1、3.2.5 距离(选学)一、选择题1.若 O 为坐标原点， (1,1，2)， (3,2,8)， (0,1,0)，则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距OA OB OC 离为( )A. B2 C. D.1652 14 53 5322在直角坐标系中，设 A(2,3)， B(3，2)，沿 x 轴把直角坐标平面折成 120的二面角后，则A、 B 两点间的距离为( )A2 B.11 11C. D322 113已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 E 是 A1B1的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是( )A. B. C. D.655 455 255 554.如图所示，在直二面角 DA
2、BE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， AEB 是等腰直角三角形，其中 AEB90，则点 D 到平面 ACE 的距离为( )A. B.33 233C. D23 35.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， O 是底面 A1B1C1D1的中心，则 O 到平面 ABC1D1的距离是( )A. B.12 24C. D.22 326若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1， AB1与底面 ABCD 成 60角，则A1C1到底面 ABCD 的距离为( )A. B1 C. D.33 2 3二、填空题7已知夹在两平行平面 、 间的斜线段 AB8 cm， CD12 c
3、m， AB 和 CD在 内的射影长的比为 35，则 和 的距离为_8已知 A(2,3,1)， B(4,1,2)， C(6,3,7)， D(5，4,8)，则点 D 到平面 ABC 的距离为_9棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分别是线段 BB1， B1C1的中点，则直线 MN 到平面 ACD1的距离为_三、解答题10已知正方形 ABCD 的边长为 4， E、 F 分别是 AB、 AD 的中点， GC平面 ABCD，且 GC2，求点 B到平面 EFG 的距离11已知正方形 ABCD 与正方形 CDEF 构成 120的二面角， CD a，求 CD 到平面 AEF 的距离能
4、力提升12. 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA底面 ABCD， PA AB ，点 E 是棱 PB 的中6点求直线 AD 与平面 PBC 的距离13如图所示，正方形 ABCD， ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM BN a(0 a )2(1)求 MN 的长；(2)当 a 为何值时， MN 的长最小32.5 距离(选学)1D 由题意 ( )(2，3)，OP 12OA OB 32 (2， ，3)，PC OC OP 12PC=| | .PC 4 14 9 5322 A 作 AE x 轴交
5、 x 轴于点 E， BF x 轴交 x 轴于点 F，则 ，AB AE EF 2 2 2 22 2 2 AB AE EF AE EF AE BEF 2 2 22 AE EF AE 9254232 44，12| |2 .AB 113B 如图所示， (2,0,0)， (1,0,2)，BA BE cos ，225 55sin ，1 cos2255A 到直线 BE 的距离 d| |sin 2 .AB 255 4554B 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，1,0)， E(1,0,0)， D(0，1，2)， C(0,1,2). (0,0,2)， (1,1,0)， (0,2,2)，AD AE AC 设
6、平面 ACE 的法向量 n( x， y， z)，则 即Error!令 y1， n(1,1，1)故点 D 到平面 ACE 的距离d .| 23| 2335B 以 D 为坐标原点，以 DA， DC， DD1所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则有D1(0,0,1)， D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， A1(1,0,1)， C1(0,1,1)因 O 为 A1C1的中点，所以O( ，1)， ( ， ，0)， (1,0,1)， (0,1,0)1212 C1O 12 12 AD1 AB 设平面 ABC1D1的法向量为 n( x， y， z)，则有 即Error!
7、取 x1，则 n(1,0,1) O 到平面 ABC1D1的距离为d .122 246D 如图所示，直线 AB1与底面 ABCD 所成的角为 B1AB，而 A1C1到底面 ABCD 的距离为 AA1，在 Rt ABB1中， B1B ABtan 60 .所以 AA1 BB1 .3 37. cm198.491717解析 设平面 ABC 的法向量为 n( x， y， z)，可取 n ，又 (7，7,7)(32， 1， 1) AD 点 D 到平面 ABC 的距离 d .4917179.32解析 如图，以 D 为坐标原点，以 DA， DC， DD1为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系则平面 ACD1的
8、一个法向量为(1,1,1)， M ， A(1,0,0)，(1， 1，12) (0,1， )，AM 12点 M 到平面 ACD1的距离为d .|(0， 1， 12) 1， 1， 1 |3 32又 綊 ， MN平面 ACD1.MN 12AD1故 MN平面 ACD1，故 MN 到平面 ACD1的距离也为 .3210解 如图所示，以 C 为原点， CB、 CD、 CG 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz.由题意知 C(0,0,0)， A(4,4,0)， B(4,0,0)， D(0,4,0)， E(4,2,0)， F(2,4,0)，G(0,0,2)(0,2,0)， (4,2，
9、2)， (2,2,0)BE GE EF 设平面 GEF 的法向量为 n( x， y， z)，则有 即Error!令 x1，则 y1， z3， n(1,1,3)点 B 到平面 EFG 的距离为11解 如图所示， CD EF， CD平面 AEF， EF平面 AEF， CD平面 AEF.在平面 ADE 内，过点 D 作 DH AE，垂足为 H. CD AD， DC DE， CD平面 AED.又 EF CD， EF平面 AED， EF HD.又 DH AE， DH平面 AEF， HD 的长就是 CD 到面 AEF 的距离又 DC AD， DC ED， ADE 是两正方形所在面组成的二面角的平面角， A
10、DE120.在 DAE 中， HD ADsin 30 .a2 CD 到平面 AEF 的距离为 .a212解 如图所示，以 A 为坐标原点，射线 AB、 AD、 AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 A-xyz.设 D(0， a,0)，则 B( ，0,0)， C( ， a,0)，66P(0,0， )， E( ，0， )2于是 ( ，0， )， (0， a,0)，AE BC ( ， a， )，PC 6则 0， 0.AE BC AE PC 所以 AE平面 PBC.又由 AD BC 知 AD平面 PBC.故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离，即为| | .AE 313解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， F(1,1,0)， C(0,0,1)， CM BN a(0a )，2且四边形 ABCD、 ABEF 为正方形， M( a,0,1 a)，22 22N( a， a,0)，22 22 (0， a， a1)，MN 22 22| | .MN a2 2a 1即 MN 的长为 .a2 2a 1(2)由(1)知| MN| ， a 22 2 12所以，当 a 时，| MN| .22 22即 M、 N 分别移到 AC、 BF 的中点时，| MN|的长最小，最小值为 .22高!考试题 库
