1、第 60 题 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题I题源探究 黄金母题【例 1】已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？【解析】设两条直角边为 ， ，根据基本不等式ab，即 ，当且仅当2ab25050ab时，等号成立，即最小值是 精彩解读【试题来源】人教版 A 版必修 5 P100T2【母题评析】本题考查应用基本不等式求最值作为基础题，是历年来高考的常考点【思路方法】和定积有最大值，积定和有最小值II考场精彩真题回放【例 2】 【2017 高考天津文 13】若 ， ，则,abR0的最小值为_41ab【答案】 【解析】（前一4211424a
2、babab个等号成立条件是 ，后一个等号成立的条件是2，两个等号可以同时取得，则当且仅当12ab时取等号） ,4【例 3】 【2017 高考山东文】 若直线 过10,xyab点 ，则 的最小值为 1,2ab【答案】 8【解析】由直线 过点 可得10,xy1,2，12ab【命题意图】本题主要考查基本不等式的应用本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、转化与化归能力等【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】1解答此类问题，关键在于灵活运用基本不等式实现和与积互化如果在解题过程中，两次使用基本不等式，要注意两次使用的条件是不是能同时成立2基本不等式的
3、常用形式包含，,abaR，2,2ab， 等基本不等式可以证2ab明不等式，也可以求最值，再求最值时，1244228babaaba【例 4】 【2017 高考江苏 10】 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元 /次，一年的总 存储费用为 万x 4x元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则 的值是 x【答案】30【解析】总费用 ，609044()2904xx当且仅当 ，即 时等号成立93注意“一正，二定，三相等”的条件，是不是能取得，否则就不能用其求最值，若是使用 2 次，更要注意两次使用的条件是不是能同时成立3 活用“1 ”， “以常驭变”运用均值不等式求解有关的最
4、值问题III理论基础解题原理不等式 称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等式有：0,2abb2 22, ,0aabbaRb等120,20abxIV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏难【技能方法】（1 ） 基本不等式具有将“和式 ”与“积式”互化的放缩功能，创造运用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是解题的关键，满足 取等条件是前提“ 和定积最大，积定和最小”“一正二定三相等”是常用的口诀（2 ） 必须掌握的三个不等式： ， ，则 （当且仅当 时取等号）； ，abR2ababa，则 （当且仅当 时取等号）； ， ，则
5、（当且仅当bR22()abR2时取等号）【易错指导】（1 ）注意不等式成立的条件是 ，若 ，应先转化为 ，再运用基本0,ab0,ab0,ab不等式求解（2 ） “当且仅当 时等号成立 ”的含义是“ ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略abab它往往会导致解题错误（3 ）有些题目要多次运用基本不等式才能求出最后结果，针对这种情况，要切记等号成立的条件V举一反三触类旁通考向 1 利用基本不等式求最值【例 1】 【2018 贵州凯里一中高三下学期 黄金卷第二套模拟】函数 的最小值为（ ）24xfA3 B4 C6 D8【答案】B【解析】 ，故选 242xfxB【例 2】 【2018 新疆维吾尔
6、自治区高三二模 】设 ， ， ，则 的最小值为abR26b2abA B C D（ ）353373【答案】A【例 3】 【2018 辽宁辽南协作校高三下学期一模 】若 且 ，则 的取值范围为（ lg0aba21b）A B C D2,2,2,3, ,3,【答案】A【解析】 且 ， ，即 ，lg0abalg0b1a22abab当且仅当 时取等号 的取值范围为 ，故选 A221,【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1 ）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等” ，且这三个条件必须同时成立；（2 ）若不直接满足基本 不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件
7、的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等；（3 ）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号【例 4】 【江西上饶市高三下学期二模 】已知函数 满足 ，fx12,2xeffxfe 若对任意正数 都有 ，则 的取值范围是 （ ）,ab22113648x abfaeA B C D,1,0,【答案】D所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减10,2x0hx1,2x0hx所以 111222max ehegef所以 ，所以 在 上单调递减0ffx0,因为 ， ，当且仅当221648abae121882ababeee时取等号，所以
8、令8, 1333210x xxff，u(x)是一个增函数， ，所以 x1故选 D321xu321xuu【名师点睛】本题的难点在于要反复地构造函数研究函数的单调性，属于难题构造函数，一般是在直接研究不太方便时使用，构造函数书写更简洁，表述更方便，推理更清晰【跟踪练习】1 【 2018 吉林四平市高三质量检测 】设 ，若 成等差数列，则 的最小0,yxlg2,lxy19xy值为( )A8 B9 C12 D16【答案】D2 【 2018 江西吉安一中、九江一中等八所重点中学高三 4 月联考】已知正项等比数列 的公比为 3，na若 ，则 的最小值等于（ ）29mna1nA1 B C D342【答案】C
9、【解析】正项等比数列 的公比为 3，且 ， ，na29mna2242339mnmnaa， ，当且仅当6mn1211566时取等号，故选 C24【名师点睛】利用基本不等式解题的注意点：（1 ）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等” ，且这三个条件必须同时成立（2 ）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等（3 ）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号3 【 2018 贵州凯里一中高三下学期 黄金卷第三套模拟】设 、 ，已知 ，mn
10、Rlog2a，且 （ ， ） ，则 的最大值是（ ）log2bn2a1abmnA1 B2 C D【答案】A【解析】 ， 1,log2,l,0,ababmnmn1mn1log2lab，当且仅当 时取等号，故选22222logllllogA考向 2 均值不等式应用题【例 5】 【2018 广东江门市高二上学期调研测试（一） 】一种设备的单价为 元，设备维修和消耗费用第一a年为 元，以后每年增加 元（ 是常数） 用 表示设备使用的年数，记设备年平均费用为 ，即bba、 t y(设备单价 设备维修和消耗费用） 设备使用的年数y+（）求 关于 的函数关系式；t（）当 ， 时，求这种设备的最佳更新年限12
11、50a1b【答案】 （） ；（）15 年ayt试题解析：（）由题意，设备维修和消耗费用构成以 为首项， 为公差的等差数列，b因此 年维修消耗费用为 ，于是 t232tbt 22tbayt（） ，所以 ， ， ，0,taabt1501，当且仅当 ，即 ， 时，年平均消125015y2at250t1t耗费用取得最小值，所以设备的最佳更新年限是 15 年【名师点睛】 （I ）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解（II）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解【例
12、6】 【2018 河南中原名校（即豫南九校）高二上学期第二次联考】要制作一个体积为 ，高为 的39m1有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 10 元，侧面造价是每平方米 5 元，盖的总造价为100 元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？【答案】长为 3，容器的总造价最低为 250 元试题解析：设该长方体容器长为 ，则宽为 ，又设该容器的造价为 元，xm9xy则 ，因为 （当且仅当 即991021501yx9263xx9x时取“=”） ，所以 3xmin2y答：该容器长为 3 米时，容器的总造价最低为 250 元【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”
13、 等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误【例 7】 【2018 福建漳州高一下学期期末考 】漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：罩内该种液体的体积比保护罩的容积少 0 5 立方米，且每立方米液体费用 500 元；需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为 2 立方米时，支付的保险费用为 4000 元（）求该博物馆支付总费用 与保护罩容积 之间的函数关系式；yx（）
14、求该博物馆支付总费用的最小值【答案】 （） （）博物馆支付总费用的最小值为 3750 元80525yx【解析】 【试题分析】 （1）先依据题设分别求出支付的保险费用 和保护液体的费用180yx，再求出运总费用 与保护罩容积 之间的函数关系式 ， （ 50.xyx0525x） ；（2）依据题设条件运用基本不等式求出 的最小值，从而确定函数0.5x 805x的最小值：850yx解：（）由题意设支付的保险费用 ，把 ， 代入，得 ，则有支付的保险1kyx2140y80k费用 （ ） ，故总费用 （ ） 1yx.850.525x.x（）因为 ，当且仅当 且 ，8052x2037x80.5即 立方米时不
15、等式取等号，所以，博物馆支付总费用的最小值为 3750 元4x【名师点睛】求解本题的第一问时，先依据题设条件运用待定系数法求出支付的保险费用 ，再1yx求出保护液体的费用 ，进而求出运总费用 与保护罩容积 之间的函数关系式50.xyx， （ ） ；求解第二问时，重点是依据题设条件运用基本不等式先求出8502yx0.5的最小值，从而确定函数 的最小值及取得最小值时 的值，从而使8025yxx得问题获解【跟踪练习】1 【 2018 山东德州市高三年级上学期期中考试 】如 图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上，D 点在 AN 上，且对角线 MN
16、 过点 C，已知 AB=2 米，AD =1 米（1 ）要使矩形 AMPN 的面积大于 9 平方米，则 DN 的长应在什么范围内？ （2 ）当 DN 的长度为多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值【答案】 （1） （0， ）（2，+ ） ；（2）矩形花坛的面积最小为 8 平方米试题 解析：（1 ）设 DN 的长为 x（x 0）米，则|AN |=（x+1）米， ，|AM|= ，S 矩形 AMPN=|AN|AM|= DNCAM21x2(1)x由 S 矩形 AMPN 9 得 9 ，又 x0 得 2x2-5x+20，解得 0x 或 x2 ，2()x即 DN 的长的取值范围是（0， ）（2
17、，+） 1（2 ）因为 x 0，所以矩形花坛的面积为：y= =2x+ +44+4=8，当且仅当 2x= ，即 x=1 时，等2(1)44号成立答：矩形花坛的面积最小为 8 平方米【名师点睛】本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正” （即条件要求中字母为正数） 、“定”（不等式的另一边必须为定值） 、 “等”（等号取得的条件）的条件才能应用2某通讯公司需要在三角形地带 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域OAC内，乙中转站建在区域 内分界线 固定，且 = 百米，边界线
18、 始终过点 ，BOCBOB(13)ACB边界线 满足 设 ( )百米，A、 00075,3,45CAx6百米yABCO（I）试将 表示成 的函数，并求出函数 的解析式；yxy（II）当 取何值时？整个中转站的占地面积 最小，并求出其面积的最小值OACS【答案】 （1） ；（2 ）：当 米时，整个中转站的占地面积 最小，最小2(36)xy40xOACS面积是 平方米4(23)10【解析】分母是一次，而分子是二次的，故可这样变形 ，正好这个表达式可以用基本不24()2xx等式来求得最小值试题解析：（I ）结合图形可知， 于是，BOCABOCSS，解得 000111(3)sin(3)sin45sin
19、75222xyxy2(36)xy（II）由（I）知， ，(6)x因此， (当且仅当20113sin7524AOCxSy134(2)4x23，即 时，等号成立)4xx答：当 米时，整个中转站的占地面积 最小，最小面积是 平方米12 分0OACS 4(23)10考点：求函数解析式，三角形的面积公式，分式函数的最值与基本不等式3由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱1 个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度 与时间 的关系，可近似地表示为 只有当河流中碱的浓度不yx16802244xy低于 1 时，才能对污染产生有效的抑制作用（1 ）如果只投放 1 个单位的固体碱，则能够维持有效抑
20、制作用的时间有多长？（2 ）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放 1 个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值【答案】 （1）；（2 ）当 时， y 有最大值 5732x2x482-4 分4123xx综上，得 -5 分57即若 1 个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为 -6 分51732（2 ）当 时， 单调递增-8 分02x1682yx当 时， y=4-x 单调递减 -9 分4所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放 1 个单位的固体碱，即 时， -12 分2x166(2)84()yxxx故
21、当且仅当 时， y 有最大值 - -14 分16,2考向 3 与均值不等式有关的交汇题【例 8】 【2018 四川成都龙泉驿区二中高三 3 月市“二诊” 】已知函数 （ 0 且f41axloga1）的图像恒过定点 A，若直线 （ ）也经过点 A，则 3m+n 的最小值为（ ）a 2xymn,0A16 B8 C12 D14【答案】B【名师点睛】本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有 一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，
22、取得最值【例 9】 【2018 辽宁沈阳市东北育才学校高三三模 】设 分别为双曲线 的左、AB、21(0,)xyab右顶点， 是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则PAB、 P、 mn、取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）412lnlbamA B C D56562【答案】C设函数 ， ，所以 f(x)在区间 单调递减，在区间12ln(0)fxx214-xfx10,4单调递增 ，即 ，又均值不等式等号成立条件当且仅当 ，1,4min4ff24bna 24ab所以 选 C25bea【名师点睛】 （1）双曲线上任意关于原点对称的两点 ，另一动点 ，则11,AxyBy0,Pxy；（2）椭
23、圆上任意关于原点对称的两点 ，另一动点 ，则PABbka 11,AxyBy0,Pxy2PAB【例 10】 【2018 河北衡水金卷调研卷（五） 】已知抛物线 的焦点为 ，双曲线24xyF的右焦点为 ，过点 的直线与抛物线在第一象限的交点为 ，且抛21(0,)xyab1,0Fc1,FM物线在点 处的切线与直线 垂直，则 的最大值为（ ）M3yxabA B C D232【答案 】B【解析】由题可知抛物线 的焦点为 ，过 的直线方程为24xy100,Fkc1,F，联立方程组 ，110yxcc224 4yxx240cx，由题可知， ， （舍去） ，又由2xc1cx221xc，因此 ，又由题可知2142
24、yx22kc，即得 ，又 ，当且133cc23ab2 332abab仅当 时，取等号，即 ，故选 B62abmaxb【易错点晴】本题主要考查抛物线、双曲线的方程与性质、导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等” 的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等 号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） 【例 11】 【2018 湖南省三湘名校教育联盟高三三联考】随机变量 服从正态分布X， ，则
25、的最小值为（ ）210,1XNPXm810PXn21mA B C D3462264【答案】D【名师点睛】本题考查正态分布图象的对称性以及基本不等式的应用在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足基本不等式中“ 正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”( 不等式的另一边必须为定值)、 “等”( 等号取得的条件) 的条件才能应用，否则会出现错误【例 12】 【2018 上海杨浦区高三下学期质量调研（二模） 】若 为等比数列， ，且 ，na0na2018则 的最小值为 20179a【答案】4【解析】 为等比数列， ， 公比 ， ， ，n0na0q20187aq72018qa
26、， ， ，当且仅当 ，20192018aq92018aq201794a2q即 时取等号， 的最小值为 20179a4【跟踪练习】1 【 2018 云南保山市高三第二次市级统测 】在 中，若 ，则ABC23|ABCAB的最小值为（ ）tanABA B C D5262【答案】B【名师点睛】当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；在三角形中要注重利用条件 进行化简运算；ABC用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”2 【 2018 衡水金卷（二） 】已知 恒成立，若 为真命题，则实数 的最小值为2:0,1xappaA2 B3 C4 D5 （ ）【答案】A3
27、【 2018 安徽淮南市高三一模 】已知 是 的重心，过点 作直线 与 ， 交于点 ，GABCGMNABC,MN且 ， ， ，则 的最小值是( )AMxBNyAC,0x3xyA B C D8372542【答案】D【解析】如图 三点共线， 是 的NG， ， MGN， AMNAG（ ） ， ABC重心， 13ABC（ ） ， 1133ABCxyBC（ ） （ （ ） ） ， 13xy ，解得， 结合图象可知 xy（ ） （ ） ； 12，令 故 1312mnmn， ， （ ， ） ； 13mnnxy， ， ；故 ，当且仅当 等号成立44333xy,3故选 D4已知点 在椭圆 上，点 满足 （ ） （ 是坐标原点） ，且A2159xyP1AOR，则线段 在 轴上的设影长度的最大值为_ 7OPO【答案】15【解析】 ， ，故 O，A，P 三点共线1AP ， 设点 A坐标为( x，y)，则 72OP72OA2159y令 OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度为，当且仅当2cos|x277215169695yxx，即 时等号成立线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 1516925x154x
