1、2.1.1一、选择题1把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形( 如下图)，则第七个三角形数是( )A27 B28 C29 D30答案 B解析 后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上 2,3,4,5，故第七个三角形数为 21728.2根据给出的数塔猜测 12345697 等于( )192111293111123941111123495111111234596111111A1111110 B1111111C1111112 D1111113答案 B解析 可利用归纳推理，由已知可猜测 12345697 1111111.3(2009湖北文，10)
2、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图 2 中的 1,4,9,16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A289 B1024C1225 D1378答案 C解析 本题主要考查数形的有关知识图 1 中满足 a2a 12，a 3a 23，a na n1 n，以上累加得 ana 123n，a n123na n ，图 2 中满足n(n 1)2bnn 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方122535
3、 2 ，选 C.495024下面类比推理中恰当的是( )A “若 a3b3，则 ab”类比推出“若 a0b0，则 ab”B “(ab)cacbc ”类比推出 “(ab)cac bc”C “(ab)cacbc ”类比推出 “ (c0)”a bc ac bcD “(ab)na nbn”类比推出“( ab) na nb n”答案 C解析 结合实数的运算律知 C 是正确的5已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积公式：S ，可推知扇底 高2形面积公式 S 扇 等于( )A. r22B.l22C. lr2D不可类比答案 C6下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )A三角
4、形 B梯形C平行四边形 D矩形答案 C解析 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适7观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. BCD答案 A解析 图形涉及、三种符号；其中与各有 3 个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色符号，即应画上才合适8下列推理正确的是( )A把 a(bc) 与 loga(xy )类比，则有 loga(xy )log axlog ayB把 a(bc)与 sin(xy )类比，则有 sin(xy)sinx sinyC把 a(bc)与 axy 类比，则有 axy a xa yD把 a(bc)
5、与 a(bc)类比，则有 a(bc )aba c答案 D解析 a(bc) abac，故类比 a(bc)a bac.9我们把 1,4,9,16,25，这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形( 如下图)，则第 n 个正方形数是( )An(n1) Bn(n1)Cn 2 D(n1) 2答案 C解析 第 n 个正方形数的数目点子可排成每边有 n 个点子的正方形，故为 n2.10下面几种推理是合情推理的是( )由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180，归纳出所有三角形的内角和都是 180 某次考试张军成绩是 100 分，由此推出全班同学成绩都
6、是 100 分 三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，归纳出 n 边形内角和是 (n3)180A BC D答案 C解析 由合情推理概念，知符合题意二、填空题11对于平面几何中的命题：“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等” ，在立体几何中，类比上述命题，可以得到的命题是：_.答案 夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等12(2010陕西文，11)观察下列等式： 132 3(12) 2,132 33 3(1 23)2,132 33 34 3(123 4)2，根据上述规律，第四个等式为 _答案 1 32 33 34 35 3(12345) 2(或 152)解析 本
7、题考查归纳推理根据已知条件，第四个等式应用 132 33 34 35 3(12345) 2(或 152)13经计算发现下列正确不等式： 2 ， 2 ， 2 18 10 4.5 15.5 10 3 22 ，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数 a、b 成立的条件不等式：17 2 10_.答案 2 (其中 a、b 为不相等的正实数，且 ab20)a b 1014如图，已知命题：若矩形 ABCD 的对角线 BD 与边 AB 和 BC 所成的角分别为，则 cos2cos 21，则在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，可写出类似的命题：_解析 长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，若对角线 B
8、D1 与棱 AB，BB 1，BC 所成的角分别为 ， ， ，则 cos2cos 2cos 21 或 sin2sin 2sin 22(或：长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，若对角线 BD1 与平面 ABCD，ABB 1A1，BCC 1B1 所成的角分别为 ， ，则 cos2cos 2cos 22 或 sin2sin 2sin 21)三、解答题15已知：123,1236,123410，1234n ，n(n 1)2观察下列立方和 13,132 3,132 33 3,132 33 34 3，试归纳出上述求和的一般公式解析 解：1 312224132 322324132 33 332424132
9、33 34 342524132 33 3n 3n2(n 1)24因而求和的一般公式为 132 33 34 3n 3n2(n 1)2416设a n是首项为 1 的正项数列，且(n1) a na a n1 an0( n1，nN)，试2n 1 2n归纳出这个数列的通项公式解析 由 a11，2a a a 2a10，得 a2 .2 2112又 3a 2a a 3a20，a 3 .23 213又 4a 3a a 4a30，a 4 .24 2314归纳猜想 an .1n17平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f(n)表示这 n 个圆把平面分割成的区域数，试求 f(n)
10、解析 因为 f(n)表示 n 个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这 n 个圆相交，则增加 2n 个交点，这些交点将增加的这个圆分成 2n 段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此增加一个圆后，平面被分割成的区域数增加 2n 个，即 f(n1)f(n) 2n，亦即 f(n1) f(n)2n.又 f(1)2，由递推公式得f(2)f(1)21，f(3)f(2)22，f(4)f(3)23，f(n)f(n1)2(n1)，将以上(n1) 个等式累加得f(n)221 23(n1)n 2n2( nN *)点评 这类问题直接求解较复杂，先转化为推测任何相邻两项的关系，再用数列知识求解18若 a1
11、、a 2R ，则有不等式 2 成立，此不等式能推广吗？请你至a21 a22 (a1 a22 )少写出两个不同类型的推广解析 本例可以从 a1，a 2 的个数以及指数上进行推广第一类型： ( )2，a21 a2 a233 a1 a2 a33( )2，a21 a2 a23 a244 a1 a2 a3 a44( )2；a21 a2 a2nn a1 a2 ann第二类型： ( )3， ( )4， ( )n；a31 a322 a1 a22 a41 a422 a1 a22 an1 an22 a1 a22第三类型： ( )3， ( )m.a31 a32 a33 a1 a2 a33 am1 am2 amnn a1 a2 ann上述 a1、 a2、 anR ， m、 nN *.高#考试+ 题(库
