本利和100（12 12135.1)1239.78(元）12（3）将（1）中公式变形，得A 161.32(元）即每月应存入 161.32 元.评述：这是两道等差数列求和的应用题，对于应用问题首先是根据问题给出的已知条件建立数学模型，然后解此数学问题，最后再回到应用问题作出结论.课堂练习课本 P44 练习 1，2，3，4.课时小结通过本节学习，要能灵活应用等差数列的通项公式和前 n 项和公式解决一些相关问题.另外，需注意一重要结论：若一数列为等差数列，则 Sk,S2kS k,S3kS 2k也成等差数列.课后作业课本 P45 习题 4，5，6，7，8
