1、实系数一、数系的扩充和复数的概念1复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者我们知道，方程 210x在实数范围内无解，于是需引入新数 i 使方程有解，显然，需要 2i数系的扩充过程：自然数集 N引 入 负 数 整数集 Z引 入 分 数 有理数集Q引 入 无 理 数实数集 R引 入 虚 数 复数集 C2复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数 i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如 ()abi，的数叫做复数，并且把 ()zabR，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的 a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚
2、部注意复数 132i的虚部是 3，而不是 3i3复数相等的充要条件abicdiac且 ()bdacR，注意事项：（1）复数 abi(0)(0)biaib实 数 纯 虚 数虚 数 非 纯 虚 数（2）复数集 CR实 数 集虚 数 集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小二、复数的几何意义1复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集 abiCR，|与坐标系中的点集 ()|abR，可以建立一一对应2建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是，y 轴的单位是 i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点 (0)
3、，对应复数 0于是有下面的一一对应关系：复数 Zabi复平面内的点 ()Zab，3由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数 Zabi一 一 对 应 平面向量 OZ在这些意义下，我们就可以把复数 zabi说成点 Z或向量 O，这给研究复数运算的几何意义带来了方便 4复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数 zabi的模为 2zab三、复数代数形式的四则运算1复数的加法、减法运算法则 ()()()()abicdiacbdi其运算法则类似于多项式的合并同类项复数加法的运算律对于任意的 123zC，有：交换律： 1z结合律： 12323()()zz复数加法的几何意义设 1OZ， 2分别与复数
4、abi， cdi对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有 Z（如图 1） 由平面向量的坐标运算： 12()Oacbd，即得 OZ与复数()()acbdi对应可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行复数减法的几何意义设 1OZ， 2分别与复数 abi， cdi对应（如图 2） ，根据向量加法的三角形法则有： 21OZ于是： 121Z由平面向量的坐标运算： 2()Zacbd，即得 21Z与复数()()acbdi对应于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应2复数代数形式的乘法运算运算法则： ()()()abicdabdci两个复数相乘类似于两个
5、多项式相乘，只是把 2换为 1，并且把实部与虚部分别合并即可运算律：交换律： 121z结合律： 1233()()z分配律： 12z虚数 i 的乘方及其规律：1i， 2， 3i， 4， 5i， 61i， 7i， 81i， 可见， 41ni， 21n， 43n， 4()nN，即 具有周期性且最小正周期为 4共轭复数abi与 i互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数它的几何意义是：共轭的两个复数关于 x 轴对称主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3复数代数形式的除法运算运算法则： 22(0)abicdbaicd其实质是分母“实数化” ，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式类似于以前所学的把分母“有理化”
